費曼“疑難問題”初探

徐 湛

(清華大學物理系,北京 100084)

費曼“疑難問題”初探

徐 湛

(清華大學物理系,北京 100084)

本文試圖回答《費曼物理學講義第3卷》第13-8節中提出的一個“疑難問題”，即該講義導出了在有吸引性缺陷的一維晶格中，存在著一個處于能帶上方的束縛態能級，那么其物理意義是什么？我們的分析方法包括：構造新的捕陷態，找出該問題的全部可能的解，以及對散射振幅重新進行解析延拓。各種方法導致的結論是一致的，即確實存在著費曼所說的那個處于能帶上方的一個束縛態能級，然而該晶格的缺陷一定是排斥性的，而不能是吸引性的。

晶格缺陷；捕陷態；束縛能級；散射振幅；解析延拓

首先簡單回顧一下《費曼物理學講義第3卷》第13章前幾節的內容。這一章以一維晶格為例介紹了固體物理中的主要概念。首先考慮的是一維無限長均勻晶格，這時哈密頓量矩陣的矩陣元是

(n∈,A>0)

其余的矩陣元為零，那么可以解得能量為

Ek=E0-2Acoskb,k∈(-π/b,+π/b]

其中b>0是晶格常數，所以

E0-2A≤Ek≤E0+2A

這就是能帶。然后假設n=0處有一個缺陷，因而H00變為

H00=E0+F

其余的矩陣元不變。對于散射問題(13-6節)，在左方入射的情況下，假設

(k>0,xn=nb)

可以解得散射振幅為

因而散射幾率為

注意：散射幾率對于F>0(排斥性缺陷)和F<0(吸引性缺陷)是無法區分的。對于捕陷問題(13-7節)，假設

可以解得κ需滿足

A(eκ b-e-κ b)=-F

由于κ,b>0，所以F一定<0，而捕陷態(束縛態)的能量是

不難發現

Eb

所以這個能量在能帶以外并且在能帶的下方。最后，在13-8節中，費曼把β的表達式寫為

并且對根號進行解析延拓，也就是在|E-E0|>2A的時候寫成

所以β變為

當F<0時，這個β會在

時出現極點，因此在

時出現束縛態。這里取“-”號的那個解已經在前面得到了，費曼的“疑難問題”問的是如何解釋取“+”號的那個解(它在能帶上方)的物理意義。

對于這個問題，我們的回答如下。

1 另一個捕陷態

在有缺陷的時候，振幅的形式除去前面所假設的以外，還可以假設為

它也可以寫為

(κ>0,k=π/b)

就是說，它是從散射中心以波矢量k=±π/b向外傳播并同時以指數形式衰減的波。代入能量本征方程，對于n≠0,±1得

E-E0=A(eκ b+e-κ b)

對于n=±1得

所以

a0=c=c′

再代入n=0的方程得

E-E0=F+2Ae-κ b

與E-E0=A(eκ b+e-κ b)比較，發現κ要滿足條件

A(eκ b-e-κ b)=F

與前類似地，由于κ,b>0故F一定>0。由E-E0=A(eκ b+e-κ b)=2Acoshκb和

就得能量為

這正是在前式中取“+”號的那個能級。但是，與這里的條件F>0不同，在13-8節中費曼考慮的是F<0的情形，那么，在F<0的時候有這樣的解存在嗎？

2 一維無限長晶格含一個雜質情形的全部解

首先，對于n≠0總成立方程

(E-E0)an=-A(an-1+an+1)

所以

要讓這個式子對任何n≠0成立，顯然可以假設an-1/an和an+1/an與n(≠0)無關。考慮到n=0是分界點，可以假設an-1/an(對n≤-1)=an+1/an(對n≥+1)=α，它們都滿足

所以現在

其中兩個系數相等是由n=±1的方程決定的。為了使n→±∞時an有界，要求

記

α=e-β+iγ

那么|α|≤1導致

β≥0

同時

而它必須是實數，所以

(eβ-e-β)sinγ=0

這包含了3種情形：β=0,γ=0和γ=π，也就是說α=e-β+iγ是在單位圓上或者在單位圓的實軸直徑上但挖去圓心。以下分別進行分析：

(1)β=0，所以α=eiγ,α+α-1=2cosγ,E=E0-2Acosγ，這就是能帶內的能級(只不過原先把γ記做了kb)。此時F的值(包括它的正負)完全不影響能量，只決定了c和a0之間的關系。事實上，從n=0的方程

(2Acosγ+F)a0=2Aeiγc

可得

(2)γ=0，所以α=e-β,E=E0-A(eβ+e-β)(β>0)，這就是在能帶下方的那個束縛態的能級，把它代入n=1的方程得a0=c，而n=0的方程成為

F=-A(eβ-e-β)<0

所以它在F<0時出現。

(3)γ=π，所以α=e-β+iπ=-e-β,E=E0+A(eβ+e-β)，這就是在能帶上方的那個束縛態的能級，把它代入n=1的方程仍然得a0=c，而n=0的方程成為

F=A(eβ-e-β)>0

所以它在F>0時出現。

這樣看來，只要an-1/an和an+1/an與n(≠0)無關，上面的解就是滿足波函數有限條件的全部解而沒有遺漏，但是其中沒有F<0而E=E0+A(eβ+e-β)的解。顯然，它只能出現在an滿足一種復雜的遞推關系但仍然保持(an-1+an+1)/an=常數(n≠0)的時候。有這種可能性嗎？

對于n>0的那些系數(n<0的分析也類似)記

那么前面的方程就是

由此很容易發現α1和α2決定了全部的αn(n≥3)。特殊地說，如果取

α1=α2=α

甚至任意兩個鄰近的αm=αm+1=α，那么全體αn=α(n≥1)，而這正是前面分析過的情況，所以例外只能發生在α2≠α1(因而全體αn都不相等)。方程

可以改寫為

α1α2一定<1，假設αn都是正數，那么就有

(α2-α3)>(α1-α2)

更一般地，有

因而

(αn+1-αn+2)>(αn-αn+1)

這意味著數列{αn}的相鄰兩項之差(只要這個差≠0)隨著n的增加會被一步一步地放大，這將使這個數列根本不收斂。這種情形在物理上是應該排除在外的。

3 對散射振幅解析延拓的再分析

根據上述，我們并沒有發現F<0的時候有取“+”號的解，這使我們對費曼所做的解析延拓是否恰當產生了懷疑。

讓我們把散射振幅再次寫出，

費曼把那個根號一股腦兒地做延拓，這是有問題的，因為那個根號的里邊是能量的二次式，它和能量本身并非一一對應。正確的做法是把這個二次式做因式分解，寫為兩個一次式的乘積，即

它的極點是

這在F<0時出現，所以

(E-E0)2=4A2+F2

它的極點在

這在F>0時出現，所以

這里在根號前只取“+”號也是因為這個延拓的前提條件是E-E0>2A。這樣進行的解析延拓，一方面更加自洽，另一方面也和直接計算的結果相同。

所以總括起來我們可以說：費曼所說的那個取“+”號的束縛態能量確實是唯一存在的，但條件是F>0而不是F<0。這就是我們對費曼的“疑難問題”給出的解答。

[1] 費曼R.P.,萊登R.B.,桑茲M..費曼物理學講義第三卷[M].《費曼物理學講義》翻譯組，譯.上海：上海科學技術出版社，1989.

[2] Feynman R P, Robert B.Leighton, Matthew L.Sands, The Feynman Lectures on Physics Volume Ⅲ[M]. Commemorative Issue, Pearson Education, Inc., Publishing as Prentice Hall Inc., 2004.

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簡訊

清華大學本科教學審核評估工作圓滿完成

2017年11月6日—9日，清華大學迎來了“普通高等學校本科教學工作審核評估”。不同于以往的評估，這次評估國家不設統一評估標準，主要看被評估高校是否達到了自身設定的目標，是用“自己的尺子量自己”。評估期間，專家共抽閱物理系1800多份《大學物理B1》期末試卷、40多份2013級本科畢業論文；聽了兩門物理系開設的基礎課《大學物理B》(2) 和《費曼物理學》(3)，并看課若干門；此外，還與物理系部分本科生進行了座談。

在由評估專家與清華物理系領導和老師共同參加的座談會上，參會教師就評估專家提出的關于物理系目前師資隊伍、教學投入、人才培養、教育理念實施等情況作了詳細介紹，專家對物理系的本科教學工作給予了肯定。

在大家的共同努力下，清華大學本科教學審核評估工作圓滿結束。

(摘編自清華大學物理系工作簡報，原文由陳昌婷老師供稿)

APRELIMINARYSTUDYONFEYNMAN’S“PUZZLE”

XUZhan

(Department of Physics, Tsinghua University, Beijing 100084)

This paper tries to answer the “puzzle” in Section 13-8 of Feynman Lectures on Physics Volume 3, which claimed that in a one-dimensional lattice with an attractive imperfection there is a bound state above the energy band, and asked what its physical meaning is. Our analysis includes constructing a new trapped state, finding all possible solutions to the problem and reanalyzing the analytic continuation of the scattering amplitude. Various methods lead to a consistent conclusion that indeed there is an energy level of bound state above the energy band as Feynman said, but the lattice imperfection should be repulsive instead of attractive.

lattice imperfection; trapped state, bound state level; scattering amplitude; analytic continuation

2016-11-18

徐湛，男，教授，主要從事物理科研和教學工作，研究方向為理論物理，zx-dmp@tsinghua.edu.cn。

徐湛. 費曼“疑難問題”初探[J]. 物理與工程，2017，27(6)：27-30.

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