傳熱學教學中數學基礎薄弱問題與對策研究

姚森　徐桂轉　胡建軍　王偉　荊艷艷

【摘 要】高等數學是各高校理工科專業必修的基礎性課程。傳熱學是能源類專業的專業基礎課之一，傳熱問題的分析和應用涉及大量的數學知識。在傳熱學教學過程中，經常存在由于學生數學基礎知識薄弱，對概念和公式只能機械記憶，在分析時只能硬搬已有公式，不能清晰明確的給出計算步驟和方法。因此，在傳熱學教學中適當加入高等數學中相關知識點的回顧和總結，以期提高學生學習興趣及傳熱學的整體教學效果。

【關鍵詞】傳熱學；高等數學；計算方法

中圖分類號： G642；TK124-4 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）25-0100-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.25.044

【Abstract】Higher mathematics is a compulsory basic course for majors of science and engineering in universities. Heat transfer is one of the basic courses for energy majors， the analysis and application of heat transfer problems involve a large number of mathematical knowledge. In the process of heat transfer teaching， several students who have weak basic knowledge of mathematics not only memorize the concepts and formulas mechanically， but also can not give clear calculation steps and methods when analyzing actual problems. Therefore， the review and summary of relevant knowledge points in higher mathematics should be properly added to the teaching of heat transfer in order to improve students interest in learning and improve the overall teaching effect of heat transfer.

【Key words】Heat transfer； Advanced mathematics； Computational method

傳熱學是能源與動力工程、建筑環境與能源應用工程等本科能源類專業的專業基礎課之一，傳熱問題的分析和應用涉及大量的高數知識，且具有計算量大、難度大等特點。高等數學是各高校理工科專業必修的基礎性課程，對學生思維能力的培養和后續專業性課程的學習有著至關重要的意義。在傳熱學教學過程中，經常存在由于學生數學基礎知識薄弱，在學習傳熱學基礎知識時，對概念和公式只能機械式的記憶，不能合理的結合高等數學知識對其進行推倒；在分析和計算時只能硬搬已有公式，不能清晰明確的給出計算步驟和方法。因此，針對傳熱學中涉及到的典型的數學基礎問題，本文進行了歸納和整理，為學生的傳熱學課程學習提供參考。

1 泰勒公式

泰勒級數的展開在物理方程推導和數值解法有著大量的應用。在建立傳熱問題數學物理方程時的一貫做法是，取對象的微元體，基于熱力學能量守恒定律等基本定律建立微元體的能量方程。以直角坐標系下的導熱微分方程的推導為例，從導熱體取出任意微元體，在推導單一方向的上流入和流出微元體的熱量時，表達式如下：

其中，流出微元體的熱量Φx+dx的導出就是基于泰勒公式所得。泰勒公式是一個用函數在某個點上的信息描述該點附近取值的公式，若函數f（x）在包含x0的某個閉區間[a，b]上具有n階導數，且在開區間（a，b）上具有（n+1）階導數，則對閉區間[a，b]上任意一點x，有下式[1]

對于x附近的x+dx，取一階時該式可近似表達為：

f（x+dx）=f（x）+f'（x）（x-x0）

此即為各方向流出微元體的熱量表達式導出的基礎，若學生不能理解，則對導熱微分方程掌握，尤其是圓柱坐標和球坐標下的導熱微分方程，只能使用死記硬背的方式進行。

除導熱微分方程外，泰勒公式在傳熱問題的其他控制方程推導，以及數值解法的離散方程建立過程中也有大量的應用，在此不再贅述。 在講述相關內容時，應注重引導學生對高等數學相關內容的回顧。

2 柱坐標和球坐標的梯度

傳熱學研究是通過獲得系統內各點的溫度分布進行的。溫度場是典型的數量場，通過在空間中引入坐標系，其空間點的位置可由引入的坐標系確定，當給定了溫度場后，其溫度可以表示為空間坐標的函數。在傳熱學課程教學過程中，大量使用到溫度梯度的知識，如傅里葉導熱定律的一般形式數學表達式為=-λgradt=-λ？塄t[2]；此外，在導熱微分方程和能量方程中，當物性為常數時也會出現梯度的散度。

直角坐標系下的梯度的掌握情況較好，但是圓柱坐標系和球坐標系下的表達式鮮有學生了解。這主要是由于圓柱坐標系和球坐標系下的梯度表達式相對于直角坐標系更為復雜，學生難以記憶和理解。而在工程實際問題或者習題中，圓柱坐標系和球坐標系在特定情況下會更便于求解，因此，在教學時可為學生提供各坐標系下溫度梯度和梯度的散度的表達式，以方便查閱。

3 換熱器熱計算中的積分

換熱器是冷熱流體發生熱量交換的場所，冷熱流體在換熱器內沿流動方向不斷的吸收或釋放熱量，對單股流體來說，其溫度是不斷發生變化的[3]。因此，在進行熱計算時，傳熱關系式Q=kAΔt中的溫差應為對數平均溫差Δtm。Δtm的物理意義即為在整個換熱面上冷熱流體溫差的積分平均值[2]。

取換熱器中的微元面積dA，dA兩側冷熱流體的溫度分別為t2和t1，溫差，則有下式：

分離變量并在整個換熱面上積分得

帶入到積分平均式即可得到對數平均溫差。

在教學過程中，應像學生強調對數平均溫差的物理意義，引導學生了解積分對于實際物理問題的意義，加深學生對對數平均溫差的理解。

4 迭代求解方程組

在傳熱學的數值解法中，求解代數方程組的方法分為直接解法和迭代法；迭代法需要首先對計算區域或各離散節點上的數值進行假定，隨后在迭代過程中不斷用變量的舊值遞推新值，直到計算后的結果與前一輪計算所得到的結果的差值小于允許值[4]。在教學過程中，發現部分學生容易對Jacobi迭代與Gauss-Seidel迭代兩種方法產生混淆，需要在授課時對兩種基本的迭代方法及優缺點進行說明。Jacobi迭代每輪計算均使用上一輪計算所得到的數值，其計算公式簡單，計算過程中原始矩陣保持不變，容易并行計算，但是收斂速度慢，占據的數據空間較大。Gauss-Seidel迭代在計算過程中，總是使用最新值，因此需要的存儲空間較小，收斂速度較快[5]。

此外，在換熱的校核計算過程中，若已知冷熱流體進出口溫度的其中兩個，通常需要對未知的某個溫度進行假設進行試算。試算的基本思路與迭代是相似，通過假定一個初值，完成整個計算過程，通過對比計算前后的參數值，判斷是否計算結束。

在課堂教學過程中，應結合例題，使學生深入理解迭代法的思路與求解過程，以免造成學生無法完成傳熱學計算。

5 結語

作為能源動力類學科的專業基礎課程，傳熱學的學習程度直接影響學生后續專業課的學習。在強調課程重要性的同時，如何提高課堂教學效果，加強學生理解能力，也是傳熱學課程教學過程中需要關注的重點。在傳熱學課程中強調數學基礎知識，一方面可以兼顧數學基礎薄弱學生的課堂體驗，另一方面，也可以使學生在傳熱學課程的學習過程中進一步理解數學知識，使數學素質得到進一步提高，提高學生解決實際問題的能力。

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學（第七版）[M].高等教育出版社，2014.

[2]楊世銘，陶文銓.傳熱學.第4版[M].高等教育出版社，2006.

[3]史玉鳳，郭彥，何光艷.基礎數學知識在傳熱學教學中的應用[J].中國電力教育，2014（12）：88-89.

[4]鄧建中，劉之行.計算方法-第2版[M].西安交通大學出版社，2001.

[5]陶文銓.數值傳熱學（第2版）[M].西安交通大學出版社，2001.