巧借數軸 提升數感

陳險峰

數感是一種主動地、自覺地或自動化地理解數和運用數的態度和意識。數軸則是數的集合，它具有方向性、區間性、等分性、無限性的特性。筆者利用數軸的特性輔助教學，化復雜為簡單，化抽象為直觀，能有效地增強學生的數感，巧妙解決數學問題，滲透一一對應、數形結合等數學思想。

一、點段結合，理解數的意義

（一）利用數軸明確數的分類

數軸是數的集合，每個數在數軸上都有自己對應的點，即一一對應。教師可以在數軸上再現這些數所對應的點，用數形結合幫助學生明確數的分類，感悟數的集合。

例如，正數、負數、0的分類。通過數軸發現：0是正數與負數的分界線，0既不是正數，也不是負數，負數都小于0，正數都大于0，沒有最小的負數，也沒有最大的正數。在數軸上，從左往右數越來越大，從右往左則數越來越小；+2和―2，+5和―5，……都是關于原點對稱的。（圖1）數軸上的點形成一個又一個區間，利用數軸的區間特性，教師可以引導學生對真分數、假分數、帶分數進行分類，大于0小于1的分數是真分數，等于1或者大于1的數是假分數；能化成整數的假分數，在數軸上是一個個表示整數的點；不能化成整數的假分數，在數軸上處在兩個整數之間的區間。類似的，我們也可以對小數分類。

（二）利用數軸發現數的性質

教師可以讓學生在數軸上依次表示 、 、 、 ……學生發現： = = =……（圖2）單位“1”平均分的份數和所取的份數同時擴大或縮小相同的倍數，也就是分數的分子和分母同時乘或除以一個相同的數（0除外），分數的大小不變。它們的大小相等，但是分數單位不相同。借助數軸，學生對分數基本性質的理解將更為深刻。同理，也可以用數軸梳理小數的基本性質。

又如，小數點的移動，能引起小數的大小變化。利用數軸，可以巧妙、直觀地呈現點的移動，數的大小變化規律。教師引導學生在數軸上依次找出0.2、0.02、0.002……要找到這些數，必須將0～1這個單位長度依次平均分成10份、100份、1000份……如果要在數軸上找出2、20、200……則需要將0～1這個單位長度依次擴大10倍、100倍、1000倍……學生借助數軸進一步深入認識了小數點移動引起小數大小變化的規律。

利用數軸，我們還可以滲透十進制知識，理解計數單位的進率；可以梳理數的大小比較的規律；可以溝通整數、小數、分數之間的聯系和區別。充分挖掘數軸的價值，能幫助學生建立良好的數概念網絡結構，建立起數字、數量及與之關聯的運算特性，并自覺地選擇靈活而有創造性的方式從數字、數量角度去思考和解決問題。隨著數概念的不斷擴大，這種優越性會不斷得到顯現。

二、數形結合，巧妙解決問題

解決問題有利于學生理解、運用和鞏固已學的數學知識，又有利于發現新的規律和方法，是形成和發展數感的一種重要手段。數軸上的數從小到大地排列，形成一段一段的區間。教師充分利用數軸的區間性與等分性，可以巧妙地解決許多數學問題。

（一）解決分數中的數學問題。

借助數軸線段圖，能幫助學生進一步明確數量之間的關系，學會用數學的方法理解和解釋實際問題。

例如，教學人教版六上第8頁“分數乘法解決問題”例5。教師引導學生在理解題意的基礎上畫出數軸線段圖分析數量關系（圖3）。

學生借助數軸線段圖，直觀地理解了“松鼠的尾巴長度占身體長度的 ”，要求松鼠尾巴的長度，就相當于求身體長度的 ，即身體長度× =松鼠尾巴的長度。之后，學生也能順利地用“比較量÷它所對應的分率=標準量”解決分數除法的實際問題。

（二）解決分段計費問題

例如，教學人教版五上第16頁例9。學生嘗試計算出租車分別行駛1 km、2.6 km、3 km、3.7 km、4.8 km、6.1 km、6.9 km的總費用。師生在互動中研究：①像行駛1 km、2.6 km、3 km這樣，里程在3km以內的都是收7元，這稱作“基礎部分的費用”。②像3.7 km的要分成兩段收費，前面的3km應收7元，后面還有0.7 km要按

1 km算，收取1.5元，列式是7+（3.7-3）×1.5≈7+1×1.5=8.5（元）。③ 超過3 km的，不足1 km的部分都按1 km計算，用超出的千米數取整后乘1.5算出超出部分的費用，再和基礎部分的7元相加，算出總費用，即基礎部分的費用+超出部分的費用=總費用。（圖4）

數軸數形結合，架設起數與量之間的橋梁，借助數軸，有利于學生理解收費規則，學會分段計費，化難為易。學生經歷數學思考，潛移默化地形成和發展了數感。

三、虛實結合，滲透數學思想

數軸具有無限延展性，在數軸上找不到最大的數，也找不到最小的數，它是趨近無窮的。利用這個特性，我們可以解決一些規律性問題，并有機地滲透極限思想。

例如，人教版六下第75頁找規律填數問題：練習十四，7（1）0.9，0.99，0.999，0.9999，（？搖？搖），……，這列數的每一項越來越大，越來越接近（？搖？搖）。教師引導學生將這些數依次標注到數軸上，學生會發現，需要將單位“1”依次平均分成10份、100份、1000份……而0.9、0.99、0.999……變得越來越難以記錄，后一個數總是在前一個數的右面，越來越接近1。

又如人教版六下第75頁。練習十四，8. 比較 、 、 、 的大小。你能發現什么？根據你發現的規律，猜一下 與 哪個更大，并進行驗證。教師引導學生將問題放到數軸上去探索。學生發現，越往下寫數越來越大，越來越接近1（如圖5）。教師追問：“像這樣，你能不能寫出一個盡可能大的數？”

極限思想是用無限逼近的方式來研究數量的變化趨勢，小學生的思維以形象思維為主，我們借助數軸，通過構造直觀的幾何圖形，將一一對應思想、數形結合思想與極限思想共同應用，相互滲透，學生的理解和感受變得生動、深刻且令人信服。

數軸是聯系數字與計數最有效的圖形之一，因其直觀，更貼近學生的認知，教師巧用數軸教學，有利于幫助學生深入理解數的特性，有利于培養學生的數學核心素養。

（作者單位：福建省廈門市前埔北區小學？搖？搖責任編輯：王彬）endprint