例談數形結合解決向量問題

孔繁晶??

摘要：向量是高中數學中重要的章節，是代數與幾何的交匯點，也是歷年高考中必考的內容，因此無論從教學到應試都強調注重向量基本知識和基本方法的考察。

關鍵詞：向量；數形；數學

數形結合是常用數學方法之一，而向量兼具了代數和幾何的雙重特征，因而在解決向量問題時常利用這一重要思想方法。下面就簡單談一談利用數形結合的思想解決相關向量問題。

一、 利用平面幾何知識

例1已知OB=（2，0），OC=（2，2），CA=（2cosα，2sinα），則OA與OB的夾角的范圍是。

解：CA的終點A在以點C（2，2）為圓心，2為半徑的圓上。OA1，OA2是圓的兩條切線，切點為A1，A2。在直角ΔOCA1中，OC=22，CA1=2，所以∠COA1=π6，∠COA2=π6，因為∠COB=π4，所以∠A1OB=π4-π6=π12，∠A2OB=π4+π6=5π12，因此OA與OB的夾角的范圍是π12，5π12。

二、 運用坐標系

例2如圖，在Rt△ABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以點A為中點，問：PQ與BC的夾角θ取何值時，BP·CQ的值最大？并求這個最大值。

分析：思路是通過建立直角坐標系，將問題坐標化。

解：以直角頂點A為坐標原點，兩直角邊所在直線為坐標軸建立直角坐標系，設AB=c，AC=b，則A（0，0），B（c，0），C（0，b），P（x，y），Q（-x，-y），于是BP=（x-c，y），CQ=（-x，-y-b），BC=（-c，b），PQ=（-2x，-2y），

∴BP·CQ=（x-c）（-x）+y（-y-b）=-（x2+y2）+cx-by.

∵cosθ=PQ·BCPQBC=cx-bya2，∴cx-by=a2cosθ，∴BP·CQ=-a2+a2cosθ.

故當cosθ=1，即θ=0（PQ與BC方向相同）時，BP·BC的值最大，其最大值為0.

三、 構造幾何模型

例3已知O是ΔABC內一點，且OA+OC=-3OB，求ΔAOB與ΔAOC的面積的比值。

分析：在ΔABC中，若OA+OB+OC=0，則不妨設O是正三角形ΔABC的重心，令3OB=OB′，那么O可以看成正三角形AB′C的重心，如此構造正三角形，利用特殊方法求ΔAOB與ΔAOC面積的比值即可。

解：如圖，ΔAB′C是正三角形，O是△AB′C的重心，不妨設OB=1，則OA=OC=3，則S△AOBS△AOC=12×3×1×sin120°12×3×3×sin120°=13。

下面設計幾個練習，有興趣的讀者可以試一試。

1. 已知a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足（a-c）·（b-c）=0，則|c|的最大值是.

2. 如圖，給定兩個長度為1的平面向量OA，OB，它們的夾角為2π3.點C在以O為圓心的AB上移動.若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，則x+y的最大值為。

3. 如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，點E為AB的中點.以A為圓心，AE為半徑，作圓交AD于點F.若P為劣弧EF上的動點，求PC·PD的最小值.