數字電橋測量LC諧振特性

李潮銳

(中山大學 物理學院，廣東 廣州 510275)

數字電橋測量LC諧振特性

李潮銳

(中山大學 物理學院，廣東 廣州 510275)

了解LC電路的諧振特性是核磁共振激發或檢測實驗的關鍵，為此介紹了在使用數字電橋測量LC電路的幅頻和相頻特性中，既要了解交流毫伏表的測量局限性，又需理解電壓與電流之間相位差的物理含意及其重要性. 同時，基于物理原理和數學描述，理解直接測量和間接測量或顯示量之間關系，而最終實驗顯示結果可能是由復雜的數據處理分析所得. 實驗結果表明：LC并聯諧振可實現電流放大功能，更適合于核磁共振激發；LC串聯諧振具有電壓放大作用，有利于核磁共振檢測. 本工作拓展了LC諧振特性的實驗測量方法，幫助了學生認識到最終實驗顯示結果可能并非直接測量原始數據.

LC電路；諧振特性；數字電橋；核磁共振

核磁共振物理原理是在滿足能量守恒和角動量守恒條件下，外磁場中原子核自旋精細能級之間對激發光子產生共振吸收而使處于基態粒子躍遷至激發態. 不管是連續波和(或)脈沖核磁共振觀測[1-2]，還是核磁共振弛豫定量分析及其成像技術應用[3-4]，在核磁共振測量技術上還需要通過頻率匹配的LC諧振電路才可更有效靈敏地檢測(接收)核磁共振信號. 目前，國內高校連續波核磁共振實驗普遍采用的邊限振蕩技術[5]中，LC諧振電路則兼備了接收和激發2種功能. 盡管基礎物理實驗或電子技術實驗課程的“RLC電路諧振特性實驗”有助于理解核磁共振實驗技術原理，但是該實驗通常僅僅關注諧振電路的幅頻特性[6-7]. 在核磁共振弛豫測量及成像分析等定量研究中，接收(或激發)LC諧振電路的幅頻和相頻特性都是重要的技術參量，且直接關系到核磁共振實驗測量靈敏度和準確性.

事實上，不存在純L,C和(交流)R元件，只有由它們組合而成的交流阻抗材料，而交流信號相位測量技術(方法)及物理含意也是理解RLC電路特性的關鍵點. 由于在“RLC電路諧振特性實驗”中所采用實驗技術的限制，教學內容通常僅僅關注幅頻分析而忽略了相頻測量. 當借助“RLC電路諧振特性實驗”內容幫助學生理解核磁共振測量技術時，LC諧振電路的相頻特性是無法回避的.LCR表和阻抗分析儀是阻抗測量的常用設備，它們都是通過對被測對象(負載)施加交流激勵并獲取負載的響應參量. 在引導學生理解實驗原理的基礎上，本工作使用LCR表測量分析LC諧振特性，且適當選擇L和C使電路諧振處于儀器量程范圍之內.

1 實驗技術方法

針對不同頻段，阻抗測量有電橋法、共振法、I-V法、網路分析法和自動平衡電橋法[8]. 盡管數字電橋已不再使用交流電橋技術[8-9]，但是仍沿用交流電橋名稱[9]. 目前低頻數字電橋普遍采用I-V法，即測量負載交流電流和電壓幅值以及它們之間的相位差等3個基本參量，再通過數據處理可以得到一系列表征被測對象(材料)的物理特性參量.

若負載交流電流和電壓分別為I和V，且V相對于I的相位差為θ(逆時針為正，順時針為負)，則其復阻抗Z可表示為

(1)

其中，|Z|為復阻抗Z的模. 復阻抗Z的實部R和虛部X為

R=|Z|cosθ,X=|Z|sinθ,

(2)

分別稱為電阻和電抗. 電抗還可分為感抗和容抗，分別表示L和C對交流電的阻礙作用.

若用復導納Y表示，則

(3)

此時θ為Ι相對于V的相位差(逆時針為正，順時針為負)，|Y|為復導納Y的模. 復導納Y的實部G和虛部B為

G=|Y|cosθ,B=|Y|sinθ,

(4)

分別稱為電導和電納.

由式(1)和式(3)得知，復阻抗Z與復導納Y互為倒數，它們都由負載的3個最基本參量交流電流I、電壓V及其相位差θ所確定.

基于I-V法的數字電橋除了測量負載交流電壓，還通過與負載串聯的(等效)取樣電阻壓降得到負載交流電流，且由相敏檢波器獲得電壓與電流的相位差[9]. 當使用4端子法測量交流阻抗時，(等效)取樣電阻處于電流低電位端子(浮地)與地(電位)之間. 從實驗技術原理角度，使用I-V法的數字電橋測量LC參量的實質就是RLC電路實驗測量，數字電橋內部也提供了激勵所需的交流源信號.

使用同惠TH2826LCR表進行實驗測量，且通過USB接口由計算機控制實施對數頻率掃描并采集測量數據. 選擇Ls=33.04 mH，Cp=7.19 nF元件，TH2826源信號Vpp=1.0 V. 由上述分析可知，盡管技術原理上數字電橋直接測量I,V和θ參量，但是實際測量中它所提供的|Z|和θ數據已充分滿足獲取其他物理特性參量的需要. 為幫助學生加深對測量技術原理的理解，實驗原始參量是|Z|和θ且由此得到復導納(如果需要)及各自對應的實部和虛部. 必要時，TH2826選用其他測量模式以確認式(2)～(4)數據分析結果與儀器“直接”測量所得是一致的.

2 實驗結果及分析

感抗與容抗互為反相，且兩者都與電阻相位正交. 當LC串聯諧振時，電路感抗和容抗的絕對值相等. 由于電流同向，感抗和容抗壓降反相等值，串聯LC兩端交流壓降趨于零. 此時交流源輸出電壓(幾乎)全部加載在(等效)取樣電阻上，因而該電阻兩端壓降或電流達到最大值. 在 “RLC電路諧振特性實驗”中，使用交流毫伏表測量R兩端電壓達到峰值. 盡管數字電橋沒有直接提供電流測量數據輸出，但是根據式(3)可知串聯LC兩端導納反映了相同的物理過程.

圖1為串聯LC兩端導納的幅頻和相頻特性. 由圖1可見，串聯諧振時導納幅值(模)達到最大，且電流與電壓同相. 一旦偏離諧振，電路感抗和容抗不等值，LC兩端電抗相位隨之發生反相變化. 從諧振低頻端到高頻端，串聯LC電路電納從容納向感納轉變.
圖2是基于圖1實驗數據分析所得的導納實部和虛部參量，分別描述了LC兩端電導和電納的頻率特性. 它們與通過數字電橋G-B模式測量所得結果一致，說明式(4)數據處理分析方法是正確的.

盡管LC串聯諧振時兩端電壓趨于零，但是L或C各自壓降是源電壓Q倍(Q為品質因子). 通常Q值大于1，從而諧振時L或C兩端電壓可實現對源信號電壓放大功能. 在核磁共振實驗中，利用LC串聯諧振電壓放大這一特點以提高共振信號檢測靈敏度.

圖1 LC串聯導納幅頻和相頻特性

圖2 LC串聯電導和電納頻率特性

當LC并聯諧振時，電路感抗和容抗的絕對值相等. 由于感抗和容抗壓降為相同確定值，必然要求并聯電路中L和C電流反相. 此時(等效)取樣電阻上交流電流為極小值，交流源輸出電壓(幾乎)全部加載在LC并聯電路兩端. 根據式(1)可知，圖3為LC并聯時兩端阻抗的幅頻和相頻特性. 由圖可見，LC并聯諧振時兩端阻抗幅值(模)為極大值，且電壓與電流同相. 一旦偏離諧振，電路感抗和容抗不等值，LC兩端電抗相位隨之發生反相變化. 從諧振低頻端到高頻端，并聯LC電路電抗從容抗向感抗轉變.
圖4是基于圖3實驗數據分析所得的阻抗實部和虛部參量，分別描述了并聯LC兩端電阻和電抗的頻率特性. 它們與通過數字電橋R-X模式測量所得結果一致，說明式(2)數據處理分析方法是正確的.

盡管LC并聯諧振時外部電流趨于零，但L或C互為反向電流卻達到最大值，從而可實現對源信號電流放大作用. 在核磁共振實驗中，利用LC并聯諧振電流放大這一特點提高核磁共振激發效果.

圖3 LC并聯阻抗幅頻和相頻特性

圖4 LC并聯電阻和電抗頻率特性

3 實驗教學啟示

RLC電路諧振特性測量是電子技術實驗課程和基礎物理實驗課程的教學內容. 由于核磁共振實驗技術原理的教學需要，利用現有LCR表對LC電路諧振的幅頻和相頻特性進行測量分析. 通過測量技術對比，使學生明白使用交流毫伏表方法的局限性，并認識到負載電壓與電流之間相位差的物理含意及其重要性. 既是對RLC諧振特性常用實驗方法的回顧，更是實驗技術拓展的教學例子. 上述實驗結果及分析可幫助學生加深對RLC諧振過程電流和電壓特點的理解.

通常，數字電橋的技術指標中列出近20對可測量參量. 通過上述測量分析，使學生明白采用I-V法的數字電橋直接測量參量只是I，V及它們之間的相位差θ，進而由最基本參量|Z|和θ可得到儀器技術指標中所有其他物理參量. 同時，使學生認識到即使是簡單儀器的顯示量也可能不是直接測量值，而物理原理和數學描述是它們之間的橋梁. 不管LC電路串聯還是并聯，上述實驗結果都可以基于基本參量|Z|和θ數據處理所得. 實驗中，數字電橋選用其他參量測量模式主要是為了確認式(1)～(4)數據處理方法的正確性. 這一過程幫助學生理解直接測量與間接測量或最終顯示值之間關系，特別是大型復雜專用設備，最終實驗結果往往需要經過復雜的數據處理分析才得到，并非實驗直接測量值.

通過數字電橋測量LC諧振特性的實驗結果幫助學生理解核磁共振實驗巧妙的技術方法. 物理理論原理上，核磁共振是滿足能量守恒和角動量守恒條件下原子核自旋精細能級對激發光子產生共振吸收；實驗技術原理上，通過頻率匹配的LC諧振電路才可更有效靈敏地激發并檢測(接收)核磁共振信號. 上述實驗結果表明：LC并聯諧振可實現電流放大功能，更適合于核磁共振激發；LC串聯諧振具有電壓放大作用，有利于核磁共振檢測.

每門實驗課程安排了若干獨立的實驗項目和教學內容，然而關注項目之間的物理原理或實驗技術關聯是提高教學質量的有效方法. 本工作源于核磁共振實驗教學需要，利用數字電橋測量分析LC諧振頻率特性. 實驗數據分析過程表明：LC電路幅頻和相頻測量的本質是變頻交流阻抗測量.

[1] 岳慧，周輝，魏德祥，等. 開設核磁共振實驗的探討[J]. 物理實驗，2001,21(1)：6-10,13.

[2] 廖紅波，張仲秋，王海燕. 樣品弛豫時間對核磁共振信號的影響研究[J]. 大學物理，2010,29(7)：28-31,39.

[3] 李潮銳. 自旋回波的簡易觀測方法及共振弛豫分析[J]. 物理實驗，2006,26(4)：3-5,8.

[4] 張潔天, 讓慶瀾. 核磁共振成像一維空間編碼教學實驗[J]. 物理實驗，2006,26(10)：3-8,13.

[5] 汪柏年，石琳琳. 從核磁共振儀到電子自旋共振實驗儀的改裝[J]. 物理實驗，2014,34(2)：21-24.

[6] 陸申龍，曹正東.RLC串聯諧振教學實驗的研究[J]. 物理實驗，1996，16(3):109-111.

[7] 程亞洲，徐建強，咸夫正,等.RLC串聯諧振電路實驗的相關問題探索[J]. 物理實驗，2017，37(6):32-33,42.

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MeasuringtheresonancecharacteristicsofLCcircuitwithdigitalelectricbridge

LI Chao-rui

(School of Physics, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275, China)

The resonance characteristics ofLCcircuit were the key properties for effective excitation or detection of nuclear magnetic resonance. The aim of measuring the amplitude-frequency and phase-frequency characteristics of theLCcircuit with digital electric bridge was not only to understand the importance of the phase difference between voltage and the current, but also to realize the limitations of AC voltmeter. The relationship between direct measurement and the displayed data was described based on the physical principle and its mathematical expression, the final results may be obtained after complex analysis. The results showed that the parallelLCresonance could realize current amplification for the excitation of nuclear magnetic resonance, and the seriesLCresonance could act as voltage amplifier for the detection of nuclear magnetic resonance. This work not only extended the measurement methods ofLCresonance characteristics, but also helped students to realize that the final results may not be the raw data directly measured.

LCcircuit; resonance characteristics; digital electric bridge; nuclear magnetic resonance

2017-10-28

國家自然科學基金項目(No.J1210034)

李潮銳(1962-)，男，廣東汕頭人，中山大學物理學院副教授，博士，主要從事凝聚態電磁性質研究.

O441

A

1005-4642(2017)12-0021-04

尹冬梅]