航海導航參數計算方法及應用?

黃麗霞

1 引言

為了行駛安全，船舶航行時需按預置好的計劃航線進行航行。計劃航線由各個航路點組成，兩相鄰航路點之間的連線為一航線段。在一個航線段中，航海導航的具體任務就是引導艦船駛向當前航線段的目標點，要達到這個目的，必須實時計算兩個最基本的導航參數：到目標點的距離和目標點的方位。有些場合，如測量作業、布掃雷作業等，在引導艦船駛向當前航線段目標點的過程中，要求船位始終保持在航線上，為此還必須實時計算船位偏離航線的距離，即航行偏航量，以指導操舵［1］。到目標航路點的距離、方位、船位偏離航線的偏航量3個參數是航路點導航的基本導航參數。這3個參數的計算可歸結為下述兩個問題：

1）已知起點P1（B1，L1）和終點P2（B2，L2），求由P1點航行至P2點的航程S和起始航向A1；

2）已知航段的起止點P1（B1，L1）、P2（B2，L2）和當前船位Pc（Bc，Lc），求Pc點相對航線P1P2的偏航量XTE。

航行偏差的計算方法與船舶航法相關，船舶航法包括多種，但在實際中，等角航法和大圓航法比較常用。一般來說，當航程較短時，為了便于規劃，采用等角航法；當航程較遠時，為了縮短航行時間，采用大圓航法［2］。選用不同的航法時，計算上述3種導航參數的方法也是不同的。

2 大圓航法導航參數計算

大圓航法即沿橢球的大地線進行航行，大地線的主題解算算法歸納起來有5大類共有幾十種之多［3］，其中，文森特（T.Vincenty）公式嵌套系數法是其中較為常用、適用于任意距離且精度較高的一種，常被用來作為驗證其它算法計算精度的手段［4～6］。其計算方法如下：

2.1 大圓航法航程和航向角計算

文森特公式，也稱嵌套系數法，采用貝塞爾球作為過渡，先將橢球面各大地元素按特定要求轉換到輔助球面，并在球面上解算，推導出嵌套系數公式，然后通過橢球改正項把球面解算的結果再歸算到橢球面上［7］。

P1（B1，L1）和P2（B2，L2）為橢球面上兩點（如圖1），B為緯度，L為經度，N為橢球極點。P0P1P2Pn是橢球面上大地線P1P2的延長線，P0點是該大地線與赤道的交點；Pn是大地線在其行程中最高緯度點，大地線在該點與緯圈相切。其它經、緯度和方位角如圖1所示。取半徑為1的圓球作為輔助球面如圖2，球面上 P0'、P1'、P2'、Pn'分別為橢球面上各點在球面上的相應投影點；σ1、σ2、σ 為 S1、S2、S 對應的球面角距；ω為L對應的球面經差；u1、u2、ω1、ω2為 B1、B2、L1、L2對應的球面歸化緯度和經度；由于大地線在球面上各投影點處的方位角與其橢球面上的相等，均用 A1、A2來表示 P1、P2的方位角和反方位角。

由上述的橢球面和球面的對應關系，可推導出大圓弧σ與大地線S、球面經度差ω與橢球面經度差L之間的關系式：

式中，b、e分別為橢圓短軸和橢圓第一偏心率。

文森特公式以式（1）、式（2）這兩個基本公式為出發點，利用二項展開式中的函數冪及其系數本身所具有的疊乘性質，通過嵌套約化，推導出計算橢球改正項的三個嵌套系數K1，K2，K3和兩個疊乘性質改正數Δσ、Δω［8］。

文森特公式在大圓航行算法應用中，其具體的計算步驟如下：

1）由以下公式計算P1、P2點歸化緯度 u1，u2：

其中 f為橢圓偏心率。

2）計算出P1到P2點經差L對應的球面經差ω：

3）通過下式計算P1到P2點大地線長S對應球面角距σ：

4）通過下式計算過P1、P2點大地線臨界點Pn的歸化緯度un：

5）通過下式計算P1、P2點大地線中心角距σm：

需注意，計算時首先判斷un是否為0，若為0則按σm=Δσ/2計算，否則根據上式計算σm。

6）通過下式計算經差改正項Δω

按步驟2）～6）式迭代直至Δω的變化小于限差（根據一般航海導航要求，精度取到10-3s或10mm時足夠，因此限差取10-8即可）。

7）計算嵌套系數t、K1、K2和Δσ

式中e'為橢圓第二偏心率。

8）計算 P1到P2點大地線長 S：

9）計算正方位角A1：

10）計算反方位角A2：

上列式子中凡是有*的地方，均要判斷其角度所在象限來進行改正。

2.2 大圓航法的偏航量計算

圖3中，P1、P2等同名變量的定義與圖1中相同，設P1、P2分別為大圓航法中某航段的起點和終點，A2為航段P1P2的反方位角；Pc點為當前船位，偏航量XTE為Pc到航段P1P2的最短距離，求解XTE。

在實際的海航中，航線一般被分為多個航路點，相鄰航路點之間的距離及偏航量都較小（偏航量一般不大于10km）［8］。因此，在工程應用中，在計算偏航量時可將地球近似看作正球體，取地球平均半徑R＝6371km，以大圓弧長代替橢圓弧長，按球面直角三角形公式計算偏航量。具體步驟如下：

1）按2.1節的公式計算出航段P1P2的反方位角A2；

2）按2.1節的公式計算出航段PCP2的航程d及反方位角Ac2；

3）計算XTE對應的角度

4）根據球面直角三角形公式計算出XTE：

3 等角航法導航參數計算

等角航法，也稱為墨卡托航法。等角航法航路段在墨卡托投影圖中是一條直線段。直線段與正北的夾角為等航向角，也表示該航路段的計劃航向。等航向法航行偏差的計算在墨卡托投影坐標系內完成。

如圖4所示，P1P2為一等角航線，起點P1、終點P2的大地坐標分別為（B1，L1）、（B2，L2），A為航向角，P1P3和 P4P2為兩條平行圈，P1P4和 P3P2為兩條子午線。在如圖4的橢球面微分三角形P1P2P3中，其等角航線的微分方程式為

其中：M為子午線曲率半徑；N為卯酉圈曲率半徑。

3.1 等角航法航向角計算

將式（20）與式（21）相除后可得

由地圖等角投影理論可知

其中：q為等量緯度［9］，將式（23）兩邊積分得

式中

由式（25）可求出航向角A，航向角A的象限確定方法如表1所示。

表1 等角航法航向角象限判定

3.2 等角航法航程計算

將式（20）兩邊積分，可得等角航線長度

則有

由式（27）可求出航程。

當A=π 2或3π 2時，可利用下式計算等角航線長度：

3.3 等角航法的偏航量計算

如圖5，某航段起點分別為P1（B1，L1）、P2（B2，L2），當前船位PC（BC，LC），則可求出航段P1P2的航向角為A。在航段P1P2上找到一點PD，使之緯度與Pc點相同，當tanA存在時，由式（25）可求出PD點的經度LD為

根據PC、PD的經度差可求出PC、PD間的距離d

則根據球面三角公式可求出偏航量：

當航向角A=π 2或3π 2時，即沿緯度平行圈航行時，偏航量XTE=d，即為子午線弧長差，則可用式（28）直接計算。

4 算例分析

為了驗證本文所用算法計算導航參數的正確性，用文獻［11］中的算例來對比分析。已知航段起點P1坐標為（33°00′00″，120°00′00″），終點P2坐標為（34°00′00″，121°00′00″），當前船位PC為（33°59′02″，120°57′13″），求航段航程、航向角及偏航距。使用克拉索夫斯基橢球體參數，得到計算結果如表2所示。

表2 導航參數計算對比

從表2的計算結果可看出，本文所用大圓航法的計算結果，與文獻中參考值相比，航向誤差率為0；航程誤差率為2.76E-6，差別很小；偏航距誤差率為3.78E-5，這些差異均在合理可接受的范圍，體現了不同算法的計算誤差；而等角航法的計算結果也在合理范圍內；表明了大圓航法和等角航法算法應用的正確性。

5 結語

本文研究了航海中經常用到的大圓航法和等角航法，針對航行導航所需，對兩種算法中的航程、航向角、偏航距等參數給出詳細的計算過程，并通過計算算例驗證了算法應用的正確性。其中兩種算法中的航程和航向角計算精度較高，可直接作為航海導航的電算化應用，對海上導航儀的航跡計算和航線設計等功能的開發有實用參考價值。

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