美妙的數學

古希臘的普洛克拉斯是柏拉圖派的領軍人物、評論家、哲學家，他曾說過：“數學是這樣一種東西：她提醒你有無形的靈魂，她賦予她所發現的真理以生命；她喚醒心神，澄凈智慧；她給我們的內心思想添輝；她滌盡我們有生以來的蒙昧與無知。”“哪里有數，哪里就有美。”

數學追求的目標是，從混沌中找出秩序，使經驗升華為規律，將復雜還原為基本，所有這些都是美妙數學的標志。數學的美妙是真理的光輝。

首先看一下，什么算作美呢？應該有這么兩條標準：一、一切絕妙的美都顯示出奇異的均衡關系（培根）；二、美是各部分之間以及各部分與整體之間固有的和諧（海森堡）。數學本身的美具體表現在：簡單、對稱、和諧、統一、普遍、典型、完備和奇異等。

數學中的對稱美是很明顯的。二維空間中常見的對稱對象是平面圖形，比如各種壁畫。雖然各種壁畫的數目無窮無盡，但類型卻是有限的。這些壁畫所具有的對稱性可以根據各種對稱群（即使得壁畫不變的變換組合）進行分類，這些對稱變換包括：沿一條直線的平移，關于一條直線的反射，關于一個點的旋轉。十九世紀九十年代，E.S.Fedorov（費德洛夫）歸納證明出：對于裝飾性嵌線或者柱基這樣的線性壁緣，只存在七種不同類型的對稱群；對于平面裝飾（如地面、壁畫或者掛毯等）只存在十七種不同類型的對稱群。而且這些平面二維群只有180°、120°、90°和60°的旋轉對稱，所以它們可能是軸對稱、三角形對稱、正方形對稱或六邊形對稱。阿罕布拉宮以及從埃及到日本各個文明中的裝飾都幾乎使用了上述所有對稱。阿拉伯人和希伯來人由于受到基督教的戒律，嚴格禁止形體藝術，所以他們發展了純粹的抽象的幾何壁畫藝術。十四世紀，他們取得了這一領域中最為輝煌的成果：格拉納達的阿罕布拉宮鋪砌。至于到了三維空間，最能體現對稱美的對象則是各種各樣、美輪美奐的晶體。而直到二十世紀七十年代，才有人證明出了四維空間中存在著4783個對稱群。

同時，數學又是相當和諧簡潔的，如出身大不相同又十分重要的五個數 能和諧共處在一個簡潔的等式中，即歐拉公式。從數的產生到數量關系的形成，再到各種演算的法則，無不體現著數學的一種平衡和諧的美。

數學，也許還有古典音樂，是人類精神的最高創造。音樂中的音節和弦位和數學中的比例以及黃金分割本來就有著不解之緣。數學完全從頭腦中產生，就像雅典娜從宙斯的前額中跳出來一樣。作為人類思想的最高境界，數學往往帶有它那種特有的靈性和神秘，遠離蕓蕓眾生，可是對于少數人，數學卻能像音樂一樣，給他們以巨大的心靈震撼。《羅素自傳》的第一卷中寫到：“11歲時，我開始學習歐幾里得幾何學，哥哥做我的老師。這是我生活中的一件大事，就像初戀一樣令人陶醉。我從來沒有想象到世界上還有如此美妙的東西。”他所提到的還是兩千多年前的歐幾里得，而到了21世紀所有的數學瑰寶就變得更加光彩奪目，甚至遠遠超出了一般人的想象。就像無線電波實際上是解微分方程的產物一樣，數學發展的結果是如此深刻，超出了一般人的理解。

我們從小學一直到大學甚至研究生畢業，都要學習大量的數學，有些人會認為不太合理。但縱觀中國的近代發展史，會發現雖然我們可以“師夷人之長技以制夷”，但是那永遠也走不遠，因為許多技術建立在科學基礎之上，不學科學就難以對技術有重大改進，而學科學又不能不學一整套數學，其中微積分只不過是基礎的基礎。而學數學又與學自然科學不同，總要從基礎學起。要想學微積分，首先要把算式、代數、幾何、三角、解析幾何學好，學計算機又要學離散數學，學經濟或金融又要學概率、統計等等。把這一整套學下來，有些人的確會吃不消，但也許這并不是那么不合理的。曾經，柏拉圖的學園禁止不懂幾何學的人入內，因為他覺得不會幾何學就不會正確地思考，而不會正確思考問題的人不過是行尸走肉。這就體現了數學學習對人類和社會發展的奇妙影響，數學的美妙不僅僅存在于數學本身，還體現在人類的素質和社會的狀態之上。

畢達哥拉斯在公元前6世紀發現：在音樂、自然和數學之間存在著對應關系，諧和比與物理比相對應，并由整數比來量化。這不只是一種巧合，而是一種必然性的展示，萬物皆為有理的。中國古代著名的哲學家莊子說：“判天地之美，析萬物之理。”這也許就是學習和研究數學的指導思想和最高美學原則。

（作者單位：西安財經學院行知學院）