轉(zhuǎn)子非線性扭轉(zhuǎn)振動(dòng)成因研究

劉 陽(yáng)， 涂曉彤， 張 希， 李富才, 李鴻光

(上海交通大學(xué)機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 上海， 200240)

轉(zhuǎn)子非線性扭轉(zhuǎn)振動(dòng)成因研究

劉 陽(yáng)， 涂曉彤， 張 希， 李富才, 李鴻光

(上海交通大學(xué)機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 上海， 200240)

目前研究轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的非線性現(xiàn)象，多數(shù)采用直接假設(shè)存在立方非線性，并未對(duì)其存在的原因進(jìn)行解釋。針對(duì)此問(wèn)題，從幾何變形的角度出發(fā)，推導(dǎo)出轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動(dòng)中產(chǎn)生剛度漸軟的duffing非線性現(xiàn)象的原因。首先，在未考慮非線性影響的情況下用ANSYS進(jìn)行了模態(tài)求解；其次，在考慮非線性項(xiàng)時(shí)，建立多自由度的數(shù)學(xué)模型，采用模態(tài)截?cái)嗟姆椒ê投喑叨确ǚ治隽讼到y(tǒng)的主共振；最后，通過(guò)數(shù)值仿真與掃頻試驗(yàn)結(jié)果的定量對(duì)比，證明了轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動(dòng)中存在剛度漸軟的立方非線性理論的正確性。

扭轉(zhuǎn)振動(dòng)；非線性；多自由度模型；定量分析；掃頻試驗(yàn)

引 言

隨著機(jī)械工業(yè)的發(fā)展，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)朝著高速、重負(fù)荷、多轉(zhuǎn)速的方向發(fā)展。近幾十年來(lái)，在大型汽輪發(fā)電機(jī)組、機(jī)車船舶等都發(fā)生過(guò)主軸的斷裂、飛脫等嚴(yán)重事故，對(duì)人身安全、國(guó)民經(jīng)濟(jì)造成巨大的損失。因而，由扭轉(zhuǎn)振動(dòng)引起的機(jī)械系統(tǒng)故障備受關(guān)注[1]。

通常分析加速轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)時(shí)，主要采用線性的方法[2]或者非常簡(jiǎn)單的模型[3]，即Jeffcot轉(zhuǎn)子模型，其在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量很大的圓盤上加上一段無(wú)質(zhì)量的軸。分析轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的跳躍、滯回等現(xiàn)象時(shí)，多數(shù)采用直接假設(shè)存在立方非線性項(xiàng)[4]，然而未對(duì)其產(chǎn)生的原因進(jìn)行研究。普遍的認(rèn)識(shí)是不同的加速度使得轉(zhuǎn)子的共振峰發(fā)生了偏移[5]，不同學(xué)者有不同的觀點(diǎn)，例如轉(zhuǎn)子在臨界轉(zhuǎn)速附近的阻尼是變化[6]的，轉(zhuǎn)子材料的非線性[7]及duffing非線性的求解方法[8]等。筆者對(duì)轉(zhuǎn)子的扭轉(zhuǎn)幾何變形未進(jìn)行線性假設(shè)，考慮高次項(xiàng)給系統(tǒng)帶來(lái)的非線性影響，并且對(duì)試驗(yàn)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化，建立了4個(gè)自由度的非線性動(dòng)力學(xué)微分方程，采用模態(tài)截?cái)嗟姆椒╗9]將系統(tǒng)的自由度由繁化簡(jiǎn)，利用多尺度法對(duì)轉(zhuǎn)子的非線性方程進(jìn)行求解。最后對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行掃頻試驗(yàn)，理論與試驗(yàn)結(jié)果相符。

1 非線性扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的原因

當(dāng)軸的兩端受到方向相反、大小為T的扭矩時(shí)，假設(shè)變形后的截面依然是平面，截取長(zhǎng)度為dx微元mmnn進(jìn)行分析，其中,O1O2ABCD為未發(fā)生變形的楔形微元，變形后的微元為O1O2ABC′D′。AD與AD′的夾角即切應(yīng)變?chǔ)茫⒃捎谂ぞ豑的作用而產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)角為dφ。微元模型如圖 1 所示。切應(yīng)變?chǔ)忙褢?yīng)滿足

tanγρ=dd′/ad=ρdφ/dx

(1)

圖 1 微元的扭轉(zhuǎn)變形Fig.1 Torsional deformation of element

其中：ρ為微元到幾何中心的距離。

將式(1)進(jìn)行Taylor展開(kāi)

(2)

因?yàn)椴牧线€處于彈性變形階段，滿足Hooke剪切定律

τρ=Gγρ

(3)

其中：G為材料剪切模量。

根據(jù)前面的假設(shè)，在截面上只有剪切應(yīng)力，對(duì)剪切應(yīng)力在整個(gè)截面上進(jìn)行積分，可得

(4)

其中：Ip為極慣性矩。

當(dāng)轉(zhuǎn)軸在受到扭矩激勵(lì)時(shí)會(huì)發(fā)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)[10]，如圖 2所示，其中T，φ為關(guān)于x，t的函數(shù)，記為T(x,t)，φ(x,t)，則軸的扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為

(5)

圖2 軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)Fig.2 Torsional vibration of shaft

其中：J0為單位長(zhǎng)度的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；f為廣義力(阻尼力)。

化簡(jiǎn)式(5)可得

?T/?x+f=J0?2φ/?2t

(6)

取自由邊界的振型函數(shù)

υ1(x)=cos(πx/L)

(7)

將式(4) 代入式(6)中，再?gòu)?到L積分，可得

(8)

將其代入式(8)可得

(9)

(10)

其中：|ε|≤1 且ε<0。

2 模型的建立

2.1 試驗(yàn)臺(tái)

筆者分析的對(duì)象為一轉(zhuǎn)子故障模擬多功能試驗(yàn)臺(tái)，如圖3所示，該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具備扭轉(zhuǎn)測(cè)試分析功能。

1-控制柜；2-T型槽平臺(tái)；3-兩極三相異步電動(dòng)機(jī)；4-彈性聯(lián)軸器；5-滑動(dòng)軸承；6-動(dòng)平衡圓盤；7-測(cè)速傳感器支架；8-階梯軸；9-扭振遙測(cè)裝置；10-回旋振動(dòng)傳感器支架；11-碰磨實(shí)驗(yàn)支架；12-機(jī)械式扭振測(cè)試裝置；13-數(shù)據(jù)采集卡；14-數(shù)據(jù)庫(kù)；15-便攜電腦；16-PC圖 3 試驗(yàn)臺(tái)結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Structure graphing of vibration table

試驗(yàn)所用的兩極三相異步電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速范圍為0～3 000 r/min，控制柜用于實(shí)現(xiàn)電控扭振激勵(lì)的發(fā)生，以及相關(guān)參數(shù)如角加速度等的設(shè)置。

2.2 有限元線性模態(tài)分析

在ANSYS中對(duì)上述轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行建模仿真分析，如圖4所示。選用Beam188梁?jiǎn)卧瑢?duì)轉(zhuǎn)子的前5階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的固有頻率和振型進(jìn)行了分析。

圖 4 轉(zhuǎn)子的有限元模型Fig.4 Finite element model of rotor

在ANSYS里進(jìn)行模態(tài)求解，得到模型的前5階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的固有頻率，如表 1所示。

表1轉(zhuǎn)子的前5階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的固有頻率

Tab. 1 Former five torsional natural frequency of rotor

選取轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的第1階振型進(jìn)行展示，如圖 5所示。

圖 5 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的第1階振型Fig. 5 Principal mode of torsional vibration

由表 1和圖 5可知，若不考慮非線性因素的影響，轉(zhuǎn)子第1階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率為53.9 Hz，其最大扭角出現(xiàn)在遠(yuǎn)離電動(dòng)機(jī)的一端。

2.3 轉(zhuǎn)子的數(shù)學(xué)模型

經(jīng)過(guò)合理的簡(jiǎn)化，得到簡(jiǎn)化后的模型如圖 6 所示，將轉(zhuǎn)子簡(jiǎn)化為4個(gè)集中質(zhì)量的圓盤和無(wú)質(zhì)量的軸。考慮轉(zhuǎn)子右端的聯(lián)軸器及電機(jī)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)系統(tǒng)的影響，所以簡(jiǎn)化成4個(gè)集中質(zhì)量的圓盤，列出模型的運(yùn)動(dòng)微分方程

圖6 轉(zhuǎn)子的簡(jiǎn)化模型Fig.6 Simplify model of rotor

其中：Jpi,θi,i=1,2,3,4分別為各圓盤的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和扭轉(zhuǎn)角；Kti,Cti,i=1,2,3 為各軸段的扭轉(zhuǎn)剛度和扭轉(zhuǎn)阻尼。

令φi=θi-θi+1,i=1,2,3代入式(11)消除轉(zhuǎn)子的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，保留各圓盤之間的相對(duì)轉(zhuǎn)角，并將其轉(zhuǎn)換為矩陣的形式

(15)

其中 ：

式(15) 右端第1項(xiàng)為阻尼力項(xiàng)，第2項(xiàng)為非線性力項(xiàng)，第3項(xiàng)為驅(qū)動(dòng)力項(xiàng)。為了對(duì)式(15)進(jìn)行解耦，首先求轉(zhuǎn)子在無(wú)阻尼自由振動(dòng)情況下扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的固有頻率及其對(duì)應(yīng)的振型。可由以下方程得到

|-ω2I3+K|=0

(16)

(17)

將方程寫成矩陣的形式為

(19)

對(duì)式(19)采用非線性多尺度法可求得其1階近似解，假設(shè)解的形式如下

(20)

其中：σ為激勵(lì)頻率失調(diào)參數(shù)。

(21)

考慮到此轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)掃頻試驗(yàn)為慢時(shí)變參數(shù)振動(dòng)，所以有

(22)

將式(22)帶入式(21)，消去λ，整理可得振幅a與激勵(lì)頻率Ω的關(guān)系

(23)

用Matlab編程計(jì)算得到頻響曲線，見(jiàn)圖 7。

圖 7 主共振附近的頻響曲線Fig. 7 Frequency response of principal resonance

圖 7中箭頭的方向分別代表了轉(zhuǎn)子的升速和降速的過(guò)程。在轉(zhuǎn)子的非線性振動(dòng)的求解過(guò)程中，對(duì)于固定的激勵(lì)頻率，其解可能有1個(gè)或3個(gè)。如圖7中虛線部分對(duì)應(yīng)的解為非穩(wěn)定解，實(shí)線部分對(duì)應(yīng)的解為穩(wěn)定解。

在升速階段的初期，轉(zhuǎn)子的相對(duì)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)值隨轉(zhuǎn)速升高基本保持不變。隨著轉(zhuǎn)速的增加，當(dāng)遇到非穩(wěn)定解時(shí)，相對(duì)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)值會(huì)驟然增加跳躍至較高的另一個(gè)穩(wěn)定解，因此在升速過(guò)程中呈現(xiàn)出跳躍現(xiàn)象。

在降速階段，轉(zhuǎn)子的相對(duì)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)值隨轉(zhuǎn)速降低逐步升高，當(dāng)遇到非穩(wěn)定解時(shí)，相對(duì)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)值會(huì)驟然降低至較低的另一個(gè)穩(wěn)定解，因此在降速過(guò)程中呈現(xiàn)出跳躍現(xiàn)象。

3 掃頻試驗(yàn)

為驗(yàn)證上述數(shù)學(xué)模型的正確性，對(duì)轉(zhuǎn)子的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)進(jìn)行掃頻試驗(yàn)，采用兩極三相異步電機(jī)作為驅(qū)動(dòng)，如圖8所示。電機(jī)在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，會(huì)激發(fā)出正序電流和負(fù)序電流，因此其相對(duì)頻率為Fs-(-Fs)，所以激勵(lì)頻率為電機(jī)轉(zhuǎn)速的2倍。計(jì)算主共振頻率時(shí)，按照共振頻率=共振轉(zhuǎn)速×2÷60計(jì)算。

根據(jù)有限元軟件分析得到的第1階振型中，最大扭轉(zhuǎn)角出現(xiàn)在轉(zhuǎn)子的最左端，所以在末端安裝ONO SOKKI編碼器以得到轉(zhuǎn)子的最大扭角。

圖 8 試驗(yàn)測(cè)試Fig. 8 Picture of test

在本次掃頻試驗(yàn)中，電機(jī)從0升速至3 kr/min，再?gòu)?kr/min降速至0，加速時(shí)間和減速時(shí)間均為600s，得到的掃頻曲線如圖 9所示。

圖 9 掃頻試驗(yàn)曲線Fig .9 Curve of frequency sweep test

從圖 9中可以看出，轉(zhuǎn)子的掃頻曲線中存在跳躍現(xiàn)象；在升速階段共振頻率較大，共振峰值較小；降速階段共振頻率較小，共振峰值較大。把圖 7的數(shù)值仿真數(shù)據(jù)與圖 9的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行匯總和對(duì)比，結(jié)果如表 2所示。

表 2 模型數(shù)值仿真與試驗(yàn)的對(duì)比

考慮扭轉(zhuǎn)振動(dòng)中剛度漸軟的立方非線性后，數(shù)值仿真的結(jié)果(43.5Hz/升速，32.75Hz/降速)與試驗(yàn)結(jié)果(44.2Hz/升速，33.1Hz/降速)誤差在2%以內(nèi)，是吻合的。

4 結(jié)果的討論與比較

1) 圖7中骨架線的中線(即點(diǎn)畫線)與x軸的交點(diǎn)為51.2Hz，與有限元線性求解結(jié)果是相符的。

2) 由于非線性振動(dòng)分析中存在非穩(wěn)定解，多以轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速會(huì)發(fā)生偏移，幅頻響應(yīng)中出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。升速的主共振頻率要高于降速的主共振頻率，但降速的主共振峰值要高于升速的主共振峰值。

3) 對(duì)比圖7、圖9和表2可知，數(shù)值仿真得到的非線性振動(dòng)的特點(diǎn)在試驗(yàn)中均得到了驗(yàn)證。

5 結(jié)束語(yǔ)

從扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的幾何變形的角度出發(fā)，在未進(jìn)行線性化假設(shè)的前提下，推導(dǎo)出轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動(dòng)中存在剛度漸軟的立方非線性項(xiàng)。通過(guò)數(shù)值仿真與試驗(yàn)對(duì)比驗(yàn)證了轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動(dòng)中存在剛度漸軟的立方非線性項(xiàng)的理論的合理性。在轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)方面應(yīng)充分考慮幾何尺寸帶來(lái)的剛度漸軟立方非線性的影響，避免轉(zhuǎn)子系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的共振頻率出現(xiàn)在工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，否則系統(tǒng)工作的安全性能將大大降低，甚至出現(xiàn)重大的安全事故。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.06.029

上海市科學(xué)技術(shù)委員會(huì)基礎(chǔ)研究資助項(xiàng)目(15JC1402600)

2016-01-11；

2016-06-12

TH133.2; TH165.3

劉陽(yáng)，男，1991年7月生，博士生。主要研究方向?yàn)樾D(zhuǎn)機(jī)械的動(dòng)力學(xué)及結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)。

E-mail：liuyangjiulong@sjtu.edu.cn