淺析冪級數(shù)求和函數(shù)的方法

摘要：冪級數(shù)是一類非常重要的無窮項(xiàng)級數(shù)，而冪級數(shù)求和函數(shù)是無窮級數(shù)問題中的重點(diǎn)和難點(diǎn)， 也是教師教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，本文針對求和函數(shù)常見的類型和解法進(jìn)行歸納總結(jié)。

關(guān)鍵詞：冪級數(shù)；和函數(shù)；求導(dǎo)；求導(dǎo)

冪級數(shù)和函數(shù)的求法是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)和重點(diǎn)，也是學(xué)員很難把握的要點(diǎn)，雖然它的解題依據(jù)是逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分，但是在教師教學(xué)實(shí)踐的過程中發(fā)現(xiàn)：有部分學(xué)員對冪級數(shù)求和存在一定的困難。現(xiàn)在我們對這部分內(nèi)容進(jìn)行一定的總結(jié)和歸納。

一、求冪級數(shù)和函數(shù)的一般步驟

（1）求冪級數(shù)的收斂域，設(shè)其和函數(shù)為 ；

（2）對等式 進(jìn)行逐項(xiàng)求積（求導(dǎo)）運(yùn)算；

二、相關(guān)定理

如果 ，其中 是冪級數(shù) 的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)，則這冪級數(shù)的收斂半徑

例1 求冪級數(shù) 的和函數(shù)

（1）先求收斂域

有 ，得到收斂半徑

在端點(diǎn) 處，冪級數(shù)成為 ，此級數(shù)是發(fā)散的；

在端點(diǎn) 處，冪級數(shù)成為 ，此級數(shù)是發(fā)散的；

因此收斂域是

（2）設(shè)所求冪級數(shù) 的和函數(shù)是 ，即

則

故

例2 求冪級數(shù) 的和函數(shù)

解 （1）先求收斂域

有 ，得到收斂半徑

在端點(diǎn) 處，冪級數(shù)成為 ，有萊布尼茲定理知：此級數(shù)是收斂的；

在端點(diǎn) 處，冪級數(shù)成為 ，為調(diào)和級數(shù)，所以發(fā)散；

因此收斂域是 .

（2）設(shè)所求冪級數(shù) 的和函數(shù)是 ，即

則

逐項(xiàng)求導(dǎo)，

對上式進(jìn)行積分

當(dāng) 時，有

當(dāng) 時，

故

例3 求冪級數(shù) 的和函數(shù)

解 （1）先求收斂域

有 ，得到收斂半徑 ，所以此冪級數(shù)在整個實(shí)數(shù)域上都收斂。

（2）設(shè)所求冪級數(shù) 的和函數(shù)是 ，即

而

總結(jié)：以上例題可歸結(jié)為以下幾種類型：

1.形如 的冪級數(shù)，其中 為 的多項(xiàng)式，想辦法簡化，從而利用公式 ，然后逐項(xiàng)積分再逐項(xiàng)求導(dǎo)，從而得到原級數(shù)的和函數(shù)，此公式可以推廣

2. 形如 冪級數(shù)，其中 為 的多項(xiàng)式，此列題目的關(guān)鍵是用求導(dǎo)的方法去掉分母中的多項(xiàng)式，然后利用1中的公式，然后再逐項(xiàng)求積分

3. 形如 冪級數(shù)，其中 為 的多項(xiàng)式，此題關(guān)鍵利用

若形如 ，則利用 的變形，即

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]彭輝.高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)[M].山東科學(xué)技術(shù)出版社，2012.