一種復雜可修系統的可用度計算方法

李軍亮，滕克難，夏菲

1.海軍航空工程學院 科研部，煙臺 264001 2.中國人民解放軍92635部隊，青島 266041 3.國網遼陽供電公司信息通信分公司，遼陽 111000

一種復雜可修系統的可用度計算方法

李軍亮1, 2,*，滕克難1，夏菲3

1.海軍航空工程學院 科研部，煙臺 264001 2.中國人民解放軍92635部隊，青島 266041 3.國網遼陽供電公司信息通信分公司，遼陽 111000

論文采用分-立的思想構建了一種復雜可修系統的可用度計算方法，即采用先分解后綜合的方法來構建系統的可用度模型。分解主要是指分析系統包含的子系統和部件之間的故障行為特性，包括部件故障時間分布函數、故障傳播路徑、系統結構等內容，采用通用發生函數(UGF)建立了多部件系統的0-1狀態可靠性評估模型，并對系統的可靠度進行分析，在此基礎上將系統看作一個整體，通過更新過程理論建立故障時間和維修時間服從一般分布的系統可用度方程，給出并證明了系統可用度求解的一般方法。通過算例分析表明，論文設計方法嚴謹、科學，具有較強的可用性和通用性，在可靠性工程領域有很強的推廣價值。

可修系統；可靠性；可用性；通用發生函數；拉氏變換

軍用飛機是一種復雜的可修系統，計算其可用性時，既要準確分析飛機的可靠性，又要分析保障系統的維修性。目前常用的可用度建模方法有：隨機過程理論、計算機仿真、通用發生函數(Universal Generating Function，UGF)以及三者之間的綜合方法[1-22]。隨機過程理論主要通過建立系統的馬爾科夫方程、更新方程等方法來構建精確的系統可用度模型[4-5]，但是難以用于結構復雜的系統可用性評估；計算機仿真方法主要有蒙特卡洛仿真[6-7]、離散事件調度[8-9]等，該類方法主要通過計算機軟件對部件和系統故障行為的多次模擬來實現系統可用度評估，可以準確反映系統結構的拓撲特性，但是沒有精確的數學模型，而且隨著系統規模的增大算法運行時間增長；UGF是拉氏變換和母函數理論在可靠性領域的推廣，在計算多狀態復雜系統的可靠性和可用度方面有較好的應用[11-21]，該方法既可以準確反映系統結構的拓撲特性，又可以在計算過程中通過對邏輯算子的同類項合并等操作提高運算效率，易于編程實現。傳統的UGF在可用度的度量中主要通過算子δ(u(z),w)來實現，u(z)為系統實際性能狀態，w為系統要求達到的性能閾值，比如“最小速度”或者“最小流量”等[11-14]，未考慮系統的維修特性；在計算系統可靠性時沒有考慮系統的故障傳播特性。文獻[20]研究了部件維修策略對系統可用度的影響；文獻[21]研究了工作共享組內部存在故障傳播和覆蓋時，不同結構形式對系統可靠性的影響。論文基于分立思想，采用UGF構建考慮故障傳播特性的系統可靠性模型，確定系統故障時間分布函數及特征參數，然后確定系統的維修時間分布函數及特征參數，采用更新過程理論建立系統可用度方程，并且通過拉氏變換和逆變換對系統的可用度求解，進而準確分析系統的可用度。

1 基本假設和研究思路

1.1 基本假設

軍用飛機是一種復雜的可修系統，其自身由多個子系統和部件組成，子系統和部件的失效存在相互影響。在計算其可靠性時，需要考慮部件、子系統、系統三者內部和之間的故障行為。

在研究過程中進行以下假設：① 發現故障則立即修理，不存在維修延時；② 系統或者部件維修時，采用完全維修策略，即修復如新[23]。

1.2 研究思路

基于以上假設，論文采用分-立的思想構建復雜可修系統的可用度計算方法，即采用先分解后綜合的方法來構建系統的可用度模型。第2節采用UGF構建系統的可靠性評估模型，第3節采用更新過程理論構建系統的可用度模型，第4節完整地描述系統可用度計算的通用方法步驟，第5節通過案例分析來驗證設計方法的有效性和正確性。

2 系統可靠性評估模型

2.1 UGF理論簡介

UGF是現代離散數學領域的重要方法，它能以某種統一的程序方式處理求數列的表達式、求遞推關系、求數列均值和方差等問題。Gregory和Anatoly等在可靠性理論應用和發展了該方法，使之成為多狀態系統可靠性分析和建模的新工具[11-15]。

記單部件的離散狀態變量為x，具有K種可能的狀態，不同的狀態記為xk,對應的概率記為qk,則部件的u函數[12]為

(1)

對于多部件系統，第j個部件的u函數可表示為

(2)

式中:xjk為部件的性能狀態;qjk為對應的概率。

部件之間的u函數可通過結構算子計算，不同結構的系統算子定義如式(3)和式(4)[12]，兩部件并聯系統為

(3)

兩部件串聯系統為

(4)

系統的u函數，通過部件和子系統的u函數的復合運算得到，但傳統的基于UGF的系統可靠性建模方法并未考慮系統的故障傳播特性，基于此本文考慮存在故障傳播的結構算子的設計。

2.2 部件之間存在故障傳播時的u算子

(5)

式中：Mmax為部件i最大狀態數量。

(6)

當Gj=gjc時部件的概率為

(7)

(8)

(9)

那么部件i和部件j的u函數可表示為

(10)

(11)

2.3 部件對部件組存在故障傳播時的u算子定義

(12)

(13)

式中：

pnc1pjh1,pnc2pjh2,…,pncMpjhM。

2.4 系統可靠性評估

系統的u(z)可以通過子系統和部件的復合運算得到，并且利用u(z)函數的特性，對u(z)在z=1處求一階偏導和二階偏導，可求得系統的可靠性u函數G(t)的數學期望和方差[18-19]分別為

(14)

σ2(G(t))=u″+u′-(u′)2

(15)

即可得到系統的平均可靠度和方差。

3 基于更新過程的系統可用度模型

假設系統故障時間X服從一般概率分布F(t)，修理時間Y服從一般概率分布M(t)，系統在修復后，其工作壽命服從分布如新部件一樣，并且X和Y相互獨立，令Zα=Xα+Yα為第α個周期內的裝備壽命和更新時間(α=1,2,…)，則Zα,α=1,2,…是一個服從獨立同分布的隨機變量序列，可構成一個更新過程，根據文獻[24]可得系統的可用度方程為

A(t)=1-F(t)+Q(t)×A(t)

(16)

式中：Q(t)=P(X+Y≤t)，對式(16)進行Laplace變換可得

(17)

對于式(16)，只需確定系統的故障時間分布函數F(t)和修理時間分布函數M(t)，從而求得F(s)和M(s)，再對式(17)進行反Laplace變換即可得到系統的瞬時可用度方程A(t)為

A(t)=Lz-1A(s)

(18)

為了說明系統可用度函數A(t)存在，需證明2個問題，即A(t)的Laplace變換和逆變換的存在。

3.1 A(t)的Laplace變換存在

證明：假設裝備的周期為T，Tα為第α個檢查周期，則滿足:

(19)

且假設在同一周期內至多有一次修理過程。則在周期Tα內，系統的可用度函數可分為以下4種情況討論：

1) 當Xα≥Tα時

A(t)=R(t)Tα-1≤t≤Tα+1

(20)

2) 當Yα≥Tα時

A(t)=M(t)Tα-1≤t≤Tα+1

(21)

3) 當Xα+Yα≤Tα時

(22)

4) 當Xα+Yα>Tα時

(23)

式中：R(t)為可靠性函數。

由于F(t)和修理時間分布函數M(t)均為連續函數1)，則在以上4種情況下，則A(t)滿足在周期Tα內分段連續，另外Tα滿足式(21)時可任意劃分，所以A(t)滿足在t≥0的任一區間上分段連續。

由可用度定義可知A(t)≤1，當t→+∞時，存在正常數M>1，使得A(t)≤M，存在c≥0，使得A(t)≤M≤Mec t,0≤t≤+∞。

根據以上分析可知，滿足Laplace變換存在附錄中定理②，所以A(s)存在。

3.2 A(t)的逆Laplace變換存在

根據3.1節的證明，顯而易見A(t)滿足Dirichlet條件。

證明：

因為

符合Laplace逆變化存在附錄中定理③，故A(t)的逆Laplace也存在。

4 復雜可修系統可用度計算方法

根據第2節和第3節的分析，設計復雜系統可用度的計算方法如圖1所示，圖中，λi為部件故障率，λs為系統故障率，其基本步驟設計如下：

步驟1根據系統結構繪制其可靠性框圖。

步驟2分析部件、子系統和系統故障行為，分析部件失效對其他部件、子系統和系統的影響。

步驟3構建每個部件的uj(z)函數。

步驟4根據步驟2和3構建系統的us(z)函數。

步驟5求解系統的可靠度，計算系統的平均可靠度。

步驟6基于更新過程理論構建系統的可用度方程A(t)。

步驟7確定系統的故障時間和維修時間分布函數，采用拉氏變換和逆變換求解系統可用度函數A(t)。

步驟8分析計算結果，分析系統的可用度。

圖1 本文方法的基本流程
Fig.1 Flow chart for proposed method

5 算例分析

假設某型飛機的某子系統由5個子部件組成，2個泵設備(部件1、2)以及3個反應器(部件3、4、5)，部件1、2并聯，并與部件3、4、5組成的并聯子系統串聯，系統可靠性框圖如圖2所示。第1個泵設備(部件1)失效會引起部件3失效，第2個泵設備(部件2)失效引起部件3、4失效。因此，部件1、2存在選擇性失效傳播。

圖2中，虛線箭頭的指向為系統部件之間的失效傳播關系。各個部件的失效概率，根據部件在使用過程中的統計數據得出，具體如表1所示。

根據表1計算部件和系統的u函數，假設部件的狀態向量為xk，表達式為

(24)

則部件的為

(0.12+0.08)z0+(1-0.12-0.08)z1=

0.2z0+0.8z1

同理，可得

u2(z)=0.2z0+0.8z1

圖2 系統可靠性框圖
Fig.2 Block diagram of system reliability

Com?ponentIndependentfailureprob?abilityProbabilityoffailureforcommoncausefailureConditionalprobabilityoffailureforuncommoncauseSelectivefailureprop?agationset10．120．080．87320．120．080．873、430．200．840．200．850．100．96001

(p30+p3010×p10+p3020×p20)z0+

[1-(p30+p3010×p10+p3020×p20)]z1=

(0.2+(0.12+0.08+0.12+0.08)×0.2)z0+

{1-[0.2+(0.12+0.08+0.12+0.08)×

0.2]}z1=0.28z0+0.72z1

(p40+p4020×p20)z0+

[1-(p40+p4020×p20)]z1=

[0.2+(0.12+0.08)×0.2]z0+

{1-[0.2+(0.12+0.08)×0.2]}z1=

0.24z0+0.76z1

u5(z)=0.1z0+0.9z1

系統u函數的求解：

0.04z0+0.32z1+0.64z2

0.067 2z0+0.385 6z1+0.547 2z2

0.060 48z0+0.099 04z1+0.402 12z2+

0.494 28z3

0.100 2z0+0.381 3z1+0.573 6z2

根據據u函數的特性，利用式(14)可得

計算結果表明系統的平均可靠度大于1，是由于系統的總體結構為雙余度結構。在此添加虛擬部件6，其故障行為參數如表1第7行所示，其u函數為

u10=0×z0+1×z1

則系統的u函數為

[(0.100 2+0.381 3+0.573 6)×0+

0.100 2×1]z0+(0.381 3+0.573 6)×1z1根據u函數的特性

將本文計算結果和文獻[10]中的2種方法對比，其結果如表2所示。

本文設計算法計算結果介于方法1和2之間，和方法1的差值為0.008，和方法2的差值為0.005 9，平均誤差為0.006 95，小于0.7%，說明論文建立的可靠性評估模型的正確性。

論文假設系統的狀態為0-1狀態，其狀態變量為離散變量，與狀態變量對應的概率分布也是離散型的；為了構建系統可用度方程，在評估系統可靠性特征參數的基礎上，假設系統故障時間函數為某種已知的連續性分布形式。

文獻[26-27]研究發現軍用飛機在分隊級保障過程中，子系統或者部件的故障時間和維修時間均服從指數分布。同樣，徐宗昌對不同類型的系統維修時間分布類型進行了總結[2]，發現經過短時間調整或者迅速換件的系統維修時間適用于指數分布。

在此，假設系統的故障時間服從指數分布，則系統的平均故障率為

λs=1-E(G(t))=0.045 1

(25)

故障時間分布函數F(t)=1-exp(-λt)，其可靠性如圖3所示。

同樣，假設系統維修時間函數服從指數分布，分布參數為μ時，其維修時間分布函數為M(t)=1-exp(-μt)。采用論文第4節設計方法可得系

表2 由3種不同方法計算的可靠性比較Table 2 Comparisons of reliability for three methods

圖3 系統的可靠度函數
Fig.3 Reliability function for system

統的可用度方程為

當維修時間分布參數變化時，系統的如圖4所示。

隨著μ的增加，系統的可用度提高，系統的初始時刻系統可用度最高，當系統在運行一段時間后，達到穩態可用度。

圖4 維修率不同時的系統瞬時可用度
Fig.4System instantaneous availability with different value of μ

6 結 論

1) 基于UGF對0-1狀態的多部件和存在失效傳播的復雜系統可靠性進行了評估，并與兩種不同的方法相比，平均誤差小于0.7%，驗證了該方法的有效性，改進并拓展了u函數理論在可靠性領域的應用；研究過程中發現采用u函數理論計算系統可靠性問題時，可以充分考慮系統結構的拓撲性和故障傳播特性，評估系統的平均可靠度評估時，如果系統為多余度系統，則需要添加虛部件，對系統的u函數進行降冪處理。

2) 論文設計了一種求解復雜可修系統可用度的通用方法，并在理論上證明了該方法的正確性。

3) 在研究過程中仍然存在以下不足：一般可修系統處于運行、修理、等待的過程，論文未考慮有修理延遲的過程; 對待系統故障時間和修理時間的函數構造方法需進一步加強分析，而不僅限于常見的幾種分布形式。

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Anavailabilitycalculationmethodforcomplexrepairablesystems

LIJunliang1, 2,*,TENGKe’nan1,XIAFei3

1.NavalAeronauticalandAstronauticalUniversity,Yantai264001,China2.92635PLAForce,Qingdao266041,China3.StateGridLiaoyangElectricPowerSupplyCompany,Liaoyang111000,China

Inthispaper,anavailabilitycalculationmodelispresentedforthecomplexrepairablesystem.Themethodoffirstdecompositionbeforeintegrationisadoptedtobuildthemodelforthesystemavailability.Decompositionmainlyreferstoanalysisofthefailurebehaviorsbetweensubsystemsandcomponentsofthesystem,includingdistributionfunctionforpartsfaulttime,faultpropagationpath,systemstructure.TheUniversalGeneratingFunction(UGF)methodisusedtodevelopareliabilityassessmentmodelforthe0-1binarystatemulti-componentssystem,andthereliabilityofthesystemisanalyzed.Thegeneralsystemisthenviewedasawhole,andthesystemavailabilitymodelisbuiltbasedontherenewalprocesstheorywhenthesystemfaultandrepairtimeobeysgeneraldistribution,andageneralmethodispresentedtosolvesystemavailabilitymodel.Acasestudyispresentedtoillustratethatthedesignmethodisrigorousandscientific,andhasstrongusabilityandversatilityandthusverystrongapplicabilityinthefieldofreliabilityengineering.

repairablesystem;reliability;availability;universalgeneratingfunction;Laplacetransform

2017-02-07；

2017-03-09；

2017-04-17；Publishedonline2017-05-031644

URL：http://hkxb.buaa.edu.cn/CN/html/20171214.html

NationalDefencePre-researchFoundation(9140A27020212JB14311)

.E-mailNavy_air523@126.com

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2017.221169

2017-02-07；退修日期2017-03-09；錄用日期2017-04-17；網絡出版時間2017-05-031644

http://hkxb.buaa.edu.cn/CN/html/20171214.html

國防預研基金(9140A27020212JB14311)

.E-mailNavy_air523@126.com

李軍亮，滕克難，夏菲.一種復雜可修系統的可用度計算方法J. 航空學報，2017,38(12)：221169.LIJL,TENGKN,XIAF.AnavailabilitycalculationmethodforcomplexrepairablesystemsJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(12):221169.

V37;TP391.9

A

1000-6893(2017)12-221169-09

張晗)

附錄

① 假設F(t)和G(t)修理時間分布函數服從某種已知的分布形式，如指數分布、正態分布、對數正態分布、威布爾分布。

② 拉氏變換存在定理

當f(t)滿足以下2個條件：

1.在t≥0的任一區間上分段連續。

2.當t→+∞時，f(t)的增長不超過某一指數函數，亦即存在常數M>0及c≥0，使得

f(t)≤Mect,0≤t≤+∞,則f(t)的拉氏變換存在。

③ Laplace逆變換存在定理

拉氏逆變換的存在，滿足Fourier積分定理(-∞,+∞)上滿足：

1.f(t)在任一區間滿足Dirichlet條件。

則存在Laplace逆變換。