例談格點問題的解題策略

周衛國

摘 要：尋求“格點”問題解法的關鍵是抓住題目關鍵詞，挖掘出題目所含條件的作用，把非格點轉化為格點問題處理，合理利用題目已知條件，多種知識處理問題。這也是解決數學問題基本方法。

關鍵詞：抓住題目關鍵詞;化歸思想;合理處理已知條件

中圖分類號：G633.63????????? 文獻標識碼：A???? 文章編號：1992-7711（2018）20-068-2

“格點”問題是初中數學中一類重要題型，很多數學問題都可利用格點問題出現。近幾年中考中，常常出現以“格點”為背景的數學問題，但學生對格點問題往往掌握的不好，得分率不高。如何利用“格點”，并在這類問題中，理清頭緒，解決問題，這需要教師教學時提煉解題策略，引導學生學會分析問題，利用“格點”解決問題。下面本文從三個方面來談談“格點”問題的解題策略：

策略一、尋找問題突破口，抓住題目關鍵詞

例1 （2017泰州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A、B、P的坐標分別為（1，0），（2，5），（4，2）。若點C在第一象限內，且橫坐標、縱坐標均為整數，P是△ABC的外心，則點C的坐標為??? 。

[解題過程] 本題的關鍵詞：外心。外心是三角形外接圓的圓心，外心是三角形三條中垂線的交點。本題的解決應充分利用外心的性質：點P在線段AB的中垂線上。解決方法：以點P為圓心，AP長為半徑畫圓，圓P在第一象限內的格點即為所求點C，答案為：（1，4）（6，5）（7，4）。

[解后反思] 本題的解題策略在于如何用好“外心”，而點C的橫坐標、縱坐標均為整數即為“格點”。可學生在解答時，往往缺乏分析思路，分析不了外心的作用，同時學生即使會分析也會出現漏解的情況。因此，培養學生分析問題的能力，比解決一道題目更重要：如何用好外心是解決本題的關鍵。

【變式練習】

（17鹽城）如圖，在邊長為1的小正方形網格中，將△ABC繞某點旋轉到△A′B′C′的位置，則點B運動的最短路徑長為?? 。

略解：在本題的教學中，重點理解好旋轉的性質：對應點的連線的中垂線的交點即為旋轉中心O，點B運動的最短路徑為以點O為旋轉中心，OB為半徑，逆時針旋轉90°，lBB′=90π13180=13π2。

反思：本題的解題策略在于旋轉前后的圖形有何聯系。由旋轉前后兩個圖形，尋找旋轉中心，只要找兩組對應點連線的中垂線交點即可。利用格線，構造中垂線a，b，交點即為旋轉中心。教學時，只要緊緊抓住旋轉中心進行教學即可。

策略二、化歸思想，把非格點角度轉化為“格點”角度

例2 如圖，在2×6的網格中，AD與BC相交于點E，則sin∠DEC=（? ）

A.12??? B.22??? C.32??? D.2/3

師：要求sin∠DEC，你們有什么方法嗎？

生1：轉化，把∠DEC轉化到“格點角”去，即（如圖）連接AF，過A作AG⊥AD交AD于點G，則∠DEC=∠GAF，利用面積公式算出FG=102，且AF=5，由此可得sin∠DEC=22，答案選B;

生2：還有另一種轉化方法：過點C作AD的平行線，交格點于F，連接BF，則∠DEC=∠BCF，易證△BCF為直角三角形，則sin∠DEC=22，答案選B。

師：很好，兩位同學的方法有異曲同工之妙，都把一個“非格點角”轉化為“格點角”，并把它們擺在一個直角三角形中，從而利用三角函數解決問題。這都體現了數學中的“化歸思想”，你們的思維很有創造性。

點評：在本題的解答中，解題策略是如何轉化“非格點角”，在分析這道問題時，老師要利用題目的已知條件，所求角度的正弦值方法有兩種：要么構造直角三角形，求解三角函數值，在本題中顯然不可行，因為∠DEC不在格點上，構造了直角三角形也無法計算邊長;要么轉化角度，把∠DEC轉化為“格點角”，再構造直角三角形，求解∠DEC的正弦值。有了這一解題策略，整個問題也就不難處理了。

策略三、合理處理題目條件，用多個知識結合解決問題

例3 在如圖所示的正方形方格紙中，每個小四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格點，AB與CD相交于M，則AM∶BM=______ 。

師：本題有一定的難度，請大家認真思考后解決問題？

（學生埋頭解答，教師教室巡視）

生1：老師，可用相似解決問題：先在圖中X型相似中，利用AMBN=ANBC;再利用A型相似，NECF=DEDF=13，從而可得ANBC=512，∴AM∶BM=5∶12。

生2：老師，我還有一種方法：建系法，即建立平面直角坐標系，通過求直線交點的方法求解。解法如下：

建立如圖所示平面直角坐標系，點A（0，2），點B（5，0），點C（1，0），點D（2，3）。直線AB：y=-25x+2，直線CD：y=3x-3，聯立方程：y=-25x+2y=3x-3，解得點M（1725，2417），利用相似三角形對應高的比等于相似比求得AM∶BM=5∶12。

師：兩位同學的解法，非常具有想象力，我們對這兩位同學的解法表示祝賀（教室里響起熱烈的掌聲）。

點評：本題有一定的難度，難點有兩個：第一點M非“格點”，第二AM∶BM如何求。在破解第一個難點時，這道題目不需轉化，它與本文的例2解法有著本質區別。第二個難點為轉化AM∶BM，如何轉化有兩種思路：方法一利用兩次相似求解;方法二構造平面直角坐標系，轉化為直線解析式求解。這也是解好此類問題的解題策略：當所求結果無法轉化時，可合理利用多個數學知識處理問題。

“格點”問題是初中數學的一種重要題型，要解好這類問題，需要在平時教學中加強此類題目的訓練，在訓練中提升學生能力，在解題中找到解決問題的方法。同時教師在教學中，應注意收集問題，把問題分類并總結。只有這樣，才能真正讓學生舉一反三，只有掌握了方法，才真正把握了解決問題的“鑰匙”。