基于幾何直觀的問題解決教學

程響

幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。在小學數學教學中，不管是低年級的實物圖，還是中高年級的示意圖和線段圖，都能對學生弄清數學問題、明晰數量關系、尋找解題策略起到積極的作用，都能有效地培養學生解決問題的能力。

一、借助幾何直觀，描述數學問題

幾何直觀是揭示數學對象的性質和關系的有力工具，借助幾何直觀來客觀地描述數學問題是幫助學生理解題意的重要途徑。波利亞指出，圖形不僅是幾何問題的對象，其對于解答各類問題都有很大幫助，即使初看起來問題與幾何無關。可見，圖形不僅是研究幾何問題必不可少的對象，而且是解決問題的一種重要的輔助工具。

在一年級教學中有這樣的一道題：“從左往右數，明明站在第6個，從右往左數，明明是第8個。這一排隊伍一共有多少人？”這樣的題目對于一年級的學生，較容易直接列式得到“6+8=14（人）”的結果，即便有教師指出錯誤，告訴他們還要多一步“14-1=13（人）”才對，學生也是無法理解的。此時用直觀簡單的圖示法就能很快地讓學生弄懂題意。在教師引導下師生一起畫出圖1。這時應當先指導學生看圖說清題意：從左數明明是第6個，所以明明的左邊有5人（6-1）；從右數明明是第8個，明明右邊有7人（8-1）。然后再問一共有多少人，學生能列出式子“5+1+7”從而得出正確結果。

如果學生列出算式“6+8”，教師還可以借助圖2來指導。此時可以這樣講清題意：從左邊第一個人到明明處共有6人（第一行），從右邊第一個人到明明處共有8人（第二行），這樣一共有14人（6+8），但兩個明明都指同一個人（第三行圖），所以是13人（14-1）。

對比兩種直觀圖示法，我們會發現第一種方法只需要講清將這一排人員分成三部分——明明的左邊、明明、明明的右邊，把三個部分數合并成一個數，這對于一年級的學生是較容易理解的；而第二種方法，學生雖然在“重疊”這一點上存在困難，但如果教師能用動圖展示第一、二行合并成一行的過程，對問題的解決是有幫助的。同時，利用圖形來描述和分析數學問題，借助幾何直觀把數學問題形象化，有助于學生尋找和理解解決問題的正確方法，從而促進學生解決問題能力的提高。

二、利用幾何直觀，分析數量關系

徐利治先生指出，幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系，產生對數量關系的直接感知。小學生的思維特點是以具體形象思維為主，逐步向抽象邏輯思維過渡，而化抽象為形象恰恰是幾何直觀的突出優勢。在解決問題的過程中，教師常常會鼓勵學生“畫個圖試試看”，其實就是希望他們在畫圖的過程中用直觀形象的方式去分析習題中的數量關系，找到已知和未知之間的通道，實現從“文字信息”到“圖形信息”的轉化，順利解決問題。

六年級“比的應用”中有這樣的一道題，“一條公路，已修和未修的比是2∶3，如果再修6千米就正好到達中點。這條公路全長多少千米？”一般有以下兩種方法，其一，學生們會用比的知識來解答，從題意可知已修2份，未修3份，全長（2+3=5）份，再修6千米到達中點，也就是2.5份（5÷2）”，可以列出算式來求全長是6÷（2.5-2）×5=60（千米）。其二，可以從分數問題的角度來思考，從已知“已修和未修的比是2∶3”看出已修全長的 ，從“再修6千米就正好到達中點”可知還差6千米就完成 ，所以得到全長的（ - ）是6千米，要求全長可以是6÷（ - ）=60（千米）。

對這樣一道六年級的數學問題，是可以通過幾何直觀來畫圖幫助分析數量關系的（圖3）。

從直觀上分析這個線段圖里的數量關系，便可以得到這條公路的全長是6×10=60（千米）。因為中點把第三份平均分成了兩個小段，每小段長6千米，全長有5份，也就是10個小段，求全長實際上就是求10個6千米。這樣簡單的數量關系在線段圖上一目了然，學生完全可以基于經驗，憑借觀察、想象等途徑直觀地感知問題的結果，這就是幾何直觀最大的優勢。

一般地，數學教學活動要求學生有目的、有計劃地去感知確定的對象，感知目的越明確，感官的指向就越集中，感知目標越鮮明，建立的表象就越清晰。線段圖的直觀性，為學生提供了有利的感性認識，讓學生通過觀察尋找數學信息，分析把握數量關系，揭示反映問題的本質。

三、依托幾何直觀，探索解題策略

小學生在學習和生活中，借助幾何直觀，通過觀察與操作活動獲得并儲備了各種表象，但在解決問題時，會因為相關信息不能及時調用而不知所措。這時，教師可以引導學生根據表述問題的文字或語言，喚起學生頭腦中相應的知識經驗，探索解決問題的策略。

人教版三下“數學廣角——搭配”中有這樣一道題：“5個人每2個人通一次電話，一共要通多少次電話？”學生可能會選擇用枚舉的方法來一一羅列五個人互通電話的情況，然后得出答案。而此時教師如果能夠啟發學生用5個點表示5個人，任意兩點間的線段來表示通話，就可以畫出圖4。從圖中可以看出，每一個人都可以主動向其他4個人撥出電話，那么5個人一共會撥出20次電話，但是由于“每2個人通一次電話”，所以每2次電話（如A打給B、B打給A）中有1次是重復的，正確的結果應該是10次。

同樣還是圖4，教師還可以向學生講解第二種方法：第一個人A可以打給4個人（即B、C、D、E）；第二個人B已和A通過話，只要打給其他3個人（即C、D、E）；同理，C只要打給2個人（即D、E），D只要打給1個人（即E）。這樣，一共要通10次電話。

對于上述的例子，我們實際上是依托幾何直觀并運用轉化的數學思想，把這個數學問題轉化成了“五個點（每三點不共線）一共可以連接多少條線段”的問題來幫助學生更好地探索問題解決的策略。

（作者單位：福建省福州延安中學小學部）endprint