例談函數單調性及在高考中的應用

湯小燕　肖宇

摘 要：本文對近三年全國部分省市21套高考數學試題中的函數單調性問題的考查形式及解法進行分析，列舉了函數單調性在高考中的常考題型，歸納了5種判斷函數單調性的方法。

關鍵詞：函數單調性；高考；解題

一、 引言

函數單調性是函數的基本性質之一，應用較為廣泛，它分為單調遞增和單調遞減兩種。利用函數的單調性可以更好地解決相關的數學問題，本文研究了近三年來高考函數單調性的試題及考點，希望能幫助學生更好地解決高考中有關函數單調性的問題。以近三年高考試卷來看，函數單調性也是高考的重點，分值在12～32分。

函數單調性是每年高考的必考點，每年都在解答題中出現，有時也會在選擇、填空題中出現，其中函數單調性的判斷，函數單調性的應用是最常考查的內容。在這21套試題中有15套都含有運用函數單調性求參數的值或取值范圍的題型；有16套題都涉及函數的單調性、單調區間；有12套題考查了利用函數的單調性求極值、最值、零點等問題。考查試題的難易程度多變，高中低檔都有出現，這就需要我們對函數單調性靈活的掌握，這樣才能在遇到這種題時快速地根據不同的已知條件采用不同的方法解題。

本文對函數單調性的判別方法進行分類、歸納，整理出5種判別方法，并將此類方法應用到了2015～2017年全國部分地區的高考題中。

二、 函數單調性的判別方法

判別函數的單調性是高考的熱點問題之一，常常在解答題的第一問中出現，難度中等，是學生很容易得分的題目。求解函數單調性方法多樣，在這里簡述了5種判斷函數單調性的方法，方便大家計算。

（一） 定義法

利用定義法解題的步驟：①取值（在定義域中任取x1，x2）；②作差[f（x1）-f（x2）或f（x2）-f（x1）]；③變形（方法有因式分解，配方法，有理化……）；④定號[確定f（x1）-f（x2）或f（x2）-f（x1）的符號]；⑤判斷（增減性）。

（二） 圖像法

圖像法：即直接作出函數的圖像，通過函數的圖像直觀地判斷函數的單調性，上升為增，下降為減。特別是對于一些簡單的基本初等函數，往往直接畫出它們的圖像根據圖像就可以知道其單調性。

（三） 加減法

這種方法只適用于選擇和填空題，口訣是：增+增=增，增-減=增，減+減=減，減-增=減（在這里為方便記憶增函數用“增”表示，減函數用“減”表示），如2017北京卷（理）。

在選擇、填空題中，若遇到這種題，可以先判斷是否屬于加減法中的四種類型，若不屬于則需要按照常規方法去計算。

（四） 復合函數單調性法則同增異減進行判斷

如果函數y=f（u）在區間N上具有單調性（是增函數或減函數），函數u=g（x）在區間M上具有單調性，并且對于任意的x∈M，均有u=g（x）∈N那么：

當y=f（u）在區間N上的單調性與u=g（x）在區間M上的單調性相同（即同增或同減）/相反（即一個是增函數，另一個是減函數）時，函數y=f[g（x）]在區間M上是增/減函數。

解題步驟：（1）確定函數定義域；（2）將復合函數拆分，例y=f（u），u=g（x）；（3）判斷拆分后函數的單調性；（4）根據同增異減進行判斷。

（五） 導數法

這是近幾年高考的熱點，在區間[a，b]上，若f′（x）>0，則f（x）在區間[a，b]上遞增；若f′（x）<0，則f（x）在區間[a，b]上遞減。所以可以歸納為“大增小減”。

三、 函數單調性在高考中的應用

函數單調性是高考的必考點，考法多種多樣，既可以單獨作為一個考點，也常與其他知識一起考查，下面根據考情表的分析，簡單梳理了函數單調性在高考中的常考題型。

（一） 利用函數的單調性比較大小

這類題難度不大，多在選擇題中出現，只要學生掌握基本初等函數的單調性就可完成。如2015·湖南卷（理）。

（二） 通過函數的單調性求參數的取值范圍

這也是高考常考的一種類型，多在解答題中出現，考查難度多變。解決這種題時可采用分類討論法和分離參數法：“分離參數—構造函數g（x）—求函數g（x）的最值—求得參數的值或取值范圍”。如2017·上海卷（理）。

（三） 討論函數的單調性判斷函數的單調區間

這類題在這三年中考的比較多，一般通過求導來解決這類問題，有時也根據函數的定義來解決，通常出現在第一小問，難度中等。如2017·全國新課標Ⅱ卷（理）。

（四） 利用單調性求函數的極值、最值、零點

求函數的極值、最值是高考常考的一類題，運用函數單調性來解決問題。口訣為：先增后減，最大值；先減后增，最小值。如2016·北京卷（理）。

（五） 利用函數的單調性證明或解不等式

遇到這類題時，通常先確定函數f（x）的單調區間，然后將不等式轉化為f（A）

四、 總結

高考對函數單調性的考查，往往考查函數單調性兩方面的內容，（一） 函數單調性的判斷，證明函數的單調性；（二） 函數單調性的綜合應用，與多個知識點交匯考查，利用函數的單調性使問題解決更加快速、簡潔。所以在學習中要熟練地掌握函數單調性的定義，單調性的判別方法，特別是導數法。

參考文獻：

[1]王后雄.教材完全解讀[M].北京：中國青年出版社，2016.

[2]薛金星.高中數學基礎知識手冊[M].北京：教育科學出版社，2016.

[3]天利全國高考命題研究中心，北京天利考試信息網.天利38套 2013～2017年最新五年高考真題匯編詳解數學（理科 2018年高考必備）[M].拉薩：西藏人民出版社，2017.

作者簡介：

湯小燕，肖宇，貴州省遵義市，遵義師范學院。