“數值分析”課程中數值逼近內容的案例教學探討

王敏

【摘要】針對學生在“數值分析”學習中遇到的困難，在教學方法上做了一些探索，以算例為主導的“數值分析”的教學模式.通過對一具體算例應用不同的數值逼近方法的處理，介紹并比較了兩種常用的數值方法：插值多項式和擬合多項式的構造和應用.

【關鍵詞】數值分析；案例教學；插值多項式；擬合多項式

數值分析中需要處理一類實際工程及科學實驗中經常遇到的問題：已知一些離散點處的函數值，有時需要預測未知點處的函數值，有時需要研究變量之間的函數關系.這類問題都可以歸為數值逼近問題，通過解決這類問題，一方面，可以讓學生理解和掌握相關理論知識，另一方面，可以培養學生應用理論知識結合計算機技術解決實際問題的能力，因此，在數值分析的教學中占據了非常重要的地位.

二、最小二乘法構造擬合多項式

擬合法：在一類曲線中求一曲線φ（x），使其與f（x）在節點xi的誤差ei=|φ（xi）-f（xi）|總體上最小.這里的曲線可以是直線、多項式曲線、指數函數曲線、三角函數曲線等等.而ei“總體上最小”，一般指在一定范數意義下最小.常用的幾種范數中，∞-范數會導致個別誤差數據點起主導作用，與常識不符；1-范數的光滑性差，不便與微分學應用相結合.常用的準則是讓誤差在2-范數意義下最小，對應的擬合為最小二乘擬合.和前面一樣從理論最簡單直觀的代數多項式作為切入點進行討論.

三、其他的數值逼近方法

上面的兩種數值近似方法理論上最簡單也最容易實現，實際應用中還有各種其他近似方法.插值方法中近似函數為三角函數的三角多項式插值、考慮導數的埃爾米特插值，以及在工業設計里得到廣泛應用的樣條函數插值等等.擬合方法中，考慮殘差向量在‖·‖1下最小的擬合，這時數據擬合問題就歸結為約束優化問題，可以用線性規劃的方法求解；考慮殘差向量在‖·‖∞下最小的擬合，這樣數據擬合問題就變為最優化問題中的極小—極大問題，也可以用線性規劃方法求解.

四、結 語

數值逼近實用性強，特別是此部分內容與許多生產實踐聯系密切，通過對具體數據用不同的算法進行處理有助于學生理解課程內容、掌握數值方法、了解應用背景.同時，培養和提高了學生分析問題、解決問題的能力.

【參考文獻】

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[2]王利東，劉婧.從應用實例出發的線性代數教學模式探討[J].數學教育學報，2012（3）：83-85.endprint