數形結合思想在數學中的應用

丁莉萍

摘 要：數形結合思想，是指將抽象的數學知識轉化為圖形特性，以加深學生對數學的理解和掌握。本文通過對我國初中數學教學現狀進行深入探討和剖析，并提出數形結合思想教學在初中數學教學中的意義，以供相關教育工作者有所借鑒。

關鍵詞：數形結合;以形輔數;以數輔形;解決數學問題

中圖分類號：G633.6????????? 文獻標識碼：A???? 文章編號：1992-7711（2018）20-039-2

數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化。中學數學研究的對象可分為數和形兩大部分，數與形是有聯系的，這個聯系稱之為數形結合，或形數結合。數形結合包括兩個方面：第一種情形是“以數解形”，而第二種情形是“以形助數”。“以數解形”就是有些圖形太過于簡單，直接觀察卻看不出什么規律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等

本文主要是通過典型的例題，來闡述數形結合思想方法在各層面上的應用。每道例題，都很好地體現了數與形相結合的妙處，都說明了在教學過程中引導學生運用數形結合思想方法，可以培養學生的創新思維，可以鍛煉他們的靈活運用能力。

一、數形結合思想在中學代數中的應用

代數是研究數量關系的。雖然數字化是很精確，但若能用圖象表示出來，往往更直觀，變化的趨勢更明確。所以運用數形結合思想方法，能給抽象的數量關系以形象的幾何直觀，同樣也能把幾何圖形問題轉化為數量關系問題去解決。

（一）函數與圖象的問題

例1 函數值域的求法

1.轉化為斜率型

函數f（x）=xx+1的最大值??? 。

解：原函數式可寫成f（x）=x-0x-（-1），x∈[0，+∞）。故y可看成是連接P（x，x），Q（-1，0）兩點直線的斜率。P點軌跡是拋物線x=y2。在直角坐標系中作出此拋物線的圖像，即求拋物線上一點與點Q的連線的斜率的最大值。顯然如圖所示位置時，切點為（1，1）時，斜率最大為12。所以函數f（x）=xx+1的最大值為12。

2.轉化為截距型

已知函數y=1-x+x+3的最大值為M，最小值為m，則mM的值為??? 。

解：函數y=1-x+x+3的定義域為x∈[-3，1]。令t=1-x，t∈[0，4]，則函數y=1-x+x+3可變形為y=t+4-t。設P（t，4-t），令u=t，v=4-t，則P點軌跡是四分之一個圓u2+v2=4。而直線L的方程為u+v=y。圓與直線有公共點P。要求y的最大值和最小值，即求直線L：v=-u+y的截距的最值。

在直角坐標系中畫出圓和直線L的圖像，隨著u，v的變化，我們發現y最大為22，最小為2.所以mM=22。

3.轉化為距離型

求函數f（x）=2x2-6x+9+2x2-10x+7的值域。

解：函數f（x）=2x2-6x+9+2x2-10x+7可變形為

f（x）=2（（x-32）2+（0-32）2+（x-52）2+（0-32）2）。則f（x）可視為平面上點P（x，0）到兩定點A（32，32）和B（52，32）的距離之和。在x軸上找一點P（x，0），作點A關于x軸的對稱點A′（32，-32）。則f（x）=2（|PA|+|PB|）=2（|PA′|+|PB|）≥2|A′B|。又因為|A′B|=10，所以f（x）≥25，即f（x）∈[25，+∞）。

說明：在遇到求函數值域這類問題時，應根據函數的不同類型，選擇不同的方法。以上介紹的三種方法是對于式子較復雜一點的函數而言，任一種都很形象直觀。學生可通過觀察圖像，再結合數，將問題分析得徹底，理解得透徹。對培養學生的創新思維很有幫助。

運用數形結合思想方法不但可以比較大小、求函數值域，還可以判斷函數單調性等等，在函數與圖像這一方面，數形結合思想的運用很廣泛，通過以數構型、以形構數來解決不同的函數問題，可以鍛煉學生的解題能力，還可以培養學生的創新思維。

（二）方程與曲線的問題

例2 已知關于x方程（x2-4x+3）2=px，有4個不同的實根，求實數P的取值范圍。

分析：這不是一個簡單的方程，若通過化簡移項再解題，有點麻煩。所以在這里，我們應運用數形結合的思想方法，那就簡單明了了。

解：方程有4個實根相當于函數y=（x2-4x+3）2=|x2-4x+3|與函數y=px有4個交點。在同一直角坐標系上畫出

這兩個函數的圖像。如圖，

當函數y=px與x軸重合時，這兩個函數有兩個交點;當函數y=px與函數y=|x2-4x+3|相切時，這兩個函數有3個交點。通過觀察，我們知道函數y=px應介于以上兩者之間。當這兩個函數相切時，

y=-（x2-4x+3）y=pxx2+（p-4）x+3=0，

Δ=0p=4-23，4+23（舍去）。所以0<p<4-23。

說明：這是道解方程的題目，巧妙地運用到了函數圖像，數與形的結合，輕易就解決了問題。這就要求學生的思維不能定勢，不能一味地運用死方法，把它化成一元二次方程的形式，那樣子很繁瑣。所以學生要現學現用，靈活運用，鍛煉自己的解題能力和思維能力。

總之，數形結合的思想方法的本質是將抽象的數學語言和直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來，通過對圖象的處理發揮直觀對抽象的支柱作用，通過對數與式的轉換，使圖形的特征及幾何關系刻畫得更加精細和準確，這樣就可以使抽象概念和具體形象相互聯系、相互補充、相互轉化。

二、數形結合思想在解析幾何中的應用

解析幾何本質就是將“數”與“形”有機的聯系起來。通過“數”來研究“形”是解析幾何教學的中心，有了數形結合的方法，可以憑幾何直觀，豐富想象，促使問題的解決。

例3 設x≥1，求坐標平面上兩點A（x+1x，x-1x）和B（1，0）之間距離的最小值。

分析：這是求兩點間距離的問題，可用兩點間距離公式對其進行求解，但計算過程中涉及到開方，比較麻煩。若我們仔細觀察點A的坐標的特點，不難發現兩坐標的平方差是一常數：（x+1x）2-（x-1x）2=4，類似于雙曲線方程x2-y2=4;于是聯想到雙曲線的圖象，結合圖形對問題進行求解。

解：X=x+1x，Y=x-1x，則有X2-Y2=4，（X≥2）。如圖，作出函數X2-Y2=4的圖像。顯然，當點A（2，0）時，點B到點A的距離最小為1.

說明：這是一道以數想形的題目。在解代數問題時，根據數式的特點，提煉其蘊含的幾何特征，以數想形或化數為形，則能依據形的性質和關系，直接而簡明地使某些代數問題迅速獲解。

綜上所述，數形結合是解析幾何學科的基本特征，坐標法是解析幾何的基本方法。在解析幾何教學中，要充分重視數與形的結合，引導學生由形思數，由數思形的思維模式，進行聯想，從而揭示出問題的特征與本質。數與形的有機結合與轉化，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，以便化難為易，解決問題。

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