靜電場中的鏡像電荷對偶方法

蔣銘陽

（成都七中嘉祥外國語學校 四川 成都 610000）

靜電場中的鏡像電荷對偶方法

蔣銘陽

（成都七中嘉祥外國語學校 四川 成都 610000）

通過庫侖定律研究靜電場問題，基本出發點是電荷的帶電量無限集中于一點，兩電荷之間受力的規律與物體間的萬有引力形式上是統一的，從這個形式出發，可以采用相似的方法研究點電荷的受力規律，質點與點電荷對等，本文在此基礎上引入虛擬的鏡像電荷，按照電場疊加等效的原則，利用邊界條件認識鏡像電荷的物理意義，有助于研究靜電場中感應電荷電場分布。

靜電場；庫侖定律；鏡像電荷；感應電荷

本文討論了幾種不同的場景，通過研究靜電場中電荷分布的規律，引入了像電荷的觀點，像電荷是虛擬的電荷，具有數學上的意義，同時根據電場可以疊加的原理，鏡像電荷并未改變局部電場的分布，即像電荷也具有其特定的物理意義。從存在性上講，引入像電荷是為方便計算而來，它并不存在，但引入像電荷之后，靜電場可以看著是原電荷和像電荷的矢量疊加，根據靜電場的疊加原理，可以分別求出原電荷和像電荷在空間某點處產生的庫侖力，方便了問題的分析和計算。

先考慮一個點電荷與一個接地金屬導體球組成的系統，這個系統就是由質點與非質點物體構成的，不能像對兩個簡單的質點之間的分析一樣。由于庫侖定律表達式

有類似的形式，考慮到在處理質點與均勻球體之間萬有引力時采用的是等效的方法，即將質點對均勻球體的力等效在等效作用點（球心）上，在對一個點電荷與一個接地金屬導體球組成的系統進行分析時，可以采用類似的等效法，從而轉換為較為方便的、對兩質點的分析。需要注意的是，當我們分析萬有引力時，將球體的總質量等效為一個質點，不影響球體之間的萬有引力的關系。球體的質量分布是不會因質點的存在而改變的，但分析金屬球體時，其表面會不均勻地帶上感應電荷，可以肯定的是，這個等效點不再是球心。

根據這種對應的形式，本文考慮了點電荷模型，其中點電荷在球殼外，點電荷在球殼內三種場景，討論應用靜電荷中基本定律，求解電場問題的一般方法，在此基礎上用虛擬的像電荷等效的概念，將球殼等效為一個未知電量及位置的點像電荷。

為了方便分析，先考慮以下模型：

空間中存在的兩個點電荷，相距為d，分別帶電+Q與-q。此時理論上可以畫出空間中電場線以及等勢面，為方便起見，先考慮以無窮遠為零電勢時電勢為零的等勢面。若重疊于等勢面放置一塊金屬接地薄板，可以肯定，空間中電場線、等勢面分布不會發生改變，金屬板所分割成的兩個空間的電場因靜電屏蔽而不變。此時可以發現撤去一個電荷，另一個電荷所在的分割后的空間電場仍不會變化。

下面對這個等勢面進行分析。

利用點電荷在空間中產生的電勢U與距點電荷的距離R的關系

以及電勢的疊加原理，得到空間中任意一點、距+Q、-q分別為R、r的一點（由于此系統具有二維對稱性，所以確定兩個坐標量就可以確定該點情況）電勢為

建立，以-q為原點，-q指向+Q方向為x軸正方向的坐標系，在二維坐標內一點（X，Y)到兩點距離關系有：

由于X2、Y2的系數相等，故上述方程軌跡為一個圓，推廣到三維坐標系中，將會形成一個球。在此基礎上，可以反向利用該結論，即一個點電荷與一個接地金屬導體球組成的系統在球外產生的電場可以等效為兩個點電荷的合作用，只是等效的那個電荷的位置和帶電量尚未確定。以下將討論其確定方法。

在此基礎上，用以下方法求解：

如圖1所示，以球心為原點，考慮一個過球心、實際存在的+Q、虛擬的-q的一個面

圖1 鏡像電荷計算閉合曲面模型

設-q（x，0），由兩個點在球表面上任意一點合電勢為零，考慮離+Q最近的球面上的點和離+Q最遠的球面上的點電勢為零，可以列出下列式子

由上述模型可以發現，金屬球殼可以將空間分為兩個相互獨立的兩部分，起到了靜電屏蔽的作用，實際上點電荷在金屬球殼內產生的場強仍然遵循庫侖定律，并沒有消失，只是被球殼帶的感應電荷所產生的合場強所抵消了。在此基礎上，可以知道球殼內一點的電勢表達式：

也就是說球內表面所帶總電荷量就等于球殼內像電荷所帶電荷量，這符合對感應電荷的認知。即電荷不會憑空產生，也不會憑空消失。

通過以上的討論，在靜電場中，電荷是感應出來的，感應現象只是改變了原有電荷的分布，可見電荷總代數和始終是守恒的，鏡像電荷的引入，只是一種數學方法，并沒有改變物理定律的普遍適用性。

以下對該模型進行討論

由q、x的表達式可知，q、x均趨近于零，其意義是金屬球足夠小的情況下，對空間電場分布幾乎沒有影響，類似于質點是質量的無線集中，在萬有引力定律中，將質量集中在一處，也不會改變物體之間的萬有引力的大小。在坐點電荷近似后，可以忽略其存在。此處有明確的物理意義，這種近似也是比較合理的。

可以知道此時的像電荷相當于在距球心無限遠處放一個電荷，而球心也在無限遠處，無法直接分析，為了分析這種情況，先借助以下模型進行分析

空間中存在相距為2L的電荷+q、-q，類似于上面的模型，根據分布的幾何對稱性，易知此時的零等勢面為垂直于兩電荷連線的中垂面，是一個平面。在該平面上，原電荷和鏡像電荷激發出來的電場，大小相等，方向相反，可以等效為接地面。同樣地若在這個平面處放上一塊接地金屬板，將會把空間分為兩個互相獨立的部分，且兩部分關于金屬板對稱。于是易得+q、-q可以互為像電荷，而且此時的金屬板為無限大平面，可以認為是圓心在無限遠處、半徑無窮大的球的對應立體角極小的球冠，當對應的圓心角足夠小時，每一段弧線就是一段線性微元，滿足可積分的條件，這正是所討論的的情況。

反過來再看q、x的表達式

同理

此結論與上述分析相符。

上述推導過程中，用到了多項式展開的泰勒公式，作為合理的近似，截去高階無窮小量，僅保留前兩項。

在此基礎上，理論上可以得到點電荷與無限大接地金屬平板組成的系統在空間中產生的電場，這里按照金屬板表面附近的電場分析金屬板上電荷分布。

由于該系統具有二維對稱性，其中y軸在金屬板上，x軸通過像電荷與點電荷連線的場景。

分析y軸上一點，設此點與點電荷q的連線與x軸夾角為θ，此點的電場強度

考慮一個以原點為圓心的位于金屬板上的一個極細圓環，其寬度對應q處的夾角為dθ微元。

環上任意一點與電荷的連線與x軸夾角可以認為是不變的，均為θ，可以得到此圓環的面積

對此圓環運用高斯定理，取一個封閉曲面即圓環柱，其高度很小，可以得到

解得

此時已經得到平板作為一個非質點物體的帶電面密度關于θ的關系，說明平板的帶電情況已經確定，在此基礎上，可以求出平板的帶電總量

代入σ(θ)、dS的表達式，將上式寫為積分形式

求出金屬平板的總帶電量為-q，同樣可以利用之前點電荷在球殼上產生的感應電荷的結論，只不過這個球殼半徑無窮大，其總的感應電荷為-q，是符合之前的結論的。

（3）點電荷在金屬球殼內

由于之前的模型中被球殼分割的兩部分互不影響，所以接地球殼內的點電荷的像電荷為以點電荷作為像電荷在模型“點電荷在球殼外”中所對應原來的電荷。設此時點電荷帶電量為q，接地球殼半徑為R，點電荷距球心距離為x，像電荷距球心為d，帶電量為Q，有

由此確定了像電荷大小以及虛擬的位置。

①鏡像電荷使用需要注意的幾個問題：

②鏡像電荷不能和原電荷在同一側，否則就不是鏡像電荷了；

③鏡像電荷和原電荷產生的場，在邊界處不改變原來的場線的分布；

④系統總的電荷代數和要守恒；

⑤鏡像電荷一般處于與原電荷對稱的位置，但不絕對；

⑥鏡像電荷的個數可能不唯一；

本文從三個不同的場景分析了鏡像電荷的位置和大小的確定方法，總的原則是從系統總的電荷量代數和不變出發，感應電荷只是改變了正負電荷的分布，其總量不變。根據高斯定理，電場屬于有源場，即任意一個閉合曲面內無點電荷源，則電通量為0。研究感應電荷的分布時，這個視角可以提供一種方便的分析方法。對于非點電荷的情形，用微元法思想，結合積分等數學工具進行分析，電場力適用矢量的分解與合成，對于更加復雜的情形，分解成本文總結的三種特殊情形后，再矢量疊加即可；本文討論了一種普遍的分析方法。

像電荷等效的本質是電場的疊加性，通過模擬等效電場，從數學意義上引入了一個位置上對稱的點電荷，在用像電荷替換掉球殼之后，電場的分布和大小并未發生變化，但像電荷相當于把電場源等效為一點，這樣場的問題就簡化為了兩個點電荷的矢量疊加，點電荷適用的庫侖定律在此情景下就簡便很多。

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TP319 【文獻標識碼】A 【文章編號】1009-5624（2018）02-0104-03