高中數學解題中函數與方程思想的實例探究

摘 要：高中數學的一個主要板塊就是函數與方程，并且函數與方程穿插在高中數學知識的各個方面，所以函數與方程思想在高中數學解題中至關重要。函數與方程思想在高中數學解題中的應用有不等式求解、零點求解和方程根個數求解等多個方面。文章首先簡要介紹了函數與方程思想的含義，然后通過函數與方程在解題中幾個方面的應用來展現函數與方程思想在實例中的解題思路。

關鍵詞：高中數學；函數與方程；思想；解題

一、 函數與方程思想的含義

函數與方程是兩個概念，它們之間又存在著聯系，所以在解題過程中我們要將函數思想和方程思想結合起來，這樣才能讓解題變得更加容易、簡便。解題過程中我們要將極值、不等式、求解方程和求解參數取值范圍等問題轉化成有關的函數問題或構建方程和方程組，從而簡化解題思路，把問題簡單化達到更好的解題效果。

（一） 函數思想

簡要來說，函數思想是從變化和運動的角度解題，主要是分析和探求數學中的數量關系，利用函數思想解題過程中對于方程和不等式等數學問題，我們要通過構建函數和函數關系，并利用函數圖像和性質來解決數學問題。可以說解決函數問題是以函數思想為基礎的。

（二） 方程思想

方程思想主要應用于已知和未知間的等量關系的數學問題，利用方程思想解題過程中對于變量直觀關系等數學問題，我們首先要構建方程和方程組，然后結合方程的性質來解題。我們要想熟練地利用方程思想解決數學問題，首先要深刻地理解方程的概念。

二、 高中數學解題中函數與方程思想的實例

（一） 函數與方程思想在不等式求解中的應用

不等式應用非常廣泛，在選擇題和應用題中都經常考查，且經常綜合其他數學知識來考查學生，函數與方程思想在不等式求解類似問題中常常是解題的關鍵。利用函數的圖像和性質解決含有參數的不等式求解等問題，例如我們在面對直接求解不等式的問題時，我們可以利用函數的圖像和性質將問題簡化，將不等式的右邊化為零，而將不等式的左邊化為函數，這樣問題就會變得簡單許多。利用函數的單調性和有界性會很容易地解決不等式求最值的問題。

例題：求證：任意實數x，y，z∈（0，1），在x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1中成立。

解析：假設x為主元，y，z為參數，構造函數f（x）=（1-y-z）x+y（1-z）+z

可得：

如果1-y-z=0時，則f（x）=y-z+z

如果1-y-z≠0時，f（x）為一次函數，且在區間（0，1）單調，

∴f（0）=y（1-z）+z=y（1-z）+（z-1）+1=（1-z）（y-1）-1<1

得：f（1）=1-yz<1

∴f（x）于（0，1）區間始終有f（x）<1

即，x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1

例題中運用函數與方程思想構建函數f（x），將題目轉化為函數問題，通過函數進行假設來解決題目所給出的問題。

（二） 函數與方程思想在零點求解中的應用

零點求解也是在考試中經常出現的考題，我們通常會利用函數與方程思想解決零點求解問題。對于零點求解的題目有的時候題目通常會給出函數，這就不需要我們再重新構建函數，然后題目定義該函數在某區間內有n個零點，讓學生求取區間范圍，或讓學生求取函數在該區間內有幾個零點。在解題過程中我們可以利用函數的圖象和性質，首先通過題目所給出的條件做出函數圖象，然后如果是選擇或填空題有助于學生可以直觀地找出題目的答案，如果是簡答或應用題也可以為學生提供一個清晰的解題思路。

（三） 函數與方程思想在方程根個數求解中的應用

方程根個數求解過程中結合函數與方程思想，通常首先根據函數圖象中函數與x軸交點的個數確定方程根的個數，然后再根據題目要求具體作答。

例題：x2=2x方程解的個數

解析：首先我們要畫出函數f（x）=x2-2x的函數圖象（如圖1），然后根據函數的圖象不難看出，函數和x軸共有3個交點，因此x2-2x方程解的個數為3個。

（四） 函數與方程思想在方程數列求解中的應用

數列即按一定的次序排列的一列數，結合函數與方程思想，我可以將一個數列看作一個函數，而這個函數的定義域為正整數，數列的項即數列中的每一個數就是項數的函數，函數值對應數列自變量按一定次序的取值，函數的解析式對應數列的通項公式。所以，在實際的數列解題過程中，我們結合函數與方程思想將數列轉化為函數，這樣解題就會變得容易許多。

三、 高中數學解題中函數與方程思想總結

上面的內容簡單介紹了函數與方程思想在高中數學中應用的幾個方面，并對這幾種類型的解題思路進行了簡單的介紹，但我們在運用函數與方程思想解題的過程中仍要注意一下幾個問題：第一，解題時要先考慮題目是否能夠運用函數與方程思想來解答；第二，問題轉化為函數比較困難時，可以考慮構建兩個函數；第三，求方程的根時，要注意題目對根的要求，根的范圍和正負等。

函數與方程思想在解題中只是一種理論指導，要想讓學生熟練應用函數與方程思想，需要教師在教學中不但要讓學生理解函數與方程思想的本質，還要讓學生慢慢學會應用函數與方程思想解題。

參考文獻：

[1]張新朝.數形結合思想對高中數學學習的作用[J].亞太教育，2015（20）：225.

[2]華鑫瑋.對于高中數學學習興趣培養的淺要認識[J].科技展望，2017（11）.

作者簡介：

張會明，甘肅省酒泉市，金塔縣中學。