淺談一階微分方程的求解方法

摘要：常微分方程是數學專業的必修課之一，是高等代數、數學分析和解析幾何的應用和發展。在一階微分方程的求解過程中有多種求解方法，本文通過求解幾個典型的例題來說明其解法和教學方法，教會學生幾種一階微分方程的解題方法。

關鍵詞：一階微分方程；變量分離；齊次方程；常數變易；全微分方程

常微分方程從生產實踐與科學技術中產生，有著深刻而生動的實際背景，是數學科學聯系實際的一個應用，也是現代科學技術中分析有力的工具。如今在自動化技術、自動控制等科學中，常微分方程已成為了必要的工具。常微分方程是微分學與積分學的實際應用，它的求解離不開導數積分，是高等數學的一個重要組成部分。在常微分方程中，一階常微分方程的種類繁多，因此求解的方法也很多，對于不同的一階常微分方程，我們在方法進行求解。下面就我在教學工作中的一點體會，把一階常微分方程的求解分為四類，通過四個基本例題的求解來談一談一階常微分方程的求解方法。

1.變量分離方程

上式中的 ， 是關于 ， 的連續函數，叫做變量分離方程.

如果 ，則把含有 的函數與微分移到一邊，含有 的函數和微分全部移到另一邊，再對等式兩邊同時積分可以得到方程的解。假如 ，如果存在 使的 ，那么 還是方程的解。

例1 求解方程 .

解：當 的時候，用 除以方程的兩端，則原方程化為

，

可以看出上式是一個變量分離方程，對兩邊同時積分可以得到該方程的通解為

即 為任意的常數

此外，當 的時候，不能用 來除，但是 是方程的兩個特解，不過在通解公式中允許常數 ， 兩個特解就包含在通解之中了。另外，若不規定 是自變量， 是未知函數，則 也是方程的兩個特解，它們也包含在通解之中。

2. 型的齊次微分方程

這里的 是 的連續函數.對于任意的連續函數 ，方程都可通過變換 ，即 ，將其化為可分離變量方程，對 微分，有：

，

代入原方程可以得到： ，

也就是說： ， 當 時，進行分離變量，積分后得通解。

3.線性微分方程

我們稱 為一階非齊次線性微分方程，而 ， 均要求為考慮區間上關于 的連續函數.我們已經知道：

當 時，該方程為可分離變量的微分方程，其通解為：

當 時，現在將中的常數 變易為 的待定函數 ，把 代入非齊次方程，得到 ，方程的通解為

這種解法，我們稱之為常數變易法。

例2求解方程

解 首先將該方程化為標準方程

對應的齊次線性微分方程為：

該對應的齊次微分方程的通解為

現令

代入方程得：

故原方程得通解為：

4.恰當微分方程

如果方程 的左端恰好是函數 的全微分，即 ，則該方程為恰當微分方程。

當方程滿足 時，該方程為全微分方程，該方程可以直接通過湊微分的方法直接求解，當然也可以通過積分的方法求得 或者 。最后得方程的通解為： 或者

一階常微分方程的解法就是把微分方程的求解問題轉化成為積分問題，對于給定的常微分方程，不僅要準確判定它屬于哪種類型，還要注重對做題技巧的把握，對各種一階常微分方程的解題方法進行總結歸納。

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