勾股定理的應(yīng)用方式探討

花修平??

摘要：勾股定理是數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)定理，其教學(xué)內(nèi)容包括勾股定理的應(yīng)用、勾股定理的證明、證明方法思想分析等，對(duì)于勾股定理的教學(xué)，不僅要體現(xiàn)教學(xué)方法，還要挖掘其中的創(chuàng)新思維，有意識(shí)的培養(yǎng)學(xué)生利用勾股定理來(lái)解決生活中的問(wèn)題，達(dá)到開(kāi)發(fā)智力的作用。本文從四個(gè)方面探討《勾股定理》復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)方法。

關(guān)鍵詞：勾股定理；應(yīng)用方式；復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

一、 明確《勾股定理》的復(fù)習(xí)目標(biāo)

①知識(shí)與技能目標(biāo)：掌握勾股定理的發(fā)展過(guò)程、勾股定理涵義、論證方法，學(xué)會(huì)采用勾股定理解決難題。

②過(guò)程與方法目標(biāo)：掌握勾股定理價(jià)值、分析其中的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的推理能力與抽象思維能力，發(fā)展創(chuàng)造性思維。

③情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：基于勾股定理的發(fā)展歷史，開(kāi)展德育教育，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、數(shù)學(xué)素養(yǎng)，養(yǎng)成勇于探索的教學(xué)品質(zhì)。

二、 分析教學(xué)難點(diǎn)、準(zhǔn)備教學(xué)工具

《勾股定理》教學(xué)重點(diǎn)是為了幫助學(xué)生掌握勾股定理的證明與應(yīng)用方式，前者為教學(xué)活動(dòng)的難點(diǎn)。在教學(xué)工具上，包括幻燈片、四個(gè)全等直角三角形圖片、三角板。

三、 復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)

1. 再現(xiàn)勾股定理的概念

數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)并非是單一的重復(fù)，而是要注重知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系，加深學(xué)生勾股定理概念的理解。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。在復(fù)習(xí)課上，首先要將相關(guān)知識(shí)組合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)縱橫結(jié)合、分條劃塊的目的，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)交流整理勾股定理知識(shí)的復(fù)習(xí)重點(diǎn)，將其內(nèi)化為自己的知識(shí)體系，將零散的知識(shí)組成一個(gè)系統(tǒng)的知識(shí)體系。

如果單純的羅列出知識(shí)點(diǎn)讓學(xué)生去記憶的話，這樣的效果估計(jì)不會(huì)太好，所以可以設(shè)計(jì)例題通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)加強(qiáng)勾股定理的再認(rèn)識(shí)。例如：如圖是用硬紙板做成的四個(gè)全等的直角三角形，兩直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c和一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形.（1）畫(huà)出拼成的這個(gè)圖形的示意圖；（2）證明勾股定理.

2. 加強(qiáng)聯(lián)系分析易錯(cuò)點(diǎn)

筆者在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在勾股定理的應(yīng)用中，存在多個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，為了幫助他們解決這一問(wèn)題，我們需要針對(duì)幾個(gè)典型的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行分析：

在應(yīng)用勾股定理求第三邊時(shí)，有很多的同學(xué)分不清直角三角形直角邊與斜邊，無(wú)論是否為直角三角形，就采用勾股定理，為了避免出現(xiàn)錯(cuò)誤，在解題時(shí)，必須要幫助學(xué)生找準(zhǔn)斜邊與直角邊，看三角形是不是直角三角形。

例1在Rt△ABC中，三條邊分別為a、b、c，∠B=90°，a為6、b為10，求c的邊長(zhǎng)。

錯(cuò)解：a=6，b=10，根據(jù)a2+b2=c2即可求得c的答案，為234

很多學(xué)生在遇到這類題時(shí)，往往沒(méi)有仔細(xì)審題就直接求解，忽視了∠B=90°的條件，沒(méi)有分清楚三角形的直角邊與斜邊，將c當(dāng)成斜邊，引起錯(cuò)誤。在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須要分清楚直角邊與斜邊，不能機(jī)械搬用勾股定理。

例2已知，某Rt△ABC兩邊邊長(zhǎng)為3、4，那么第三邊邊長(zhǎng)平方為？

錯(cuò)解：根據(jù)兩邊邊長(zhǎng)為3、4，根據(jù)勾股定理計(jì)算得出，第三邊邊長(zhǎng)平方=32+42=25.

實(shí)際上，這一問(wèn)題，并沒(méi)有告知究竟邊長(zhǎng)為4的邊為斜邊，還是直角邊，因此，在遇到此類問(wèn)題時(shí)，要分類討論，在4為直角邊的情況下，第三邊邊長(zhǎng)平方為25，如果4為斜邊，那么第三邊平方為7。

3. 復(fù)習(xí)勾股定理逆定理

勾股定理逆定理是教學(xué)的難點(diǎn)，很多學(xué)生對(duì)于這一定理的理解都存在困惑，不知道怎樣用逆定理來(lái)解決問(wèn)題，對(duì)于逆定理推導(dǎo)方式的掌握也不夠全面，因此，在復(fù)習(xí)時(shí)，我們要將此作為重點(diǎn)。

例3很久很久以前，古埃及人把一根長(zhǎng)繩打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后用樁釘如圖那樣釘成一個(gè)三角形，其中，∠C為直角：

①描述古埃及人利用該種方式獲得直角三角形的理由（）

A. 勾股定理：在直角三角形中，直角邊平方和=斜邊平方；

B. 勾股定理逆定理：如果一個(gè)三角形邊長(zhǎng)有a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形為直角三角形；

②有三個(gè)正整數(shù)，分別是a、b、c，如果這三個(gè)正整數(shù)滿足a2+b2=c2的關(guān)系，那么我們就可以將a、b、c稱之為勾股數(shù)，請(qǐng)大家開(kāi)動(dòng)腦筋，寫(xiě)出一組勾股數(shù)；

③根據(jù)上面的方式，再配合自己的理解寫(xiě)出勾股數(shù)，大家仔細(xì)想一想，能不能只使用繩子，在圖2設(shè)計(jì)出另外一種直角三角形的繪制方法呢？

經(jīng)過(guò)了以往知識(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以快速得出答案，古埃及人得到直角三角形的方式應(yīng)用的是勾股定理逆定理，選擇B，并且大家都可以根據(jù)勾股數(shù)的概念寫(xiě)出勾股數(shù)，如（6，8，10）；

第三個(gè)問(wèn)題與前兩個(gè)問(wèn)題相比，難度較大，在課堂上，為學(xué)生留出討論時(shí)間，讓大家進(jìn)行分析，實(shí)現(xiàn)思維的碰撞，最后我再進(jìn)行總結(jié)，很快大家都掌握了圖形的繪制方式。

4. 利用勾股定理強(qiáng)化學(xué)習(xí)體系

例4如圖3，在直角△ABC中，∠ACB為90°，D為AB中點(diǎn)，AC⊥DE，E為垂足，如果DE=2，CD=25，求：BE的長(zhǎng)。解題方式為：∵BC⊥CA、DE⊥CA，∴BC∥DE，由于D為AB中點(diǎn)，∴DE=12BC，BC=4在△CDE中，DE=2，CD=25

∴CE=CD2-DE2=（25）2-22=4

根據(jù)勾股定理可以得出，BE=BC2+CE2=42

例5如圖4，四邊形ABCD和CEFG都是正方形，且點(diǎn)B，G在DE兩側(cè)時(shí)，若AB=5，CE=2，連接BE和DG.探究：DG和BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

例4是勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，意在鞏固知識(shí)點(diǎn)，例5是能力拓展，可以用幾何畫(huà)板改變兩個(gè)正方形的位置從特殊到一般逐步加大難度，還可以將小正方形變成矩形進(jìn)行變式訓(xùn)練，激起學(xué)生的思維火花，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

5. 重視勾股定理習(xí)題設(shè)計(jì)

習(xí)題的設(shè)計(jì)是復(fù)習(xí)鞏固的重點(diǎn)環(huán)節(jié)，初中數(shù)學(xué)新課程改革標(biāo)準(zhǔn)中明確規(guī)定，科學(xué)有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不能單一依靠記憶和模仿，而是要著重學(xué)生自主探索、動(dòng)手實(shí)踐以及合作交流能力的培養(yǎng)。習(xí)題的設(shè)置也需要滿足這一原則，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，培養(yǎng)他們終身學(xué)習(xí)的能力。

6. 豐富勾股定理閱讀材料

數(shù)學(xué)閱讀材料圖文并茂、內(nèi)容多元，兼具教育性、知識(shí)性、趣味性的特點(diǎn)，對(duì)現(xiàn)有知識(shí)的拓展與補(bǔ)充，也是對(duì)學(xué)生開(kāi)展思想教育的重要內(nèi)容，適宜的閱讀材料對(duì)于學(xué)生勾股定理知識(shí)的消化起著至關(guān)重要的作用。弦圖證明、畢達(dá)哥拉斯證明、無(wú)字證明、勾股世界、勾股組數(shù)與費(fèi)馬達(dá)定律都可以讓學(xué)生了解勾股定理的相關(guān)文化背景。

四、 結(jié)語(yǔ)

勾股定理是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)定理，其應(yīng)用范圍非常廣泛，勾股定理復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案的設(shè)計(jì)要兼顧到多種知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生了解勾股定理的產(chǎn)生文化背景，加強(qiáng)這一知識(shí)與生活之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用勾股定理解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，達(dá)到“學(xué)以致用”的目的，體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的無(wú)窮魅力。

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