輔助線作法探究

劉海燕

在幾何證明和計算題中，很多都需要作輔助線幫助解題。如何正確的作出輔助線是能否完成求解的關鍵。作出了輔助線就好比有人在茫然無助的河邊找到了通向對岸的獨木橋。所以，我們如何更快捷的找到這根獨木橋，為考試贏得更多的時間，我做了如下一些探究，不當之處請多賜教。

首先，我們從最簡單的線段和角開始，對于它們我們最熟悉不過了，但是否還記得關于它們的兩條線。對了，就是線段垂直平分線和角平分線這兩條特殊線。有的時候就要用它們的性質來構造相等的線，即到線段兩端點相等的線和角兩邊相等的線，這常常是證明兩三角形全等的方法，這是其一；其二是在證明兩條線段等于另一線段時，則須通過平移，延長，分段等輔助線來構造它們的關系，要證明兩線段之和大于第三條線段或之差小于第三條線段時，就要利用三角形的三邊關系來作輔助線。同理，要證明兩角與另一角的關系時，也應利用輔助線來構造三角形，用內外角定理進行證明。

其次，就是三角形，三角形又分一般三角形和特殊三角形，對于前者通常的作法是：如有中線，則延長中線到與其相等處，連接使之擴展成為平行四邊形；如題中出現兩中點，須連接使之成為中位線；如有三角函數或面積問題，則需作高轉化為直角三角形；如出現在圓中或多邊形中，需作線找角邊關系，證明它們全等或相似。

對于特殊三角形來講，除具備一般三角形的作法外，還可根據其特殊性來作輔助線，如等腰三角形通常是根據其三線合一的性質，直角三角形一般是作斜邊上的高或中線。

再次，是梯形中的輔助線，常見的有這幾種：如需證明兩腰的關系，則將一腰平行移動到另一腰的端點處，使之在一個三角形中，也可延長兩腰交與一點，構成一個大三角形；要證明上下底的關系，可移動一腰，將梯形分成平行四邊形與三角形，或作梯形的兩條高線，分成矩形和兩個直角三角形；如出現腰上的中點，莫忘了作出它的中位線。值得一提的是，與梯形一樣，平行四邊形和一些多邊形問題，都需作輔助線轉化為三角形來研究。

最后是圓中涉及到的輔助線，圓的輔助線很多，往往需要具體問題具體分析。但需注意的是圓中的一個重要的點：圓心。很多線都是連接圓心，比如關于切線的問題，就需連接切點與圓心。再如要用到的垂徑定理，也需要過圓心作直徑或半徑。另外連接圓心和圓上的點以構成相等的線，用來證明三角形全等或構造圓心角。此外，還有用來構造圓周角的線，如有些問題涉及同弧或等弧所對的圓心角相等時。

上述的一些作法僅是常見的方法，希望同學們了解后靈活運用，在具體問題中具體分析。當然前提條件是對所學的定義定理熟練掌握，很多同學覺得作輔助線很難，其實不然，作輔助線的目的是使問題變得簡單。作不出歸根到底還是對定理不熟悉。

所以作輔助線是解題的第一步。但只要邁出了這一步，就會有第二步，第三步，直至成功。正如人們所說：良好的開端是成功的一半。也希望同學們把握好今天的大好時機，為自己的明天畫出最美的輔助線。