基于隨機振動響應的結構非線性參數識別

張鵬飛，付瑋，蘇華昌，吳家駒

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基于隨機振動響應的結構非線性參數識別

張鵬飛，付瑋，蘇華昌，吳家駒

（北京強度環境研究所，北京 100076）

復合材料結構呈現出典型的量級非線性特征，非線性剛度的研究是結構設計和分析的基礎。結構使用環境多數存在隨機振動載荷，在更接近真實使用環境下對非線性參數的識別結果更加適用。文章提出了基于隨機減量法和連續小波變換的非線性參數識別方法，設計了基于隨機振動響應的非線性剛度識別程序；通過立方剛度單自由度非線性系統算例，驗證了識別方法和程序；并通過試驗研究了典型復合材料結構的量級非線性特征。結果表明，基于隨機減量法和連續小波變換的非線性參數識別方法具有較好的識別精度，多自由度系統不同諧振階次的非線性特性存在差別。研究結論對于隨機振動環境下結構非線性參數識別和建模具有一定的參考價值。

非線性剛度；隨機減量法；連續小波變換；計算分析；試驗驗證

0 引言

結構動力學分析與試驗相關性研究的目的是要通過試驗結果修正數學模型，然后用修正后的數學模型計算復雜振動載荷下的響應。這對于線性系統來說困難不大。然而，航天器結構實際上呈現出某種程度的非線性品質[1-2]。非線性可能起因于結構（連接處的松動和摩擦）、材料性質（阻尼、剛度）及某些部件（減振器、飛船支撐機構）等[3]。但目前可用的多數分析過程都是基于線性理論的，如將其直接應用于非線性系統的分析，則可能引入較大的誤差。因此，通過試驗識別結構非線性特征是一個需要解決的問題。

在結構動力學領域，可以通過觀測不同激勵水平作用下系統的共振頻率及峰值的變化來判斷系統是否具有非線性因素。圖1是某結構件振動傳遞特性隨振動量級變化的實測曲線，其振動傳遞率隨激勵量級的變化很大，系統的增益和諧振頻率隨激勵量級下降，這表明系統呈現出含有漸軟剛度的非線性特征。對于剛度非線性系統，剛度將隨振動頻率和幅值變化，線性系統對剛度的識別方法不再適用。

圖1 振動傳遞率量級非線性

目前對于結構非線性剛度的識別，多是基于靜剛度或正弦定頻試驗的剛度曲線，使用最小二乘法進行擬合[4-5]；或者基于沖擊響應，使用瞬態信號分析方法進行識別[6]。然而結構使用環境多數存在隨機振動載荷，因此在更接近真實環境下的非線性參數識別結果更加適用，而且可以將隨機振動環境試驗測量結果直接應用于結構非線性參數識別。

本文基于非線性系統的隨機振動響應，研究非線性剛度識別方法。首先研究隨機減量法在非線性系統中的適用性，在此基礎上提出基于隨機減量法和連續小波變換的非線性剛度識別方法；然后設計單自由度算例對該方法進行驗證；最后用典型復合材料板試件的試驗數據進行多自由度系統的非線性參數識別，討論不同階諧振頻率對應的非線性特性之間的差別。

1 基于隨機減量法和連續小波變換的結構非線性特性識別方法

1.1 隨機減量法

隨機減量法是在結構的隨機響應信號中提取出該結構的自由振動響應的一種處理方法。該方法主要是利用平穩隨機過程中振動信號均值為0的性質，辨別其中的確定性振動信號和隨機振動信號，將確定性振動信號中從中分離出來[7-8]。

在任意激勵作用下，單自由度系統的受迫振動響應表示為

取一固定的振幅去截斷隨機振動響應，得到一系列不同的交點時刻，對于從t時刻開始的響應(-t)可以看作3部分響應的線性疊加：第一部分為t時刻初始位移引起的自由振動響應；第二部分為t時刻初始速度引起的自由振動響應；第三部分為從t時刻開始的外部激勵引起的強迫振動響應。即：

將各子樣的起始時刻移至坐標原點，即t=0，可以得到

對()取數學期望得到

[()]=()。 (5)

上式表明，子樣x()的期望是初始位移為、初始速度為0的自由振動響應。實際測量時，因樣本長度有限，數學期望以隨機減量特征函數()代替，

上述分析表明，一個受平穩隨機激勵的系統，它的響應經過多段平均，隨機響應的平均結果為0，剩下確定性響應。最后得到的隨機減量特征便是與外載荷無關的自由衰減響應。

1.2 隨機減量法在非線性系統中的應用

隨機減量法在線性系統中有著廣泛的應用，但缺少在非線性系統中應用的研究和案例。下面設計典型的剛度非線性模型，用數值計算的方法驗證隨機減量法在非線性系統中的適用性。

考慮三次剛度（立方剛度）的非線性，這種情況下，力-位移關系具有以下形式：

s()=+33。 (7)

其中：s為減振器的彈性力；為減振器位移；、3為減振器自身特性確定的常數。對于一般機械結構，3＜0，剛度隨位移的增加而逐漸減小，也稱為具有軟特性。具有立方剛度的單自由度系統強迫振動微分方程為

其中，和分別為單自由度系統的質量和阻尼。使用龍格-庫塔數字積分方法求解上述運動微分方程的數值解。在MATLAB中生成3組不同大小方均根值的高斯隨機振動信號作為力輸入，求解對應的響應。對于每一組隨機振動響應，分別使用隨機減量法求解自由衰減曲線，其中參考值選為隨機響應信號的方均根值。同時，按照隨機響應信號的方均根值作為微分方程的初值，計算非線性系統在階躍信號下的自由衰減曲線。將兩種方法計算結果進行對比。

圖2所示是3種不同的初始量級下，隨機減量法和直接積分計算得到的單自由度非線性系統自由衰減響應。對比可見，隨機減量法計算結果在開始的幾個周期內和直接積分的結果一致性很好，但隨著時間增加，隨機減量法的偏差逐漸增大。表1給出了初始位移0.0170m情況下，前5個周期內幅值和頻率的計算對比結果，相對偏差均在5%之內。

計算結果表明，對于考慮剛度非線性的單自由度系統，隨機減量法計算得到的自由衰減曲線在靠前的幾個周期內具有較高的精度。

表1 隨機減量法與直接積分結果對比

1.3 小波變換在非線性參數識別中的應用

小波尺度譜可定義為

在某一時刻小波系數的最大值滿足

當取不同的值，所有的最大值點的集合形成了小波脊線。通過求出時頻面上每一時刻小波系數模極大值，來獲得信號中各分量對應的小波脊線，進而獲得不同頻率信號分量的時頻特性。

1.4 隨機振動環境中結構非線性特性識別方法

隨機減量法與小波變換的結合在結構模態識別中有過成功的應用。Lardies等采用隨機減量法將一個多自由度系統的環境激勵響應轉換為脈沖激勵響應，然后利用小波變換估算了系統的固有頻率和阻尼比[10]。在非線性系統中，正如1.2節的討論，隨機減量法計算得到的自由衰減曲線只有在靠前的幾個周期內具有較高的精度。利用這一特性，提出了一種細分隨機減量參考值的數據分析方法。

對于單自由度系統，非線性特性分析方法如下：1）利用隨機減量法，在隨機振動響應中提取出給定幅值下的自由衰減信號；2）隨機減量法的參考幅值選為隨機響應信號的方均根值，即ref(1)=RMS()，為隨機響應信號；3）改變參考幅值，例如選取20個參考幅值，ref()=ref(1)×(1-× 0.02)，=1,2,…,20；4）對應不同參考幅值下計算得到的自由衰減曲線，分別進行連續小波變換，使用Motlet連續小波作為小波基；5）分別選取不同參考幅值下小波脊線的起始部分，將對應的頻率求平均，作為該參考幅值下結構的諧振頻率；6）將不同參考幅值對應的頻率進行綜合，得到頻率-幅值曲線，按照該曲線分析結構的非線性特性。

實際結構一般都是多自由度系統，對于隨機振動環境中的多自由度系統，非線性特性分析方法如下：1）利用隨機減量法，在隨機振動響應中提取出給定幅值下的自由衰減信號，該信號包含結構的多個頻率成分；2）對自由衰減信號進行連續小波分析，識別出結構的主要頻率成分，并提取出不同頻率對應的小波脊線幅值；3）對應某一階頻率，按照前述單自由度的分析方法，改變隨機減量法的參考幅值，得到該階頻率對應的頻率-幅值曲線。

2 數值算例

具有立方剛度的單自由度系統自由衰減微分方程為

取阻尼比=0.02，諧振頻率=20Hz，非線性剛度3/=-64。在MATLAB中生成一組高斯隨機信號作為輸入信號，使用龍格-庫塔方法求解微分方程，得到單自由度系統的隨機振動響應()。

以計算得到的隨機振動響應()為基礎，利用隨機減量法，計算給定幅值下的自由衰減信號。隨機減量法的參考幅值ref(1)選為隨機響應信號的方均根值，即ref(1)=RMS[()]，共選取20個參考幅值，ref()=ref(1)×(1-×0.03)，=1,2,…,20。

對不同參考幅值下計算得到的自由衰減曲線進行連續小波變換。分別選取不同參考幅值下小波脊線的起始部分，將對應的頻率求平均，作為該參考幅值下結構的諧振頻率。將不同參考幅值對應的頻率進行綜合，得到頻率-幅值曲線如圖3所示。

圖3 單自由度系統頻率-幅值曲線

對于立方剛度非線性系統，頻率和振動幅值間存在如下關系[11]：

根據式(13)和圖3，擬合求解得到3/=-73。與實際值-64相比，相對偏差為14.06%。

3 實例分析

以某異形復合材料板為例，進一步驗證隨機振動環境中結構非線性特性分析的方法。

異形板隨機振動試驗采用多臺并激的方法施加振動。4個200kg推力振動臺布置在異形板的方向，臺面向上。振動臺通過激振桿與激振塊連接，激振塊螺接在振動工裝上。振動控制點位于激振桿與振動工裝連接點附近，每個振動臺對應1個控制點。試驗采用加速度響應控制的方法，對4個振動臺進行譜矩陣控制。加載環境為向平動，4個振動臺相干系數設置為1，相位設置為0。圖4為異形板隨機振動試驗系統示意圖。

圖4 梯形復合材料板x方向振動試驗示意

以布置在異形板中部的加速度測點為例進行數據分析。圖5是隨機振動加載譜形，在20～300Hz之間基本是平直譜形，加載高斯平穩隨機振動。圖6是異形板上加速度測點的時域響應。

對圖6中的隨機振動響應信號進行隨機減量計算，用該信號的方均根值作為起始幅值，對該信號進行截取、疊加、平均，疊加的樣本數約為1000，時間長0.2s。疊加后的自由衰減信號見圖7。對該段自由衰減信號進行連續小波變換，得到的頻譜等高線見圖8。圖8中的2條脊線展示了信號中2個主要頻率成分隨時間的變化，這2個主要頻率在48Hz附近和146Hz附近。

圖7 隨機減量計算后的自由衰減信號

圖8 自由衰減信號的功率譜等高線

在自由衰減信號連續小波變換的基礎上，提取48Hz和146Hz附近的脊線，畫出頻率-時間曲線和幅值-時間曲線，見圖9。

圖9 振動頻率和幅值隨時間的變化

按照前述研究結論，時間初始階段的頻率和幅值識別具有更高的精度。共選取25個不同大小的參考幅值去截隨機響應信號，得到不同幅值下的自由衰減信號；對不同的衰減信號進行小波變換，得到相應的兩條脊線；提取每條脊線的初始部分進行平均，得到頻率-幅值對應關系；將不同幅值對應的頻率連續畫出，得到圖10所示的頻率-幅值曲線。

圖10反映了復合材料板的兩階主要頻率的非線性特性：一階頻率隨振動幅值的增加而提高，呈現剛度漸強非線性特性；二階頻率隨振動幅值的增加而降低，呈剛度漸弱非線性特性。分別用式(13)擬合計算兩階頻率對應的非線性剛度系數，(3/)1=4.21×107，(3/)2=-1.06×108。

圖10 頻率隨振動幅值變化

4 結論

1）本文分析了隨機減量法在非線性系統中的適用性。計算結果表明，對于考慮剛度非線性的單自由度系統，隨機減量法計算得到的自由衰減曲線在靠前的幾個周期內具有較好的精度，算例前5個周期內幅值和頻率計算誤差在5%之內。

2）本文提出了隨機振動響應下，基于隨機減量法和連續小波變換的結構非線性特性分析方法，并用三次剛度單自由度非線性系統算例進行了驗證。計算結果表明，分析方法具有一定的精度，對3次剛度3識別結果的偏差小于15%。

3）提出了多自由度結構的非線性特性分析方法，并設計試驗進行了典型試驗件的非線性特性分析。提取了復合材料板前2階諧振頻率對應的頻率-幅值關系，分析了其對應的非線性特性差別。研究結果展示了隨機振動環境下剛度非線性導致的多自由度系統響應的復雜性，對于結構非線性特征識別和建模具有參考價值。

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（編輯：許京媛）

Identification of nonlinear parameters of structure based onrandom vibration response

ZHANG Pengfei, FU Wei, SU Huachang, WU Jiaju

(Beijing Institute of Structure and Environment Engineering, Beijing100076, China)

The composite material has typical nonlinear characteristics. Its nonlinear stiffness is very important for the system design and analysis. The random vibration is ubiquitous in the environment, and the identification of nonlinear parameters in the practical environment gives more reasonable results. A method of identification of nonlinear parameters based on the random decrement method and the continuous wavelet transform is presented. And a program of identifying the nonlinear stiffness based on the random vibration response is developed. A numerical example of a single freedom nonlinear system with cube stiffness is given to validate the method and the program. The nonlinear characteristics of the typical composite material structure are studied. It is shown that the method of identification of nonlinear parameters enjoys a high precision, and different resonant order of a multi freedom system has different nonlinear characteristics. The present method is useful for the nonlinear parameter identifying and modeling in a random vibration environment.

nonlinear stiffness; random decrement method; continuous wavelet transformation; simulation analysis; test validation

O235; O324

A

1673-1379(2017)06-0604-07

10.3969/j.issn.1673-1379.2017.06.006

張鵬飛（1986—），男，碩士學位，高級工程師，主要從事結構動力學試驗與研究。E-mail: 350937943@qq.com。

2017-06-01；

2017-11-29