輔助線作法探究

劉海燕

在幾何證明和計(jì)算題中，很多都需要作輔助線幫助解題。如何正確的作出輔助線是能否完成求解的關(guān)鍵。作出了輔助線就好比有人在茫然無助的河邊找到了通向?qū)Π兜莫?dú)木橋。所以，我們?nèi)绾胃旖莸恼业竭@根獨(dú)木橋，為考試贏得更多的時間，我做了如下一些探究，不當(dāng)之處請多賜教。

首先，我們從最簡單的線段和角開始，對于它們我們最熟悉不過了，但是否還記得關(guān)于它們的兩條線。對了，就是線段垂直平分線和角平分線這兩條特殊線。有的時候就要用它們的性質(zhì)來構(gòu)造相等的線，即到線段兩端點(diǎn)相等的線和角兩邊相等的線，這常常是證明兩三角形全等的方法，這是其一；其二是在證明兩條線段等于另一線段時，則須通過平移，延長，分段等輔助線來構(gòu)造它們的關(guān)系，要證明兩線段之和大于第三條線段或之差小于第三條線段時，就要利用三角形的三邊關(guān)系來作輔助線。同理，要證明兩角與另一角的關(guān)系時，也應(yīng)利用輔助線來構(gòu)造三角形，用內(nèi)外角定理進(jìn)行證明。

其次，就是三角形，三角形又分一般三角形和特殊三角形，對于前者通常的作法是：如有中線，則延長中線到與其相等處，連接使之?dāng)U展成為平行四邊形；如題中出現(xiàn)兩中點(diǎn)，須連接使之成為中位線；如有三角函數(shù)或面積問題，則需作高轉(zhuǎn)化為直角三角形；如出現(xiàn)在圓中或多邊形中，需作線找角邊關(guān)系，證明它們?nèi)然蛳嗨啤?/p>

對于特殊三角形來講，除具備一般三角形的作法外，還可根據(jù)其特殊性來作輔助線，如等腰三角形通常是根據(jù)其三線合一的性質(zhì)，直角三角形一般是作斜邊上的高或中線。

再次，是梯形中的輔助線，常見的有這幾種：如需證明兩腰的關(guān)系，則將一腰平行移動到另一腰的端點(diǎn)處，使之在一個三角形中，也可延長兩腰交與一點(diǎn)，構(gòu)成一個大三角形；要證明上下底的關(guān)系，可移動一腰，將梯形分成平行四邊形與三角形，或作梯形的兩條高線，分成矩形和兩個直角三角形；如出現(xiàn)腰上的中點(diǎn)，莫忘了作出它的中位線。值得一提的是，與梯形一樣，平行四邊形和一些多邊形問題，都需作輔助線轉(zhuǎn)化為三角形來研究。

最后是圓中涉及到的輔助線，圓的輔助線很多，往往需要具體問題具體分析。但需注意的是圓中的一個重要的點(diǎn)：圓心。很多線都是連接圓心，比如關(guān)于切線的問題，就需連接切點(diǎn)與圓心。再如要用到的垂徑定理，也需要過圓心作直徑或半徑。另外連接圓心和圓上的點(diǎn)以構(gòu)成相等的線，用來證明三角形全等或構(gòu)造圓心角。此外，還有用來構(gòu)造圓周角的線，如有些問題涉及同弧或等弧所對的圓心角相等時。

上述的一些作法僅是常見的方法，希望同學(xué)們了解后靈活運(yùn)用，在具體問題中具體分析。當(dāng)然前提條件是對所學(xué)的定義定理熟練掌握，很多同學(xué)覺得作輔助線很難，其實(shí)不然，作輔助線的目的是使問題變得簡單。作不出歸根到底還是對定理不熟悉。

所以作輔助線是解題的第一步。但只要邁出了這一步，就會有第二步，第三步，直至成功。正如人們所說：良好的開端是成功的一半。也希望同學(xué)們把握好今天的大好時機(jī)，為自己的明天畫出最美的輔助線。