徑向極化壓電陶瓷管建模與仿真

楊明明，汪焰恩，魏生民，柴衛紅，魏慶華

（1. 西北工業大學 機電學院，陜西 西安 710072；2. 西北工業大學 現代設計與集成制造教育部重點實驗室，陜西 西安 710072）

研究與試制

徑向極化壓電陶瓷管建模與仿真

楊明明1,2，汪焰恩1，魏生民1,2，柴衛紅1，魏慶華1

（1. 西北工業大學 機電學院，陜西 西安 710072；2. 西北工業大學 現代設計與集成制造教育部重點實驗室，陜西 西安 710072）

基于平面應變假設，推導了徑向極化壓電陶瓷管在外電場作用下形變的計算公式。作為擠壓式噴嘴的執行器，徑向極化壓電陶瓷管在與極化方向一致的外電場的作用下主要發生徑向變形。利用有限元分析軟件ANSYS14.0，對模型進行有限元仿真。利用這兩種方法計算不同結構尺寸的壓電陶瓷管在100 V電壓作用下的內壁徑向位移，兩種方法計算結果之差小于 5%，結果的一致性，驗證了理論公式的正確性。該理論分析模型可預測擠壓式壓電噴嘴在外電場作用下的響應，指導噴嘴結構設計，降低噴嘴設計成本，提高噴嘴結構設計可靠性和設計效率。

壓電陶瓷管；理論分析；徑向位移；有限元分析；擠壓式；壓電噴嘴

作為一種新興的快速成形工藝，微滴噴射已在微結構制造、生物制造、功能梯度材料制備等許多領域得到了廣泛應用。自從美國學者 Vladimir和Boland于1999年提出“生物打印”（Organ Printing，又譯作“器官打印”）的概念以來[1]，利用快速原型技術實現生物活性材料的三維打印已成為目前生物制造領域的研究熱點[2-3]。國內外研究者已通過改造壓電文件打印機的方法驗證了生物打印的技術可行性[4-6]。然而，目前文件打印機，特別是打印噴頭很難實現高黏度材料的打印，故重新研發可打印高黏度生物活性材料的壓電噴嘴對于實現和研究生物打印技術具有重大意義。

壓電噴墨利用噴嘴上壓電陶瓷（執行器）的逆壓電效應，在外電場的驅動下使得噴嘴液腔壁產生機械位移，改變液腔體積，從而在液腔內部產生壓力波，利用壓力波驅動墨水形成液滴，并從噴嘴噴出。按照壓電陶瓷的位置及極化方式的不同，壓電噴嘴包括撞擊式（Push）、彎曲式（Bend）、剪切式（Shear）及擠壓式（Squeeze）四種典型結構[7]。撞擊式和剪切式結構以其結構緊湊，便于集成在多噴嘴噴頭中的特點在當前文件打印領域得到了廣泛應用，而擠壓式結構與墨水有較大的接觸面積，可望利用該結構實現高黏度材料的打印。相應地，新加坡學者Li等[8]于2010年研發了以PET/PTFE材料作為襯底材料的壓電擠壓式噴頭，該噴頭打印黏度可達0.1 Pa·s，大大高于一般商用打印噴頭的黏度上限（大部分商用打印機打印黏度不高于 0.02 Pa·s）。

建立準確的理論模型是優化噴嘴結構、提高打印性能和打印材料范圍的基礎。特別是由于噴嘴尺寸通常非常小（特征尺寸1～100 μm），且液滴生成時間很短，這使得實驗研究噴射原理非常困難且實驗成本昂貴[7]。準確的理論分析模型可初步預測壓電噴嘴在外電場作用下的響應，從而可以顯著降低噴嘴設計成本，提高設計效率。本文針對擠壓式壓電噴嘴，基于平面應變假設，建立了擠壓式壓電噴嘴執行器的靜力學模型，并利用ANSYS14.0商用分析軟件對該執行器實施了力學仿真，驗證了本文所建立模型的正確性。

1 擠壓噴嘴結構及壓電方程

所研究的擠壓式壓電噴嘴結構如圖 1所示，內、外徑分別為D1、D2，長度為L0的玻璃（或塑料）襯管內充滿墨水，襯管的一端與輸墨管相連接，另一端為直徑為d的噴嘴；套在襯管外部的鋯鈦酸鉛（PZT-5H）壓電陶瓷管長為L，外徑為D3；該陶瓷管的內外壁表面均覆蓋有一層很薄的電極，電極層厚度遠小于壓電陶瓷管厚度，為簡化結構，本文不考慮電極層對壓電陶瓷管變形的影響。壓電陶瓷管沿徑向極化，由電極分布可知外電場方向同樣沿徑向方向。

圖1 壓電噴頭示意圖Fig.1 Sketch diagram of piezoelectric nozzle

壓電陶瓷在外加電場E的作用下，會產生與電場強度呈線性關系的機械形變，該現象被稱為逆壓電效應。逆壓電效應可用壓電方程[8]表示：

為了研究壓電擠壓管運動，還需綜合考慮如下結構和靜電方程[9-10]：

式中：T,S分別是應力矢量和應變矢量；cE，εs分別是壓電陶瓷短路剛度矩陣及夾持介電常數矩陣；e為壓電常數矩陣；u為位移矢量；D是電位移矢量；E，V分別是外電場強度矢量和電勢；ρ為壓電陶瓷密度；?是哈密頓算子；分別為應變梯度算符和應力散度算符[10]。

壓電陶瓷材料屬性與六方（6mm）點群相似，對于沿z軸極化的壓電陶瓷材料其彈性矩陣cE、壓電矩陣e和介電常數矩陣εs具有如下形式[9]：

2 理論分析

選取柱坐標系為參考坐標系，z軸沿著微管中心線并指向噴嘴方向，根據結構和激勵的特點可作如下假設：

（1）軸對稱假設：此時，沿圓周方向的位移為零，且各場變量（如應力場、外電場等）與軸向坐標無關。

（2）平面應變假設：通常，為增大驅動面積，壓電陶瓷管軸向長度L遠大于徑向尺寸，且外電場方向沿徑向（與軸向垂直），故可假設壓電陶瓷管屬于平面應變問題范疇；此時徑向位移與軸向坐標無關，且軸向位移等于零。

（3）電場E分布與軸向坐標z無關：壓電陶瓷管內外表面為等勢面，且軸向尺寸遠大于徑向大小，故可認為外電場在壓電陶瓷管內分布與軸向坐標無關。

（4）內襯玻璃管壁厚（2～10 mm）遠小于壓電陶瓷厚度，分析時，可認為該內襯微管并不影響陶瓷管位移。

如上假設可寫作：

代入柱坐標幾何方程（3）可得：

此時壓電陶瓷管徑向電場的作用下主要做徑向伸縮運動，將式（8）和式（9）及材料矩陣（7）分別代入壓電方程（1）、（2）可得：

從而平衡方程（4）及靜電方程（5）可化簡為：

同時，徑向場強應滿足：

方程（8）～（18）即為壓電陶瓷管在外電場作用下的靜力學模型。

由式（15）知徑向電位移Dr只是徑向坐標r的函數，故式（17）可化簡為：Dr=D0/r，其中D0為常數，將表達式代入式（15）可得：

聯立方程（9）、（11）、（12）、（16）和（19）可得徑向位移ur的方程：

求解該方程可得：

C1，C2和D0均為任意常數。由力學及靜電邊界條件:壓電陶瓷管內壁處(r=r2=D2/2)徑向應力Tr等于液腔壓力P（由壓力波在液腔中的傳播規律決定），外壁自由；場強Er沿徑向積分等于電勢差V，即：

聯立求解（23）所包含的三個邊界方程組即可求得方程（21）中常數C1，C2和D0，具體表達式見附錄。

3 計算與仿真實例

為直觀說明壓電陶瓷管在外電場作用下的響應并驗證上文推導的理論模型，本文將分別使用所推導理論模型和 ANSYS商用有限元軟件，計算參數如表1所述壓電陶瓷管徑向形變。

表1 結構尺寸Tab.1 Parameters of structure

PZT-5H壓電陶瓷材料的材料屬性[10]：

將上述參數代入方程（20），利用符號計算軟件Maple求解參數C1，C2和D0。可計算得所述壓電陶瓷管在100 V電壓作用下ur表達式為：

圖2即為形變ur沿徑向的分布曲線。

圖2 徑向位移沿壁厚分布曲線Fig.2 Curve of radial displacement changing with wall thickness

利用有限元分析軟件ANSYS 14.0對該結構進行計算仿真，選用耦合單元Solid223來完成壓電效應的仿真，有限元模型參數如表 2。利用后處理中的Path方法，可繪制ur關于徑向坐標的分布曲線如圖3所示。圖4為分析所得徑向形變ur的云圖。

表2 ANSYS模型邊界條件Tab.2 ANSYS model boundary conditions

圖3 ANSYS計算徑向位移分布Fig.3 Radial displacement calculated by ANSYS

圖4 徑向位移云圖Fig.4 Contour of radial displacement

比較圖2與圖3，可發現本文推導理論公式計算的徑向形變分布與 ANSYS有限元分析結果吻合。壓電陶瓷管內壁徑向位移是決定擠壓式壓電噴嘴效率的決定性因素，表 3列出了理論公式與ANSYS有限元方法對內壁徑向位移的計算結果，可以看出兩者之差小于 5%，進一步驗證了所推導模型的正確性。

表3 內壁徑向位移Tab.3 Radial displacement of inner wall

4 結論

本文基于平面應變假設，推導了作為擠壓式噴嘴執行器的壓電陶瓷管在徑向電場作用下徑向形變計算表達式。利用有限元計算軟件ANSYS14.0，對模型進行有限元仿真，兩種方法的計算結果之差小于 5%，結果的一致性，驗證了理論建模的正確性。該理論模型的建立對于提高壓電噴嘴性能和優化噴嘴結構具有重要意義。

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Modeling and simulation of radial polarized piezo tube

YANG Mingming1,2, WANG Yanen1, WEI Shengmin1,2, CHAI Weihong1, WEI Qinghua1
(1. School of Mechatronics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China; 2. The Laboratory of Contemporary Design and Integrated Manufacturing Technology, Ministry of Education, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

Based on plane strain hypothesis, radial displacement formula of polarized piezo ceramic cylinder excited by radial electric field was derived. Radial polarized piezo ceramic cylinder, which is actuator of squeeze-mode piezoelectric inkjet printhead, perform mainly radial deformation under radial external electric field. Finite element (FE) simulation was also carried out using the software of ANSYS 14.0. Inner surface radial displacements of different piezo tubes were analyzed using the two methods at 100 V. The difference between results of the analytic formula and FE simulation is less than 5%. Consistent results of two different methods verify qualification of the derived formula. The analytic model could be used to predict the response of squeeze-mode inkjet printer under external electric field, reduce design costs and improve design reliability and efficiency.

piezo tube; theoretic analysis; radial deformation; finite element simulation; squeeze-mode; piezoelectric printhead

10.14106/j.cnki.1001-2028.2018.01.005

TM28

A

1001-2028（2018）01-0023-05

國家自然科學基金資助項目（51175432）；教育部高校博士點專項科研基金資助項目（20116102110046）；中央高校基礎研究基金資助項目（3102014JCS05007）；陜西省工業科技攻關項目（2015GY047）；西北工業大學博士論文創新基金資助（201213）

2017-10-08

汪焰恩

汪焰恩（1976－），男，江西婺源人，教授，主要從事人工骨設計與快速成型、計算機輔助數值分析；楊明明（1988－），男，甘肅天水人，博士研究生，主要從事生物壓電打印工藝的研究。

附錄：

ur方程中常數C1，C2和D0計算公式：

其中：

曾革）