l1范數最小化算法在海流流場建模上的應用

周騰壹+李亞鵬

摘要：本文基于高斯基函數的線性組合來建立海流流速場模型。利用先驗數據，基于 范數最小化算法對高斯基函數的系數向量進行求解，選出了起作用大的高斯基函數，實現了以較少的高斯基函數建立流場模型。

關鍵詞：高斯基函數；海流流速場建模；范數最小化

1.引言

海流流速場模型在海流要素探測中具有重要的意義，例如，基于海洋流速場模型，能夠預測出海流輸運的化學羽流（例如溢油羽流）的運動特征，進而進行高效的探測。因此本文就范數最小化算法在海流流速場模型的建立過程中的應用問題進行了研究。

2.流場建模

在海流流場建模方面，已有研究人員對此進行了研究。例如，Dongsik Chang等人將海流流場分為潮汐成分和非潮汐成分[1]，對這兩種成分進行疊加，實現了對海流流場的建模。本文對其模型進行了簡化，即不考慮潮汐成分和非潮汐成分，而是統一用高斯基函數的線性組合來建立海流流速場模型。

設S*表示區域D內未被采樣的點所在的位置，h（s*）表示空間高斯基函數組成的行向量，H（s*）是由h（s*）組成的矩陣，ξ（k/k）為隨機的時間函數組成的向量，那么，本文建立的海流流場模型為：

（1）

式中：

為k時刻未測量位置s*（s*εD）處的東西或者南北方向的海流流速值。

由于真實海洋環境復雜，實驗以及驗證成本高，因此本文用二元二次函數模擬了一個海流流場，若最終估計的流場流速值和這個模擬流場流速相同，則說明算法是正確的，可以用來對流場進行估計，反之，則算法不適用于海洋流場的估計。首先用二元二次多項式函數z（x，y）=a+bx+cy+dx2+ey2+fxy來模擬流場，其中x和y分別為海洋中某一點的橫縱坐標，z為點（x，y）處的流速值。設定x，y的范圍為（0m，100m），即模擬大小為100m2范圍的流場流速值。對于流速z的要求為大于等于0，通過求偏導、設定極值點等技巧確定了參數a=0.27，b=-0.001，c=0.001，d=-0.0000005，e=0.000001，f=-0.000001，即假設的流場流速狀態是z（x，y）=0.27-0.001x+0.001y-0.0000005xy+0.000001x2-0.000001。

在該區域內均勻布置了100個高斯函數，即每10m2布一個高斯函數，該位置即高斯函數的中心點坐標cj（j=1，2，3…100），設置高斯函數的方差都為10。

3.流場初始化

對于 ，需要知道權重ξ的初始值，即 ），本文選用l1范數最小化算法[3]來對其初始化，其公式為：

（2）

其中： 表示通過l1范數最小化求出的ξ的最優估計值，是一個稀疏信號， 為向量ξ的1范數。H叫做觀測矩陣，ξ為觀測矩陣對應的系數，叫做系數向量，y為由觀測值組成的觀測向量。該算法在保證Hξ=y的前提下，能夠使向量 中的零元素盡可能的多。

在羽流所在的區域內隨機采集n個位置的流速值，利用采集的n個流速值對海流流場模型進行初始化，即對模型中的參數 進行初始化。公式中的y表示采集的n個位置的流速值，是一個n維列向量，即 。

H是高斯函數組成的矩陣，其形式如下：

（3）

ξ是m維列向量，表示各個高斯函數的權重，可以表示為ξ=[ξ1，ξ2…ξm]T。

從圖2所示的海流流速場模型中采集10000個數據作為測量值，用來對系數向量ξ（k/k）進行初始化，即求出ξ（0/0）。通過l1范數最小化之后得到的系數向量內的元素值如圖3所示，通過該圖可以看出，經過 l1范數最小化，系數向量內的大多數元素成為了0，即成為了稀疏向量。系數向量內的元素越小，意味著對應的高斯基函數對于流場的擬合所起的作用越小，因此為了提高計算效率，只保留起作用大的元素即可。基于 范數最小化后的系數向量元素圖以及通過設定不同的保留元素個數，得出不同的初始化誤差圖，通過對比保留的元素個數越多，得到的結果越接近模擬的流場流速值，但是保留的元素個數越多，計算效率越低，最終保留了50個元素，用這50個元素組成的新的系數向量，用其將50個高斯基函數線性組合得到的效果圖以及誤差圖如圖1和圖2所示，可以看出誤差與海流流速值比起來非常小。

4.結論

本文通過l1范數最小化算法找出了對該流場其作用大的高斯基函數，實現了好較少的高斯基函數建立流場模型的效果，并通過MATLAB編程驗證了算法的有效性。

參考文獻：

[1]Chang D， Liang X， Wu W， et al. Real-Time Modeling of Ocean Currents for Navigating Underwater Glider Sensing Networks[M]// Cooperative Robots and Sensor Networks， Studies in Computational Intelligence， Volume 507. 2012：61-75.

[2]黃小平， 王巖. 卡爾曼濾波原理及應用[M]. 電子工業出版社，2015.

[3]Hayashi K， Nagahara M， Tanaka T. A User's Guide to Compressed Sensing for Communications Systems[J]. Ieice Transactions on Communications， 2013， E96-B（3）：685-712.endprint