剛體定點轉動代數講法的教學實踐

任延宇 霍 雷 馮啟春 唐圭新

(哈爾濱工業大學物理系，黑龍江 哈爾濱 150001)

剛體定點轉動代數講法的教學實踐

任延宇 霍 雷 馮啟春 唐圭新

(哈爾濱工業大學物理系，黑龍江 哈爾濱 150001)

代數是人們描述自然規律的一個極為重要的數學工具，但它自身的抽象性又使得初學者很難掌握這一數學工具。理論力學是物理系本科生的第一門理論課程，對運用數學工具處理物理問題的訓練明顯較普通物理加強。我們嘗試在理論力學課的剛體力學一章采用代數講法，從而使抽象的數學理論與具體的物理圖像有了直接的對應，并為后續專業類課程學習打下了良好的基礎。

理論力學；剛體定點轉動；線性代數

代數無論在物理學研究還是在應用領域都是一個極為重要的數學工具。初學者由于缺乏實際應用方面的訓練很難掌握這一數學工具。這很大程度上是由于線性代數通常在大一上學年學習，而大量運用代數知識的專業類課程一般都安排在大三下學年或者大四上學年。鑒于這樣的情況，我們嘗試在大二上學年理論力學課的剛體一章就引入代數講法。這樣做的原因在于，剛體的定點轉動可以用固定在剛體上的剛體坐標系(剛體系)來描述。這樣對剛體的描述就轉化為對兩個坐標系間相互關系的描述，從而可以用代數理論嚴格表示出來。此外，剛體轉動是同學們在日常生活中常見的現象，通過將轉動與代數理論的結合可以幫助同學們更好地復習和理解大一剛剛學過的線性代數的很多抽象公式。經過我們多年的教學嘗試，這一教學思路已經取得了較好的教學效果?，F在給出這一講法的主要步驟[1]：

(1)

(2)

此外還容易得到

(3)

(4)

式(4)中3個獨立參數有很多種選擇方案，其中歐拉角由于可以給后續計算帶來極大的便利，被人們廣為采用。以常見一種歐拉角的取法為例：令轉動前的剛體系為e1,e2,e3，其中進動是繞e3軸轉動φ角，相應剛體系變為e?1,e?2,e?3。(注：由于剛體系是隨時間變化的，故這里下標用1,2,3來表示，而不用x,y,z。因為后者已經在前面的課程中默認是笛卡爾坐標系的基底)通過公式(2)不難建立新舊兩組剛體系間的聯系

(5)

(6)

(7)

(8)

式(8)即歐拉運動學方程。與幾何方案相比，代數方法得到這一方程的思路顯然更加清晰。

接下來建立動力學方程來得到力矩與歐拉角之間的聯系。首先，角動量定理給出了力矩和角動量的關系

(9)

這樣只需要建立角動量和角速度的關系。

由于在一般問題中角動量和角速度并不在同一方向，為此人們采用張量這一數學手段來建立二者之間的聯系[1,2]：

(10)

(11)

(12)

于是得到

(13)

(14)

將式(2)、(3)代入，并注意到T的正交性，得到

(15)

這樣，在慣量主軸所在的坐標系下角動量和角速度的分量間有了最簡單的關系

(16)

將式(9)、(16)聯立，并考慮剛體系基底隨時間的變化，得到

(17)

此即歐拉動力學方程。將歐拉運動學方程(8)與歐拉動力學方程(17)聯立，可建立力矩與歐拉角之間的聯系。通過聯立求解上述方程(只有幾種特殊情況可以得到解析解)，原則上可以得到歐拉角隨時間的變化規律[2]。

[1] H. Goldstein. Classical Mechanics(Third Edition)[M]. 北京：高等教育出版社，2005:134-199.

[2] 周衍柏. 理論力學教程[M].3版.北京：高等教育出版社, 2009:116-136.

[3] 黃克智,薛明德,陸明萬. 張量分析[M].2版.北京：清華大學出版社,2003:21-27.

USINGTHEALGEBRAICMETHODTOTEACHTHEFIXEDPOINTROTATIONOFRIGIDBODY

RENYanyuHUOLeiFENGQichunTANGGuixin

(Department of Physics, Harbin Institute of Technology, Harbin Heilongjiang 150001)

Algebra is a very important mathematical tool in physics research and description. But it is also very difficult for beginners to learn due to its abstraction. Theoretical mechanics is the first theoretical course of physics undergraduates, and its training of using mathematical tools to deal with physical problems is more important than that of general physics. We try to use algebraic method to teach the fixed point rotation of rigid body in theoretical mechanics course. It can make a connection between the abstract mathematical theory and specific physical image, and lay a solid foundation for the follow-up courses.

theoretical mechanics; the fixed point rotation of rigid body; algebraic method

2017-04-25；

2017-09-11

高等學校力學課程2016年度資助項目(項目編號：JZW-16-LX-09)。

任延宇，男，講師，主要從事高能重離子碰撞領域的研究,ryy@hit.edu.cn;霍雷，男，教授，主要從事高能重離子碰撞領域的研究，lhuo@hit.edu.cn。

任延宇,霍雷,馮啟春,等. 剛體定點轉動代數講法的教學實踐[J]. 物理與工程，2017，27(6)：78-80,85.

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