極限概念在圓周率計算中的應用

高天龍

摘要：割圓法是圓周率計算中比較傳統的方法。文中使用極限概念，分析了圓的周長與內接正多邊形的邊數的關系，推導了圓周率的計算公式，通過編程計算，得到了不同邊數與相對應的圓周率的計算結果，表明了在極限概念下圓周率計算結果的趨勢，展示了極限概念在割圓法計算圓周率上的應用。

關鍵詞：割圓法概述；割圓法計算原理；極限表達

一、 引言

圓周率（表示為希臘字母π）是一個存在于自然界之中的無理數，是圓周的長度與圓的直徑之間的比例常數，人們很早就開始了認識圓周率的過程。公元前3世紀古希臘著名的數學家、物理學家Archimedes通過正多邊形內接于圓，將其邊數逐漸地增加來計算圓周的方法求得了圓周率的近似值約為3.14163。巴比倫、印度、中國等長期使用3這個粗略而簡單實用的數值，東漢時期官方還明文規定圓周率取3為計算面積的標準，后人稱之為“古率”。魏晉時期劉徽曾于公元263年用割圓術的方法求到3.14，這被稱為“徽率”，南北朝時期的數學家祖沖之進一步將圓周率π的真值精確到小數第7位。

二、 圓周率的計算

（一） 割圓法概述

在研究圓周率的過程中，多種計算方法被提出來。大致可以分為幾種：利用正多邊形計算，連分數計算以及近代推出的多種經典計算公式。其中利用正多邊形的計算方法是比較直觀，易于接受的方法。我國古代第一個把求圓周率近似值的方法提高到理論高度上來認識的是劉徽。他獨立地創造了“割圓術”，并系統而嚴密地用內接正多邊形來求得圓周率的近似值。

（二） 割圓法計算原理

“割圓法”的基本計算思路是：通過圓內接正多邊形割分圓周，并使正多邊形的周長無限接近圓的周長，進而求得較為精確的圓周率，割圓過程可以用不同邊數的正多邊形示意，如圖1所示，

a內接正三變形b 內接正六邊形c 內接正12邊形

圖1b中，圓的圓心為O，內接一個邊長為LAB的正n邊形。正n邊形把圓分割成n個長度為lAB的圓弧。由圖1可知，弧長lAB大于正n邊形邊長LAB，設其差值為Δ。

根據以上分析，可以得到圓的周長C是n個弧長的總和，

C=n×lAB （1）

內接正n邊形的邊長總和為，

C1=n×LAB（2）

所以可以使用正n邊形的邊長總和，代替圓的周長，

C=C1+n×Δ（3）

由式3可知，當Δ=0的時候，C=C1，即可以用正n邊形的邊長總和代替圓的周長。

根據圓的周長公式，認為周長C是圓直徑D和一個比例常數π的乘積，由此可以推導出圓周率π的計算公式，

π=CD（4）

由式3可以得到，

π=C1+n×ΔD=C1D+n×ΔD（5）

由于兩點之間的弧長總是大于直線的長度，所以在實際計算中，Δ隨著n的增大，逐漸減小并趨于0，當Δ=0的時候，可以得到，

π=C1D（6）

式6是割圓法的理想結果，即用正多邊形把圓分割成無數細小的弧長，當分割足夠小的時候，弧長近似等于正多邊形的邊長，由此計算圓周率π的近似值。

三、 極限計算及結果

（一） 圓周率的極限表達

根據以上分析，可以把割圓法計算圓周率π的方法，看做是一個極限問題。在高中數學知識里，有關于極限的概念，敘述如下：

設函數f（x）是關于x的函數。如果limx→+∞f（x）=a，那么就說當x趨向于無窮大時，函數f（x）的極限是a，記作limx→∞f（x）=a，也可記作當x→∞時，f（x）→a。

在割圓法計算圓周率π時，直徑為D的圓，其內接多邊形的邊數n越大，邊長與弧長的差值Δ越小，差值Δ是以邊數n為變量的函數。分析式2、5、6可以知道，圓周率π是以邊數n為變量的函數，

π（n）=n×LABD（7）

使用函數極限的概念，當邊數n無窮大的時候，π（n）等于π，記為，

limn→∞π（n） =limn→∞n×LABD =π（8）

（二） 極限計算

設圓直徑為D，內接多邊形邊長為n，如圖2所示，計算邊長LAB。

其中角度α=12×360n=180n，直角三角形斜邊OA=D/2，邊長LAB=2*AC。

經過推導，可以得到邊長LAB的計算公式，

LAB=D×sin180n（9）

由式7可得π的計算式，

π（n）=n×D×sin（180/n）D=n×sin180n（10）

將式10代入式8，可得，

π（n）=limn→∞π（n）=limn→∞n×D×sin（180/n）D

=limn→∞n×sin180n（11）

式11就是經過推導得到的圓周率π與圓內接正多邊形邊數n的極限關系式。

（三） 計算結果及分析

由式11，當邊數n趨于無窮大的時候，可以得到圓周率π的極限值，也就是無限接近于真實的π值。根據式11，使用VB6.0編程計算，把計算結果繪制成圖表形式，直觀地顯示當n趨于無窮大的時候，圓周率π的計算結果。

程序中，使用n為自變量，π（n）為函數，設n從3開始，逐漸遞增，趨于一個非常大的自然數，可以設為100000。通過計算結果的對比，顯示圓周率π于邊數n的關系。

計算結果如表1，列舉部分數據。

將計算結果繪制成圖表，可以觀察到圓周率π的計算值變化趨勢，如圖3。

根據上面的結果顯示，使用割圓法計算圓周率π，π的計算值變化趨勢在正多變形邊數n較少時，π值變化較快，快速接近真實值。隨著邊數n的增大，變化趨緩，曲線接近水平可以知道，當n值接近于無窮大時，計算值與真實值的差值將趨于零。

四、 總結

割圓法通過使用正多邊形把圓周分割成n個圓弧，近似計算圓周長度，進而計算圓周率π的近似值。其計算思想中使用了極限的概念，當正多邊形的邊數增大，計算數值的誤差逐漸減小，當邊數趨于無窮大的時候，圓周率的計算值無限接近真實值。通過使用極限概念推導內接于圓的正多邊形的邊數與圓周率的關系，編程計算，得到計算結果并繪制圖表，很好地展示了極限概念在割圓法計算圓周率上的應用。

參考文獻：

[1] 王汝發 祖沖之與劉徽在國內外影響之比較[J].哈爾濱學院學報（社會科學），2001，06.

[2] 楊忠寶，劉向東.VB語言程序設計教程[M].北京：人民郵電出版社，2015.