隨機游走模型的幾何結構

摘要：本文首先對統計流形的基本幾何量及其統計意義進行闡述，探究了隨機游走模型度量平坦的一個條件，并計算出了J-散度。

關鍵詞：統計流形；隨機游走；散度

統計學中的微分幾何方法已經成為統計學的令人矚目的分支，在統計推斷、隨機分布控制等領域有著成功的應用。Karl Pearson在1905年第一次提出了random walk，隨機游走是由一系列隨機步伐所形成的的活動模型。如今隨機游走模型已被應用于諸多領域：生態學、經濟學、心理學、計算機科學等。隨機游走模型的幾何結構屬于信息幾何的研究領域，是應用幾何的新領域。應用信息幾何的方法去研究隨機游走模型的幾何結構可以更加直觀、系統地把握隨機游走模型的統計分布性質，為其在更多領域的的應用帶來了新的研究方法。

1 統計流形的概念

對于統計分布流形 ，其中 為歐氏空間 中的開集， 是密度函數，我們引入Fisher信息矩陣：

這里E為數學期望.這樣便在S上引入了黎曼度量，稱為Fisher度量。其Levi-Civita聯絡 系數為：

進一步可定義 聯絡

其中

統計流形 的黎曼曲率張量為

令 ，則

里奇曲率張量 為：

若統計流形（M，g）上一對無撓的仿射聯絡 和 滿足：

則稱 和 是關于g的對偶聯絡。顯然 和 是一對對偶聯絡。

2 散度函數

散度函數是刻畫兩個統計分布差異程度的量，其定義為：

定義2.1 在局部坐標系下，散度函數D ：M×M→R定義為一個光滑函數，滿足 ：

（1） ， ? ∈ V 等式成立當且僅當 ；

（2）

（3） 是正定的

引理2.1（Eguchi，1983）.散度函數可導出一對無撓的仿射聯絡滿足：

對于兩個給定的臨近的密度函數， 和 ，我們定義J-散度為：

運用泰勒展式可以得到：

即J-散度函數是距離微元的平方。

3 隨機游走模型

隨機游走模型的概率密度函數為：

，

的期望和方差分別為： .

運用公式 可以得到 信息陣為：

協方差矩陣 .

相應的黎曼聯絡系數：

由黎曼曲率張量： 得：

其余分量為0

于是我們得到：

定理3.1 隨機游走模型是平坦統計結構當且僅當

類似地可以得到里奇曲率張量由里奇曲率張量為：

.

4 隨機游走模型上的J-散度

定理4.1 隨機游走模型的J-散度（2.1）滿足下列方程：

證明：

而

由于密度函數滿足 故可得到

同理可得

于是 證畢。

參考文獻：

[1]韋博成.統計推斷與微分幾何[M].清華大學出版社，1983.

[2]ZHANG，Jun： A note on curvature ofαconnectoins ona statistical anifold[J]. Annals of Institute of Statistical Mathematics，2006.

[3]何會民.基于隨機游走模型和KL-divergence的聚類算法[J].計算機工程，2008.