巧用樹狀圖解決分布列中的比賽得分問題

離散型隨機變量及其分布列和分布列的期望與方差是山東省這些年的高考考查的熱點問題，經過這幾年的高考真題的分析，關于這個高考熱點題目的出題背景也在不斷創新，試題涉及生活中的各種變化問題。高考中這個試題題目難度不大但是從相對難度上說這個熱點考題主要難在各種情境的變化，難在學生對試題背景的理解，難在題目中事件之間的關系和事件變化過程的辨析。

在山東省的高考中離散型隨機變量及其分布列主要考點有：1、利用排列、組合知識求離散型隨機變量的分布列；運用概率知識解決實際問題。關聯考點排列、組合、概率。2、利用離散型隨機變量的分布列求數學期望、方差；利用二項分布的均值和方差公式計算均值與方差。關聯考點分布列、二項分布、均值方差公式。

學生在分析離散型隨機變量的試題時有以下步驟：1、分析試題背景，明確隨機變量的所有可能取值以及每個值所表示的意義。2、利用概率的有關知識，求出隨機變量每個值的概率。3、按照規范形式寫出隨機變量的分布列，并用分布列的性質進行驗證。4、利用均值方差的公式計算數學期望方差，并說明其意義。

離散型隨機變量所涉及的試題背景很多很復雜，有比賽問題、選人問題、決策問題等。在教學中我將其中一類以比賽得分為背景的問題用數形結合的思想進行分析，主要是畫樹狀圖的方法分析題目的變化過程，牢牢把握這個方法，這類背景問題成功就水到渠成了。

下面舉幾個具體的例子

典型例題1（山東省高考題）某學校舉行知識競賽，第一輪選拔共設有A、B、C、D四個問題，規則如下：①每位參加者計分器的初初始分均為10分，答對問題A、B、C、D分別加1分、2分、3分、6分，答錯任一題減2分

②每回答一題，計分器顯示累計分數，當累計分數小于8分時，答題結束，淘汰出局；當累計分數大于或等于14分時，答題結束，進入下一輪；當答完四題，累計分數仍不足14分時，答題結束，淘汰出局；

③每位參加者按問題A、B、C、D順序作答，直至答題結束.

假設甲同學對問題A、B、C、D回答正確的概率依次為四分之三、二分之一、三分之一、四分之一，且各題回答正確與否相互之間沒有影響.

（Ⅰ）求甲同學能進入下一輪的概率；

（Ⅱ）用X表示甲內當家本輪答題結束時答題的個數，求X的分布列和數學期望EX.

說明：此題是高考題，學生的問題在于沒有正確分析答題得分的過程，從而覺得此題很難，下面我用樹狀圖來進行分析此題的過程。

解析：（1）設甲同學答對問題ABCD分別為事件ABCD，甲同學答錯ABCD分別為事件ABCD的對立事件，

所以甲同學能進入下一輪有五種情況，設甲同學能進入下一輪為事件E，那么事件E包括ABC，ABD，ACD，BCD，BD，由于每題答題結果相互獨立，所求概率為四分之一

（2）X表示甲內當家本輪答題結束時答題的個數，X可能取值為2、3、4

所求概率分別為八分之一，八分之三，二分之一

所以X的分布列也就可以求出，所以X的數學期望為八分之二十七

典型例題2 以“賞中華詩詞，尋文化基因，品生活之美”為宗旨的《中國詩詞大會》，是央視科教頻道推出的一檔大型演播室文化益智節目，每季賽事共分為10場，每場分個人追逐賽與擂主爭霸賽兩部分，其中擂主爭霸賽在本場個人追逐賽的優勝者與上一場的擂主之間進行，一共備有9道搶答題，選手搶到并答對獲得1分，答錯對方得1分，當有一個選手累計得分達到5分時比賽結束，該選手就是本場的擂主.在某場比賽中，甲、乙兩人進行擂主爭霸賽，設每個題目甲答對的概率都為四分之三，乙答對的概率都為十二分之五，每道題目都有人搶答，且每人搶到答題權的概率均為二分之一，各題答題情況互不影響.

（Ⅰ）求搶答一道題目，甲得1分的概率；

（Ⅱ）現在前5道已經搶答完畢，甲得2分，乙得3分，在接下來的比賽中，設甲的得分為X，求X的分布列及數學期望E（X）.

解析：（Ⅰ）設“搶答一道題目，甲得1分”為事件A，則事件A發生的當且僅當甲搶到答題權后答對或乙搶到答題權后答錯，所以概率為三分之二

（Ⅱ）在剩余的4道題中，每題甲得1分的概率為三分之二，每題乙得1分的概率為三分之一，也要注意前5道題中甲得2分，乙得3分，X表示在接下來的比賽中甲可以再得幾分，有可能到第7、第8、第9題結束比賽，而比賽結束時甲乙都有可能贏得比賽。

在接下來的比賽中，設甲的得分為X，則X的可能取值為0、1、2、3

所以每個取值的概率分別為九分之一，二十七分之四，二十七分之四，二十七分之十六

所以X的分布列也就可以求出，所以X的數學期望為九分之二十。

在解決離散型隨機變量的問題時，主要是對題意的理解，只有充分理解題意才能找到題目的突破口，這幾道典型例題只是我的一點見解，不當之處，敬請指正，希望對大家有所幫助。

（作者單位：臨清市第二中學）