基于改進m序列的壓縮采樣觀測矩陣設計

崔興梅， 吳 鍵, 徐云鵬

(南京理工大學機械工程學院 南京，210094)

基于改進m序列的壓縮采樣觀測矩陣設計

崔興梅， 吳 鍵, 徐云鵬

(南京理工大學機械工程學院 南京，210094)

為了降低對嵌入式系統數據采集的硬件要求，提出了一種適用于模擬信號采集系統的壓縮采樣方法，為壓縮感知觀測矩陣提供了一種低功耗硬件實現方法。介紹了觀測矩陣設計的相關要求，并提出了帶壓縮采樣矩陣的高斯隨機觀測矩陣及基于改進的m序列的壓縮采樣矩陣硬件實現方法。考慮系統功耗及外圍電路復雜度問題，提出利用MSP430微處理器完成壓縮采樣系統設計，并利用滾珠絲杠動態測試中的振動信號完成對系統的驗證。實驗結果表明，該系統能以低于亞乃奎斯特采樣頻率的采樣率對振動信號進行壓縮采樣，能較為精確地重構出原始信號。

觀測矩陣；改進型m序列；滾珠絲杠振動信號；MSP430G2微處理器；壓縮采樣

引 言

在許多嵌入式信號處理系統中，如何使用稀缺的物理資源來獲得滿意的性能是一個根本性的挑戰。例如，分布式現場傳感器需要有效地進行自主的數據采集和無線傳輸，但是在這個過程中會受到許多物理條件的限制，如覆蓋范圍、檢測靈敏度及系統的魯棒性等，這就需要對實際應用中的硬件系統降低要求。解決該問題的一個有效方法是減少采集和處理一些不必要的或者多余的數據。傳統的傳感技術采集的數據總量遠遠超過所需的數據量，在大多數情況下，往往只有小部分數據是實際有用的，其余的都不會對處理結果造成影響，可以被丟棄。因此，文獻[1-2]提出了壓縮感知(compressed sensing, 簡稱CS)理論。

壓縮感知的基礎理論研究主要包括稀疏變換基的選擇、觀測矩陣的設計與實現及信號重構算法研究等[1]。其中，壓縮感知的觀測過程是對稀疏信號的線性非自適應性測量，這是一個高維稀疏向量降維的過程，也是一個計算完備的信號稀疏系數向量的過程。如今，壓縮感知理論沒有在更廣闊領域得到應用，主要原因就在于壓縮感知的觀測過程難以在硬件電路中得到實現，從而難以應用于實際工程之中。

在將壓縮感知理論應用于模擬信號采集的研究中，文獻[3-4]提出了一種應用模擬信息轉換器( analog-to-information conversion, 簡稱AIC)實現壓縮采樣的方法，該轉換器使用積分器或低通濾波器完成對信號的調制，即壓縮采樣，在后續處理中實現對數據的重構。文獻[5-6]針對模擬信息轉換器做出了研究，提出了改進的模擬信息轉換器硬件實現方案。由于模擬信息轉換器在對信號調制(壓縮采樣)時，所需積分支路由所需信息采樣點數決定，因此需要大量的積分器或低通濾波器電路，在硬件上難以實現。

筆者首先介紹了觀測矩陣需要滿足的有限等距約束(restricted isometry property, 簡稱RIP)準則，設計了用于硬件微處理器實現的觀測矩陣方案，并對其觀測性能參數做出了分析與計算；其次，設計了利用改進的m序列產生隨機采樣序列的方法，并利用數字電路和微處理器實現對一般的連續模擬信號的壓縮采樣；最后，利用滾珠絲杠動態測試中的振動信號完成對系統的實驗驗證。

1 觀測矩陣設計及性能仿真驗證

設計觀測矩陣時，一般需要滿足RIP準則和不相干性準則等[7]。同時，由于本研究主要針對待測振動信號進行壓縮采樣，還需要滿足時間性要求。

1.1 矩陣的不相干性

矩陣的不相干性是指在相干測量中兩個不同矩陣中任意行列間的最大相關性[8]?，F假設存在一個n×n的矩陣ψ，其中，ψ1,ψ2,…,ψn表示其每一個列向量。存在一個m×n的矩陣Φ，其中，Φ1,Φ2,……,Φm作為其行向量，則相干系數μ被定為

(1)

其中：1≤j≤n；1≤k≤m。

在壓縮采樣中，稀疏矩陣和觀測矩陣的相干性可以反映觀測矩陣的性能。它們的相干系數越大，系統需要觀測的點數就越多。

1.2 矩陣的RIP準則

對于觀測矩陣ψ，文獻[1-2]在壓縮感知理論的基礎上給出并證明了其必須滿足的PIP準則。RIP準則從數學角度給出了某一矩陣作為觀測矩陣需要滿足的不等式條件。

對于任意c∈R|T|和常數ξK∈(0,1)，如果

(2)

成立，其中T?{1,2,…,n},|T|≤2K。ψT為K×|T|的子矩陣，由ψ中選出的相關的列構成，則矩陣ψ滿足RIP[9]準則。

1.3 壓縮采樣的時間性要求

筆者主要針對待測振動信號進行壓縮采樣，信號是未知的，即在這一時刻不可能估計到下一時刻信號的狀態。因此，對于模擬信號采集系統，觀測矩陣的行向量對應信號的時間軸，所以要求上一行的最后一個非零元素要在下一行的第1個非零元素之前。例如，假設有2個4×4的矩陣作為觀測矩陣

(3)

用ψ2矩陣，這個采樣過程是無法完成的，因為在t1時刻進行采樣時，第1行第4列的元素1對應的是信號t4時刻的狀態，而在t1時刻，該狀態是未知的，即

(4)

因此，ψ2類型的觀測矩陣無法應用在模擬信號的壓縮采樣中。

1.4 壓縮采樣觀測矩陣設計及驗證

由于大多數信號具有稀疏性或在某一變換基下具有稀疏性，考慮設計觀測矩陣ψSample的形式為

(5)

該矩陣被稱為隨機壓縮采樣矩陣，其構成方式為n×n的單位陣中對角線上的元素隨機選出m個位置設為1，其余位置元素均為零，即對角線上元素為一隨機序列。

由于該矩陣結構過于簡單，不符合作為觀測矩陣的RIP準則和不相干性，因此在該矩陣的基礎上，對其進行改進，設計出一種用于硬件壓縮采樣的觀測矩陣y=ψGaussianψSample。其中，ψGaussian為高斯隨機矩陣，稱之為帶壓縮采樣的高斯觀測矩陣。于是，壓縮感知觀測過程變為y=ψGaussianψSamplex。其中，由硬件實現壓縮采樣矩陣ψSample，對模擬信號采集少量觀測點，將其余序列點補“0”，完成“一次觀測”。將采集到的“稀疏序列”發送至上位機，在Matalb中采用高斯隨機矩陣ψGaussian對其完成“二次觀測”，二次觀測完成后的向量作為壓縮感知觀測向量進行重構。

針對所設計的觀測矩陣，選取最常用的離散傅里葉變換基(discrete Fourier transformation,簡稱 DFT)對其不相干性進行計算，這是因為大多數信號在該變換基下具有稀疏性。設測試信號為有512點的序列，觀測次數為80，即m=80，n=512，通過1 000次獨立實驗，得到該觀測矩陣與離散傅里葉變換基相干性參數的分布統計直方圖，如圖1所示。

圖1 相干性參數分布Fig.1 Coherence parameter distribution

壓縮感知中傳感矩陣應滿足有限等距約束性(RIP)的條件，K階RIP條件要求參數ξK∈(0,1)。有限等距常數(RIC)是與有限等距約束緊密結合在一起的一個參數，具體是指滿足有限等距約束性的最小ξK，該常數可以根據傳感矩陣的特征值λ計算。

同樣令m=80，n=512,選取離散傅里葉變換基為稀疏矩陣，根據上述原理計算，其等距約束常數為0.712 0，基本滿足ξK∈(0,1)的要求。

2 基于改進m序列的壓縮采樣矩陣的實現

2.1 m序列的產生及性質

m序列又稱偽隨機序列，它的特點是不能預先確定但是可以重復產生, m序列具有平衡特性、游程特性和移位相加特性[10]。在其平衡特性中，在一個m序列的每個周期中，“1”碼元出現的次數總比“0”碼元多一個，兩種碼元數量基本相當。但是，在筆者所設計的模擬信號采集系統中采樣點數要遠遠小于信號長度，因此，m序列并不適合做壓縮采樣的隨機序列。鑒于此，一種改進的m序列被設計用作壓縮采樣的隨機序列。

為了使壓縮采樣中的測量點數遠小于信號長度，改進的m序列中，“0”出現的次數應遠大于“1”的數量。因此，應在m序列發生器電路中增加一個雙穩態電路和一個與門，m序列發生器的輸出與雙穩態電路輸出做“與”運算后將結果輸出到微處理器引腳，其中，m序列發生器生成的序列觸發雙穩態電路狀態的翻轉。邏輯轉換過程由表1給出。

由表1可以看出，經過處理的m序列中“1”的個數減少為1/4，基本滿足壓縮采樣點數的要求，可以用作隨機采樣序列。

表1 改進的m序列發生器邏輯轉換表

2.2 改進的m隨機序列的電路實現

通常m序列發生器由N級反饋移位寄存器構成[10]。本研究中設計了8級m序列發生器，配合雙穩態電路與“與”門，輸出隨機采樣序列。移位寄存器芯片選擇雙向4位移位寄存器74LS194。雙穩態電路由4013雙D觸發器芯片構成。電路如圖2所示。

圖2 改進的m序列發生器Fig.2 The improved m sequence generator

3 壓縮采樣系統的硬軟件設計

3.1 設計需求分析及微處理器選型

一般地，模擬信號采樣系統需要完成信號的AD轉換、傳輸及處理[11-13]。筆者所設計的壓縮采樣系統主要是為了解決嵌入式系統中物理資源缺乏、功耗受限的問題，為了減小系統功耗，降低對硬件系統物理資源的要求，應當盡量減少系統外圍電路的規模。因此，微處理器上應集成以下模塊，包括片上AD/DA轉換(用于信號采集)、定時器模塊(用于計數)以及UART模塊(用于采樣完成后傳輸數據到Matlab)。同時，微處理器本身也應具備低功耗特性。

筆者最終選取MSP430G2型微處理器，因為該處理器具有內置的10位AD轉換器、2個內部定時器模塊和UART模塊，基本符合系統設計的要求，可以實現低功耗、低成本的“單片”解決方案。與ARM和FPGA相比，該型微處理器具有多達5種低功耗模式，可以在超低功耗下運行。因此，筆者基于MSP430G2553型微處理器進行壓縮采樣系統設計，編譯工具使用CCS，編程語言采用C語言。

3.2 壓縮采樣系統軟件設計

壓縮采樣系統軟件開發流程如下。

1) 微處理器初始化，包括關看門狗，配置時鐘信號為SMCLK(輔助主時鐘)。

2) 設置定時器定時時間，該時間為改進的m序列碼元產生的時間間隔。此時定時器開始計時，系統進入低功耗模式LPM1，等待喚醒。

3) 定時時間到，微處理器喚醒，重裝定時器初值，同時檢測改進的m序列輸入引腳狀態。將檢測結果通過UART發送至上位機，若狀態為“1”，啟動ADC10模塊進行一次采樣，將數據通過UART模塊發送到上位機；若狀態為“0”，則發送數據0到上位機。

具體流程圖如圖3所示。

圖3 系統軟件流程圖Fig.3 The flow chart of system software

4 壓縮采樣系統實驗驗證

筆者采用滾珠絲杠動態測試中的振動信號對系統的可行性進行驗證[14]，實驗裝置如圖4所示。其中，實驗信號為200～600Hz的振動信號，由激振器產生。使用加速度傳感器完成數據采集，從而對滾珠絲杠的模態等相關參數進行計算[15-16]。

圖4 滾珠絲杠動態測試系統Fig.4 The ball screw dynamic testing system

圖5 模擬信號采集系統工作流程Fig.5 The working process of imulation signal acquisition system

本實驗將利用所設計系統完成對滾珠絲杠振動信號的壓縮采樣，選取子空間追蹤算法(SP)完成對信號的重構。圖5為模擬信號采集系統的壓縮采樣過程及后續上位機重構流程。

其對比實驗結果如圖6、圖7所示。

圖6 壓縮采樣系統重構振動信號Fig.6 The reconstruction vibration signal of compressed sampling system

圖7 傳統采樣與壓縮采樣點數對比Fig.7 The points comparison of traditional sampling and compression sampling

壓縮采樣過程中信號稀疏度未知，如果信號稀疏度估計存在較大誤差，SP算法重構精度會受到很大的影響。在稀疏度為10的情況下殘余誤差不一定是最小的。因此，對于觀測的120個采樣點，在稀疏度從0到50的情況下，在各種稀疏度下均重構1 000次，得到2組實驗信號的重構殘余誤差和重構時間與稀疏度的關系，如圖8所示。

圖8 不同稀疏度下信號的重構時間與殘余誤差Fig.8 The reconstruction time and residual error of signal on different sparsity

通過計算，在最適應稀疏度下與傳統采樣方法相比，基于改進m序列的壓縮采樣系統重構殘余誤差為0.0560，可以較為精確地完成原始信號的重構。

5 結束語

提出了一種基于壓縮感知理論的模擬信號采集方法，為壓縮感知觀測矩陣提供了一種低功耗硬件實現方法，實現了硬件壓縮采樣過程。該方法突破了壓縮感知理論仿真研究的局限性，降低了對硬件數據采集系統的要求，具有一定的實用價值。為驗證系統的實用性，利用滾珠絲杠動態測試中的振動信號完成了對系統的驗證。實驗結果表明，該系統能夠以低于乃奎斯特頻率的采樣率實現對相關信號的壓縮采樣，并根據采樣數據較精確的恢復出原始信號。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.06.014

國家自然科學基金資助項目(51105209，61401211，51175267)；中央高?；究蒲袠I務費專項資金資助項目(30915118804)；江蘇省高校自然科學研究重點資助項目(15KJA460004)；高等學校學科創新引智計劃資助項目(B16025);航空科學基金資助項目(20161959001)

2016-02-29；

2016-06-07

TP3

崔興梅，女，1992年2月生，碩士生。主要研究方向為結構健康監測、無線傳感器網絡。曾發表《A novel RFID-based sensing method for low-cost bolt loosening monitoring》(《Sensors》2016,Vol.16,No.2)等論文。

E-mail: 114101000159@njust.edu.cn

吳鍵，男，1979年11月生，副教授。主要研究方向為無線傳感器網絡。

Ε-mail:wuj@njust.edu.cn

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