勾股定理解題的注意事項分析

【摘要】：勾股定理是數學學習過程中較為重要的定理之一，熟練應用勾股定理具有重要意義，勾股定理的綜合應用涵蓋了定理應用、定理證明方法應用，同樣也包括了證明方法當中蘊含思想的應用。在學習勾股定理的過程中，要對其中所含有的數形結合思想方法形成正確的理解。本文對勾股定理在構建方程模型、直角三角形構造解題中的應用進行了分析，繼而提出了勾股定理解題的注意事項，以引導學生在運用勾股定理時運用創新思維，同時，有助于學生在運用勾股定理時，能夠正確認知直角邊與斜邊，區分定理與逆定理以及明確勾股定理應用條件，規范解題語言，從而不斷培養自身利用數形結合思想解題的習慣與能力，以提升解題效率。

【關鍵詞】：勾股定理；解題；注意事項

勾股定理將直角三角形三個邊長之間的內在聯系進行了揭示，具體表現在三邊的特殊平方關系，在研究幾何圖形問題方面提供了全新的路徑，所以實際的應用范圍廣泛。在高中學習的整個過程中，勾股定理也占據重要地位，我們在學習的過程中，會受理解不到位或者是條件與結論把握不全面等因素的影響而出現解題錯誤的情況。那么，在利用勾股定理解題的時候，一定要注意相關運用事項，只有這樣，才能夠提高解題正確率。由此可見，深入研究并分析勾股定理解題的注意事項具有一定的現實意義。

一、勾股定理的具體應用

（一）應用于構建方程模型解題方面

眾所周知，方程主要以數的形式存在，而幾何則是以形的形式存在。勾股定理的應用有效地融合了方程和幾何兩種內容，通過構建方程來求取幾何圖形線段長度也逐漸成為常見的數學方法。

例題一：如圖一所示，∠ACB 是90 度，而AD 則是∠CAB 的平分線。

其中，BC 的長度是4，而CD 的長度是23，試求出AC 的長度。

例題分析：充分結合軸對稱的知識內容，可以利用輔助線，作DE⊥AB，交點為E，進而構造出全等三角形。在此基礎上，假設AC的長度是x，即可使用含有x 的方程式來代表AB 的長度，結合勾股定理形成方程并求取結果。

求解過程：經過點D做出DE⊥AB的輔助線，交點是E，那么三角形ACD和三角形AED就是全等關系，所以DE與CD的長度相等，都是23。

此時即可借助勾股定理獲得BE的長度，即2。假設AC的長度是x，AB的就是x+2，再次使用勾股定理構建起方程，即x2 42 （x 2）2，最后解得x的數值是2，進而得到AC的長度是3。

（二）應用于直角三角形構造解題方面

在圖形構造方面，最重要的就是觀察與想象。結合題目的具體設置與圖形本身特點，做出適當的輔助線，即可構造出特殊直角三角形，并且在勾股定理的作用下，把未知線段與已知條件聯系到一起，可以簡化試題的解答難度[1]。

例題二：等邊三角形ABC的邊長是2，而E則是BC延長線上的一點。與此同時，CE與BC的長度相同，點D則是AB的中點，試求出DE的長度。

（三）試題分析：由于DE 和三角形各邊長之間并不存在聯系，在對圖形特點進行觀察的基礎上，可以做出輔助線來構造出直角三角形，并且把DE當做是直角三角形中的一條邊長，在勾股定理的作用下即可求出DE長度。

求解過程：如圖二所示，將AE連接起來，由于AC、BC與CE的長度相等，因而三角形ABE 是直角三角形。在勾股定理應用的過程中，可以求解出AE的長度是2 3。而在直角三角形ADE當中，通過對勾股定理的應用，同樣可以計算出DE的長度，即13 。

二、勾股定理解題的注意事項分析

（一）直角邊與斜邊的正確認知

例題三：在直角三角形ABC當中，a的長度是8厘米，b的長度是10厘米，其中∠B是90度，試求出邊長c的長度。

錯誤解答：根據勾股定理即可計算出c邊的長度是2 41，因此三角形ABA的第三個邊長是241。

例題分析：在此例題當中，之所以解答結果不正確，是因為沒有正確認知直角所對應的邊是斜邊。其中，∠B是90度，所以邊長b則是斜邊，并非是c邊長。

正確解答：由于∠B 是90度，所以邊長c應當是直角邊，通過對勾股定理的運用，即可求解出邊長c的長度是6厘米。

（二）勾股定理應用條件

例題四：三角形ABC中，其三個邊長分別是a、b、c，其長度都是整數，其中的a邊長度是3厘米，b邊長度是4厘米，請求解出c邊的長度、

錯誤解答：根據勾股定理可以得出c邊的長度是5厘米。

例題分析：使用勾股定理的主要條件就是要在直角三角形當中。

而在例題當中并沒有提到三角形是直角三角形，所以并不能夠使用勾股定理[2]。

正確解答：根據三角形三邊之間的關系可以得出c邊長要大于1厘米且小于7厘米。而例題中已知條件是c邊長是整數，所以其長度可以是2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、6厘米。

（三）定理與逆定理之間的區分

例題五：試判斷以下三條線段是否可以構造出直角三角形，即a為3，b 為4，c為5。

錯誤解答：由于32 42 52，所以可以推斷出a2 b2 c2，將勾股定理

作為依據，即可判斷出這三條線段可以構造成為直角三角形。

例題分析：在該試題當中，解題的依據并不正確，嚴重混淆定理與逆定理條件結論。其中，勾股定理主要是通過圖形來推導出數，對于逆定理來說則是通過數來推到出圖形，所以堅決不允許混淆使用[3]。

正確解答：由于32 42 52，所以可以推斷出a2 b2 c2，所以可以根

據勾股定理的逆定理，對三條線段做出判斷，即能夠構造成直角三角形。

解題語言的論述

例題六：三角形三個邊長分別是5、12、13，試證明該三角形是直角三角形。

錯誤解答：由于直角邊是5 與12，而斜邊是13，所以可以得出由這三條邊長構成的三角形是直角三角形。

例題分析：上述解答方法的錯誤之處就是開始就表述直角邊與斜邊，但必須在直角三角形的條件之下才能夠將其稱之為直角邊與斜邊。正確解答：由于52 122 132，與a2 b2 c2的條件相吻合，根據勾股定理的逆定理可以了解到，由這三條邊長所構造的三角形是直角三角形。

結束語：

在對勾股定理應用并解題的過程中，所出現的錯誤并不只是局限在以上范圍，導致出現錯誤的原因很多，但最關鍵的就是未正確認識到使用定理的前提條件是直角三角形，亦或是勾股定理和逆定理之間的差異。要想有效地規避以上錯誤，就一定要正確認知定理并加強學習。

參考文獻：

[1] 李玉榮.解題教學的新視角——以勾股定理的再證明為例[J].上海中學數學，2012（9）：40-41.

[2] 尹蕾.“一圖多變”巧解題--從《幾何原本》中勾股定理的證明說起[J].數學教學通訊，2016（17）：62-64.

[3] 李慧麗.數學“靈魂”，解題“鑰匙”——例談勾股定理的應用[J].試題與研究（新課程論壇），2013（15）：58.