“拋硬幣”教學實錄

摘要：拋硬幣是許多數學家都做過的試驗。本著弗賴登塔爾讓學生“再創造”數學的思想，設計和實施了“拋硬幣”教學活動。采用合作學習的方式，通過個人、小組、全班三次統計，鮮明地體現了在大量重復的試驗中，隨機事件呈現出規律性。整個教學過程讓學生親自操作、記錄、統計、觀察、發現、交流、探討，經歷了“再創造”的全過程。學生對隨機事件的規律性有了切身體驗，興趣強烈，印象深刻。

關鍵詞：可能性；拋硬幣；教學實錄

說明：概率論的教科書一般都把拋硬幣作為一個例子，以說明在大量重復的試驗中，隨機事件呈現出規律性，并介紹歷史上幾個著名的拋幣試驗。最有名的是蒲豐和皮爾遜的試驗。蒲豐拋硬幣4040次；之后，皮爾遜進行了兩次試驗，分別拋了12000次和24000次。當然，沒有記錄的試驗還有很多。數學家們為什么非要親自試驗呢？應該說是強烈的探索精神和嚴謹的科學態度促使他們這樣做的。這正是進行數學研究所需要具備的素養。弗賴登塔爾主張讓學生“再創造”數學，即重新發現數學家已經發現的東西，那么我們也應該讓學生重做這個試驗。為此，我們設計和實施了“拋硬幣”活動，取得了良好的教學效果。

教學準備：每個同學準備一枚1元硬幣、一個鞋盒蓋；教師發給每個同學三張表。

一、導入問題，引出猜想

師：同學們都看過足球比賽。比賽前首先要做什么？（選邊）

（教師播放足球比賽的錄像：比賽即將開始時，裁判員拿出一枚硬幣來，拋向空中，然后伸手接住，捂在手里不讓人看見，讓雙方的隊長猜是正面向上還是反面向上。猜對的一方就可以先選邊。）剛才大家看了選邊情況的錄像。現在老師有一個問題：為什么要用拋硬幣的方式選邊呢？

生：因為這種方式是公平的。

師：為什么是公平的？

生1：硬幣可能正面朝上也可能反面朝上，你不能控制它。

生2：硬幣正面朝上和反面朝上的可能性是同樣大的。

師：同意嗎？對了，因為可能性同樣大，猜正面或反面都占不了便宜。

那么，我們怎么知道硬幣正面朝上和反面朝上的可能性是同樣大的呢？

生：因為整個硬幣的厚薄是一樣。

師：硬幣上不是有一些突起的花紋嗎？

生：花紋兩面都有，就平均了。

師：嗯，那就是說，你們提出了一個假設：拋一枚均勻的硬幣，掉下后，正面朝上和反面朝上的可能性是相同的。但是，這只是一個假設。怎么證明你們的假設是正確的呢？

二、提出方法，說明道理

生：可以拿一個硬幣來拋。如果正面朝上和反面朝上的次數相同或者很接近，就說明猜想是正確的。

師：對，可以用試驗來驗證。要拋多少次呢？次數少了行嗎？

生：不行。

師：對。次數少了就會有偶然性。比如可能接連幾次都出現正面朝上。但是要拋很多次一節課又做不到。老師想了一個辦法：全班同學合作進行。首先各組每人用一枚硬幣拋10次，統計正面朝上的次數；然后統計全組人拋硬幣正面朝上的次數；最后統計全班人拋硬幣正面朝上的次數。（教師摘要板書。）

像這樣統計三次，統計的樣本一次比一次多，結果會出現什么情況？

生：正面朝上的次數會越來越接近一半。

師：如果出現這種情況，那說明什么？

生：說明我們的猜想是正確的。

三、個人拋幣，列表統計

師：現在我們來進行驗證活動的第一步：個人拋硬幣。拋的方法是：拿出各人準備的鞋盒蓋，用拇指和食指捏住硬幣，停在盒蓋上方半米左右的地方，然后松手，讓硬幣掉進鞋盒蓋（教師示范）。用寫“正”字的方法記下正面出現多少次。

學生拿出鞋盒蓋和一元硬幣，拋幣并在紙上作記錄。教師巡視、觀察、指導。然后學生填本組的表。先填出拋幣次數（N）和正面朝上次數（Z），再計算正面朝上次數除以拋幣次數所得的商（Z/N），填在最后一列，得到表1：

師（出示一張表）： Z/N這列數表示什么？或者說，從其中的數可以看出什么？

生：這個數越大，表示出現正面的次數越多。

師：就是說，這個數表示出現正面朝上的可能性的大小。

三、全班統計，完成表格

各組將填好的表交給老師，老師根據各組的表填出下表（表2）中各組的正面朝上次數。然后各組同學分別計算本組的Z/N和全班的Z/N（每個同學都計算。可以使用計算器，結果統一保留三位小數），得到下表：

四、討論、質疑，發現規律

師：現在每個同學都有一張表，觀察你的表，你有什么發現？

生：這三個數據一個比一個接近0.5。

師：這說明了什么？

生：說明投幣的次數越多，正面朝上的次數越接近一半。

師：也就是驗證了我們開始提出的猜想：拋一枚均勻的硬幣，掉下后，正面朝上和反面朝上的可能性是相同的。

生：老師，我的第一個數據就恰好是0.5，比后兩個數據還好。

師：大家怎么看這個結果？

生：他的運氣太好了！

師：是的，老師告訴你們：拋10次硬幣，恰好有5次正面朝上的可能性還不到0.1。

師：美國數學家維尼也做了拋硬幣的試驗，他拋了10組，每組拋了2000次，厲害吧？得到的數據如下表：

師：觀察這張表，你有什么發現？

生：每一組的結果都比我們全班的結果更接近0.5。

師：這說明了什么？

生：拋的次數越多，正面朝上的次數越接近一半。

師：有恰好等于0.5的嗎？（沒有。）

師：這說明，拋的次數越多，正面朝上的次數恰好是一半的可能性就越小。

生：我發現第八組的結果比總計的結果更接近0.5，這是怎么回事呢？

師：這是一種偶然現象。就像張丹丹同學恰好拋出一半正面一樣。

師：看了這張表，大家還有什么感想？

生1：數學家能拋這么多次，真是想不到！

生2：數學家太認真了！太有毅力了！

師：我們要向數學家學習，把這種精神用到學習上。

參考文獻：

[1]齊民友.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2002.

作者簡介：許建剛，國防科技大學附屬小學教導主任，本科學歷，小學高級教師，在《小學教學》等雜志發表論文多篇。