例談高中數學恒成立問題的解題策略

摘要：恒成立問題幾乎是數學高考中必考的知識點，因為它涉及到一次函數、二次函數等函數的圖像與性質，滲透了換元、化歸、數形結合、函數方程與不等式的關系等數學思想與方法，綜合了函數、方程、不等式、數列、導數等諸多知識點，有利于考查學生的綜合能力，具有較高的信度與區分度，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用。

關鍵詞：高中數學：恒成立問題：解題策略

1.轉化主元策略

例1. 若不等式 對滿足 的所有m都成立，求x的取值范圍。

分析 在不等式中出現了兩個 字母：x及m，關鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數。顯然可將m視為變量，x視為常數，則上述問題可轉化為 內關于m的一次函數大于0恒成立的問題。

解 原不等式化為

設

根據題意可得

即

解得x的取值范圍為

反思 轉換主元法的解法關鍵是確定題目中的主元，然后化歸成初等函數求解，此方法通常化為一次函數求解。

2.化歸策略

例2 設 ，當 時， 恒成立，求a的取值范圍。

分析 要使 恒成立，若把a移到等號的左邊，則把原題化歸為二次函數在區間 上恒大于0的問題。

解 設

①當 時，即 時，對一切

恒成立；

②當 時，由圖1可得以下充要條件：

即

。

綜上所得a的取值范圍為

反思 二次函數在指定區間上的恒成立問題，通常要用到判別式、韋達定理、對稱軸、單調性等知識結合圖像進行分類討論，特別要注意二次項系數不等于零。

3.分離參數策略

3 分離參數法求解恒成立問題

例3. 設函數 且 ）。⑴求函數 的單調區間；⑵已知 對任意 成立，求實數a的取值范圍。

分析求解：第⑴問，利用函數 的導數，解得函數 的單調遞增區間為（ ），單調遞減區間為 和 。第⑵問為恒成立問題，首相兩邊取對數，得到 由于 ，所以可將變量x與參數a分離開來，得到 即 對任意 成立，則 ，由第⑴問的結論，可知 在區間 上的最大值為 ，所以 ，即 所以實數a的取值范圍為 。

本題第⑵問的解題思路就是分離參數法，首先將變量與參數分離開來，然后借助函數的最值，建立參數不等式，從而得到參數的取值范圍。利用分離參數法解恒成立問題時，必然涉及到求最值，最值的求法主要有以下三種方法；1.對于一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、冪函數及三角函數等基本初等函數，利用函數的單調性求最值；2.利用均值不等式求最值；3.利用函數的導數求最值。本題就是利用函數的導數求最大值。

規律技巧總結：

⑴若 恒成立，則實數c的取值范圍為 ；

⑵若 恒成立，則實數c的取值范圍為 ；

⑶若 恒成立，則實數c的取值范圍為 ；

⑷若 恒成立，則實數c的取值范圍為 。

反思：⑴以上四個性質中，難點就在于參數c的取值范圍是

還是 也就是不等式的等號是否成立，要突破這個難點，只需將函數 和 的圖像進行對比，利用數形結合思想就可以迎刃而解。在不等式問題中，不等式的等號是一個易漏點，比如在一元二次不等式問題、均值不等式問題及取值范圍問題中，都可能要涉及到不等式的等號問題，所以在不等式的學習中，要時刻注意“不等式的等號問題”。

⑵以上四個性質都是 及 恒成立的問題，至于 及 恒成立的情況，本文不在敘述。

4.構造函數策略

例4.設函數 ，若所有的 ，都有 成立，求實數 的取值范圍。

分析求解：本題首先想到就是分離參數，當 時，不等式 恒成立，令 然后利用導數求函數 的最小值。然而由函數 的解析式比較復雜，則利用導數求函數 的最小值將較為困難。可否換個角度來思考這個問題呢？由 恒成立，可知 恒成立，不妨令 則 于是 恒成立轉化為 恒成立。利用函數 的導數 ，可知函數 的單調遞增區間為 ，單調遞減區間為 。由函數 的圖像可知，要對所有的 ，都有 ，則 ，解的 ，所以實數 的取值范圍為 。

反思：本題利用分離參數法難于解題，則考慮構造一個新函數 ，利用 的單調性，建立參數不等式，從而得到參數的取值范圍。

參考文獻：

[1]王震. 高中數學恒成立問題的解題策略探微[J]. 中學數學，2017，（09）：78-80.

[2]葉海明. 高中數學恒成立問題的解題策略淺探[J]. 讀與寫（教育教學刊），2009，6（08）：113+192.