分形理論在巖石斷裂、損傷中的應用研究

陳鵬宇

（重慶市第八中學校 重慶 400000）

分形理論在巖石斷裂、損傷中的應用研究

陳鵬宇

（重慶市第八中學校 重慶 400000）

分形理論是非線性科學的一門新學科。針對分形在巖石斷裂中的應用，介紹了巖石沿晶破壞、穿晶破壞和耦合破壞三種微觀破壞模式；介紹了破碎巖塊分形維數計算的方法。針對分形在巖石損傷中的應用，總結分析了利用分形維數表征巖石損傷程度的兩種常用方法。最后，根據對已有研究的分析提出思考，提出分形理論未來在巖石力學中發展的三個方向。

分形理論；巖石力學；損傷力學；斷裂力學

1 引言

由于客觀世界是極度復雜的，所以科研工作者普遍認為非線性才是世界的本質。通過對復雜事物進行直接的研究，才能夠更加準確而充分地反映自然界的根本特征，在這一背景下分形理論逐漸形成并完善，它屬于非線性科學的范疇[1]。

由于分形理論自身的特點，使得分形在很多領域都得到了迅速的發展。分形理論自上世紀八十年代末被謝和平院士引入中國以來，在巖石斷裂和損傷力學中得到廣泛的應用和發展。

2 分形理論的數學基礎

分形兒何學的主要概念是分數維數。在經典幾何學中，我們一般認為維數是一個整數。而對于分形幾何中的重要概念分形維數df，它也有可能是分數，例如Koch曲線。

對于一個D維的物體，我們將它每一維的尺寸放大L倍，則會得到是原來K倍的物體

所以其中D就是我們所稱的維數。從另一個角度，我們通過將物體縮小的方法來定義我們所說的維數，比如我們將一個大的正方形分成9個(N)比較小的正方形，那么每個邊就要縮小為原來的1/3倍(r)，而且9個小正方形的總面積必然的等于，通過將這一概念進行普遍化，就可以表達為我們將r稱做相似比，N稱作生成物數。

3 分形理論在巖石斷裂中的應用

3.1 分形與巖石裂紋擴展

巖石受荷載后，會形成微觀裂紋與宏觀裂紋并最終導致巖石的破壞。經過分析，巖石材料中微觀裂紋的形態以及破碎后形成的碎塊都是可以從分形的角度進行考察的。

在文獻[2-6]中對裂紋的擴展形態問題進行了研究。其中文獻[2，6]中根據巖石的CT掃描圖片將巖石中的微觀裂紋擴展形態分為沿晶破壞、穿晶破壞以及穿晶與沿晶耦合破壞三種方式。經過計算，幾種不同的斷裂方式下裂紋擴展的分形維數值如表1所示，分析發現裂紋的分形維數越大斷裂就越難以產生，這與試驗中的現象是相吻合的：

表1 不同斷裂方式下裂紋分形維數

2.2 巖石破碎后巖塊的分形維數

文獻[6-9]中認為巖石在受壓、巖爆或受到物理作用后產生的碎塊都具有分形特征。b即為破碎巖塊質量分布的分形維數。

文中統計觀察到一些特征現象：試樣產生破碎巖塊的分形維數越大，碎塊越多而體積越小，而且破碎的程度相對越高；試樣產生碎塊分形維數越小，則碎塊越少但體積越大，而且試樣的破碎程度相對越低，因此也證明了塊度分布的分形維數可以定量地對巖石破碎后的破碎程度進行一定的反映。文中還發現試樣破壞碎塊的分形維數越大，在試樣破碎時會出現爆裂的現象，巖石試樣就會越脆；然而對于分形維數比較小的試樣，試樣破壞時一般表現為在試樣中沿著某一剪切面產生剪切滑動破壞的特征，巖石的脆性會比較弱。因此，巖石破碎后的分形維數又可以表征巖石試樣的脆性程度。

4 分形理論在巖石損傷力學中的應用

隨著巖石力學的發展，眾多研究證明，材料中的宏觀裂紋出現以前，損傷這種現象就已經影響到了材料或者結構的強度與壽命[10]。目前對巖石損傷及其程度的描述一般是通過有效面積A或彈性模量E等宏觀量來實現的。但是這種方法有一定的缺陷，比如不能夠對損傷的微觀機理進行直接的反應，缺乏很明顯的物理意義[11]。

通過對已有文獻的研究發現，將分形運用到巖石損傷力學的方法一般有兩種：

（1）利用不同應力狀態下的微裂紋分形維數表征此時的巖石損傷狀態；

（2）在巖石微裂紋的分形維數與各種宏觀量之間建立聯系。

4.1 利用微裂紋分形維數表征巖石損傷狀態

在文獻[12-14]中都表明巖石和砼在受力過程中造成損傷的裂紋分布具有統計自相似性。其中文獻[12]中表明：在應力加載條件下，很多材料損傷區的形狀和范圍大小都是隨時間逐漸變化的一個時空函數。

有學者進行了大理巖張開型斷裂實驗，使用光學顯微鏡和自制加載裝置進行了裂端的損傷演化觀測。發現了巖石裂紋端損傷區范圍和分布均具有很強的統計自相似性。

文獻[14]利用同樣的方法分析了混凝土試樣受壓峰前與峰后四種狀態下內部裂紋的分形維數，其結果如表2所示。

表2 不同荷載下砼內微裂紋分形維數

由表1和表2可以看出，隨著巖石和砼受荷載的增加，其內部微裂紋的分形維數在不斷增加，說明巖石和砼內部的損傷程度隨著荷載的增加而不斷增加。這與現實情況是相符合的，同時也驗證了利用分形維數來表示巖石類的損傷程度是可行的。

4.2 微裂紋分形維數同宏觀量相聯系

分形維數在巖石損傷中的另一個應用是將分形維數與各種宏觀量聯系起來，以分形維數表征巖石材料的細觀本質，同時宏觀量又便于實際應用。在文獻[14-16]中都涉及到了如何將反映巖石類材料損傷微觀實質的分形維數與各種宏觀量結合起來。

文獻[15]中利用Weibull模量m、巖石強度與分形維數D之間的關系推導了巖石強度與分形維數之間的關系式，可以看出巖石斷裂強度與分形維數（即裂紋的分布）有關，但由于分形維數D之間也有關系而且目前并不清楚，因此巖石強度與分形維數之間的關系還有待進一步確定。

文獻[14]中通過不同荷載狀態下的裂紋分形維數表示了損傷因子。文獻[16]中給出了利用盒維數表示的相對損傷變量，用相對損傷來表示爆破對巖石的影響程度。

5 討論與展望

根據對已有諸多文獻的研究發現，分形與巖石力學的結合已經取得了相當豐富的研究成果。但是，我們也應該需要注意到分形在巖石力學中的應用和研究還應該有更加豐富的內容。

首先，分形與巖石力學的數學基礎理論應該是一個非常重要的努力方向。需要研究如何在分形空間中建立巖石的物理平衡條件、本構關系和強度準則等，另外還有對于分形空間中巖石的數值計算和初邊值問題等。主要目的是為了建立一整套用于定量描述和分析分形巖體的基礎理論與方法。

其次，對于巖石力學中的分形現象、性質和機理研究也存在很多沒有探明和完全解決的問題。比如巖石性狀和力學性質為什么會產生自仿射和多重分形性質，更復雜的還有煤與瓦斯突出和軟巖巷道支護等巖體非線性動力學現象和特性的分形描述和機理研究。

最后，對于巖石力學分形研究在工程實際中的應用才剛剛起步，我們還要努力推廣這種新的思想和方法，推動它在實際巖石工程中的實踐和應用，這也是需要我們努力的重要課題。

巖石力學的分形研究屬于一種交叉學科，雖然現在還不特別成熟，但是我們應該可以預見基于分形理論的巖石力學描述、分析和計算將會有廣闊的發展。

6 結語

（1）在巖石斷裂方面，總結了微觀裂隙三種破壞模式，介紹了破碎巖塊分形維數的統計方法。

（2）在巖石損傷方面，總結了分形理論在巖石損傷力學中的應用有兩種主要方式。

（3）根據對已有文獻的研究，通過自己的思考，對分形理論在巖石力學中未來的發展方向提出三個方面的建議。

[1]張永平，謝和平.由幾何反演導出的分形幾何[J].應用數學和力學，1990(11).

[2]謝和平.大理巖微觀斷裂的分形(fractal)模型研究[J].科學通報，1989(05).

[3]謝和平，陳至達.巖石類材料裂紋分叉非規則性幾何的分形效應[J].力學學報，1989(05).

[4]謝和平.脆性材料裂紋擴展的分形運動學[J].力學學報，1994(06).

[5]謝和平.動態裂紋擴展中的分形效應[J].力學學報，1995(01).

[6]謝和平，高峰，周宏偉，左建平.巖石斷裂和破碎的分形研究[J].防災減災工程學報，2003(04).

[7]高峰，謝和平，趙鵬.巖石塊度分布的分形性質及細觀結構效應[J].巖石力學與工程學報，1994(03).

[8]夏元友，吝曼卿，廖璐璐，熊文，王智德.大尺寸試件巖爆試驗碎屑分形特征分析[J].巖石力學與工程學報，2014.

[9]李德，李守巨，于申，曹麗娟.壓頭作用下巖石破碎過程分形特性研究[J].巖土工程學報，2013(2).

[10]謝和平.巖石混凝土損傷力學[M].徐州:中國礦業大學出版社，1990.

[11]謝和平，鞠楊.分數維空間中的損傷力學研究初探[J].力學學報，1999(03).

[12]謝和平，高峰.巖石類材料損傷演化的分形特征[J].巖石力學與工程學報，1991(01).

[13]謝和平.脆性材料中的分形損傷[J].機械強度，1995(02).

[14]董毓利，謝和平.砼受壓損傷的分形描述[J].力學與實踐，1995(06).

[15]高峰，謝和平，趙鵬.Weibull模量和巖石強度的分形性質[J].科學通報，1993(15).

[16]祝文化，明鋒，宋成梓.爆破荷載作用下巖體損傷破壞的分形研究[J].巖土力學，2011(10).

TU45 【文獻標識碼】A 【文章編號】1009-5624（2018）02-0119-03