圖像法在數(shù)學(xué)問題解決中的應(yīng)用

彭博文 湖南省常德芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校

圖像法在數(shù)學(xué)問題解決中的應(yīng)用

彭博文 湖南省常德芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校

在圖像法對于解決數(shù)學(xué)問題是一種較為簡便的方式，圖像法可以將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)換為圖像，使其更為直觀，避開了用繁雜的代數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。還有助于審題解題，探索解題的思路，以及方便檢驗(yàn)解題結(jié)果是否正確。

圖像法 數(shù)學(xué) 問題 解決

1 圖像法的概述與在數(shù)學(xué)中運(yùn)用的范圍

利用圖像這種特殊且形象的數(shù)學(xué)語言工具，來表達(dá)各種現(xiàn)象的過程和規(guī)律，這種方法稱為圖像法。其在數(shù)學(xué)中運(yùn)用范圍有以下幾種：1、解決三角問題：有關(guān)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定或比較三角函數(shù)值的大小等問題，一般借助于單位圓或三角函數(shù)圖像來處理。2、解決不等式：從題目的條件與結(jié)論出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。3、解決函數(shù)問題：借助于圖像研究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的方法。函數(shù)圖像的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法。4、解決絕對值：畫數(shù)軸，根據(jù)絕對值的性質(zhì)（一點(diǎn)到另一點(diǎn)的距離）得到一個(gè)范圍，從而解出絕對值。5、解決數(shù)列問題：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式可以看作關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)。用數(shù)形結(jié)合的思想研究數(shù)列問題是借助函數(shù)的圖像進(jìn)行直觀分析。除了這些問題外，圖像法還可以運(yùn)用在更多的數(shù)學(xué)問題解決中。

2 用圖像法解決數(shù)學(xué)問題的案

2.1 解決不等式問題

圖1

例1：當(dāng)[x]表示不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),求方程X平方減去[x]減去2等于0的實(shí)根個(gè)數(shù)。分析：這道題是對二次函數(shù)的性質(zhì)及其圖像的考核，想要快速地解題，可令f(x)=x2-2,g(x)=[x]，再在平面直角坐標(biāo)系中分別作出f(x)和g(x)的圖像，根據(jù)兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，方可得解。由圖1可知，f(x)和g(x)的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，故方程有三個(gè)實(shí)根。

2.2 函數(shù)值的最值以及代數(shù)式的取值范圍

例2：若實(shí)數(shù)滿足了等式X減2的差的平方加上Y平方等于3的話，求Y÷X的值。

分析：X減2的差的平方加上Y平方等于3為圓C上的點(diǎn)與原點(diǎn)（O）所連線段最值，那么假如OA和OB都過原點(diǎn)向原C作切點(diǎn)，便可知斜率最大為OA，最小為OB，Y÷X的答案就為最大值：根號3，最小值：負(fù)根號3。

圖2

圖3

例3：已知函數(shù)f(X)等于根號X平方減4X再加3的平方減去P，X的圖像與X軸有四個(gè)不同的交點(diǎn)，并求實(shí)數(shù)p的取值范圍。

解析：題目可理解為Y等于|X2-4X+3|與Y等于PX兩個(gè)圖形的有四個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)直線Y=PX中斜率P的取值范圍。如圖3所示，l2即X軸（與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)），往逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至l1（與曲線有三個(gè)交點(diǎn)）的過程中始終滿足于與Y等于|X2-4X+3|有四個(gè)不同的交點(diǎn)。直線L1與L2之間的過原點(diǎn)直線，其斜率范圍即為P的取值范圍。分析可得，直線l2：Y等于0，可得P等于0；直線l2：過頂點(diǎn)（2，1）可解得P等于1/2。因此實(shí)數(shù)p的取值范圍是0＜P＜1/2。

2.3 解決復(fù)數(shù)三角問題

例4：已知復(fù)數(shù)Z1=i乘于l一i差的平方,求:(l)argz1及[Z]

解析：轉(zhuǎn)換可得z1等于2減2i，且z1位于第四象限的分角線上面，所以argz1等于4分之7π；z1絕對值等于2減2i的絕對值等于2倍根號2。因z減z1的絕對值是z與z1點(diǎn)的距離，其中z1坐標(biāo)為(2，-2)，z減z1最大值就為圓心z絕對值加上圓心z1絕對值等于2倍根號2加1。

例5：如果α、β集于二分之π和π，且logα小于logβ，那么α、β的范圍為多少。

解析：將α正切線設(shè)為AM’,β余切線為BN’，根據(jù)α、β集于二分之π和π且logα小于logβ，可知AM’小于BN’小于0。所以α大于β絕對值，所以α、β的范圍為α加β小于二分之3π。

3 結(jié)束語

圖像法在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用是借助于數(shù)的精確性來闡述某些屬性，或者是借助形的幾何直觀性來闡述數(shù)字之間某種關(guān)系。不僅能使得復(fù)雜的問題變得更加的直觀、易懂，還能在數(shù)學(xué)問題分析上讓思路變得清晰，提高數(shù)學(xué)做題速度和質(zhì)量。圖像法的合理運(yùn)用，給我們的數(shù)學(xué)解答起到半功倍的效果，可以說，數(shù)形結(jié)合是一種不可或缺的解題方法。

[1]馮作維.哪些選擇題適合用圖像法解答[J].高中生,2015,(27):13.

[2]張玉民.用“數(shù)形結(jié)合”解決某些代數(shù)問題[J].赤峰教育學(xué)院學(xué)報(bào),2013,(05):108-109.

[3]王秋俊.淺談“數(shù)形結(jié)合”思想的應(yīng)用[J].高中生之友,2013,(21):24-25.