徑向滑動(dòng)軸承中軸承孔與軸頸的法向接觸剛度建模

田紅亮， 董元發(fā)， 余 媛， 陳甜敏

(三峽大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院，湖北 宜昌 443002)

徑向滑動(dòng)軸承中軸承孔與軸頸的法向接觸剛度建模

田紅亮， 董元發(fā)， 余 媛， 陳甜敏

(三峽大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院，湖北 宜昌 443002)

將分形理論與結(jié)合部虛擬材料相結(jié)合，構(gòu)建徑向滑動(dòng)軸承中軸承孔與軸頸的法向接觸剛度模型。修正Weierstrass函數(shù)在任一點(diǎn)處處不可求導(dǎo)的條件。嚴(yán)格論證分形維數(shù)的限定范圍是1≤D<2。數(shù)值模擬表明：軸承接觸的側(cè)面接觸系數(shù)≤1。內(nèi)接觸的側(cè)面接觸系數(shù)>外接觸的側(cè)面接觸系數(shù)。隨著軸頸半徑、法向接觸載荷的增加，結(jié)合部虛擬材料厚度的減小，軸承接觸的側(cè)面接觸系數(shù)增加。內(nèi)接觸的真實(shí)接觸面積大于外接觸的真實(shí)接觸面積。隨著軸頸半徑的增加，分形粗糙度、軸承孔平面布氏硬度、結(jié)合部虛擬材料厚度的減少，真實(shí)接觸面積提高。對(duì)于固定的法向接觸載荷，當(dāng)分形維數(shù)由1.4增大至1.5時(shí)，真實(shí)接觸面積隨之增加；當(dāng)分形維數(shù)由1.5增大至1.9時(shí)，真實(shí)接觸面積隨之減少。赫茲應(yīng)力隨著軸頸半徑的增加而下降。內(nèi)接觸的赫茲應(yīng)力小于外接觸的赫茲應(yīng)力。軸承內(nèi)接觸的法向接觸剛度大于外接觸的法向接觸剛度。另外，隨著法向接觸載荷、分形維數(shù)、軸頸半徑的增加，分形粗糙度、軸頸彈性模量、軸承長(zhǎng)度、結(jié)合部虛擬材料厚度的減小，法向接觸剛度增加。

徑向滑動(dòng)軸承；軸承孔；軸頸；法向接觸剛度；平面接觸；曲面接觸

根據(jù)軸承中接觸性質(zhì)的不同，可把軸承分為滑動(dòng)軸承和滾動(dòng)軸承兩大類。滾動(dòng)軸承由于摩擦因數(shù)小，啟動(dòng)阻力小，且因已標(biāo)準(zhǔn)化，選用、潤(rùn)滑、維護(hù)都很方便，因此在一般機(jī)器中應(yīng)用較廣。但由于滑動(dòng)軸承本身具有的一些獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)，使得它在某些不能、不便或使用滾動(dòng)軸承沒有優(yōu)勢(shì)的場(chǎng)合，如在工作轉(zhuǎn)速特高、特大沖擊與振動(dòng)、徑向空間尺寸受到限制或必須剖分安裝(如曲軸的軸承)，以及需在水或腐蝕性介質(zhì)中工作等場(chǎng)合，仍占有重要地位。因此，滑動(dòng)軸承在軋鋼機(jī)、汽輪機(jī)、內(nèi)燃機(jī)、鐵路機(jī)車及車輛、金屬切削機(jī)床、航空發(fā)動(dòng)機(jī)附件、雷達(dá)、衛(wèi)星通信地面站、天文望遠(yuǎn)鏡以及各種儀表中應(yīng)用頗為廣泛。滑動(dòng)軸承的類型很多，按其承受載荷方向的不同，可分為徑向滑動(dòng)軸承(承受徑向載荷)和止推滑動(dòng)軸承(承受軸向載荷)。

在徑向滑動(dòng)軸承中，軸承孔和軸頸的接觸廣泛運(yùn)用于多種靜動(dòng)態(tài)連接與定位中。軸承孔與軸頸之間的法向接觸剛度是評(píng)估徑向滑動(dòng)軸承承載能力的一個(gè)核心指標(biāo)。至今對(duì)兩粗糙表面接觸問題的研究業(yè)已獲得了大量的理論與實(shí)際應(yīng)用成果，但這些成就大多表現(xiàn)在平面接觸方面[1-5]。軸承孔與軸頸的工作表面應(yīng)具備相應(yīng)的硬度和表面粗糙度，故真實(shí)接觸面積遠(yuǎn)小于表觀接觸面積，據(jù)此研究了單個(gè)微凸體接觸變形量與接觸載荷之間的聯(lián)系，并同時(shí)計(jì)及彈性、彈塑性和塑性這3種變形方式，理論與試驗(yàn)皆論證：在對(duì)兩粗糙表面進(jìn)行接觸分析的過程中，還必須考慮微凸體在接觸表面上的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。Greenwood等[6]通過試驗(yàn)測(cè)量發(fā)現(xiàn)粗糙表面的微凸體高度分布近似契合于高斯分布，基于統(tǒng)計(jì)分析的平面接觸構(gòu)建了微凸體數(shù)目、真實(shí)接觸面積、法向接觸載荷與兩平面間距離(為原始自變量)的關(guān)系式，被稱為Greenwood-Williamson模型，以下簡(jiǎn)稱GW模型，目前仍廣泛應(yīng)用，但是，該文獻(xiàn)認(rèn)為材料的平面應(yīng)力模量(plane-stress modulus)為E/(1-v2)，其中，v為泊松比；E為彈性模量，實(shí)際上，材料的平面應(yīng)力模量應(yīng)該為E，材料的平面應(yīng)變模量(plane-strain modulus)為E/(1-v2)。

結(jié)合部不能獨(dú)立存在，總是存在于機(jī)械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)之中，因此不可能單獨(dú)對(duì)結(jié)合部進(jìn)行試驗(yàn)解析。如何將結(jié)合部特性從所屬的機(jī)械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中分離出來，是結(jié)合部特性參數(shù)研究中至關(guān)重要的問題。

上述問題是如此的復(fù)雜，迄今為止，這些問題均未能很好地解決。結(jié)合部特性參數(shù)的精準(zhǔn)預(yù)測(cè)是千百年來人類的一大夢(mèng)想。文章以徑向滑動(dòng)軸承中軸承孔與軸頸的粗糙接觸為研究對(duì)象，將2個(gè)粗糙接觸平面彎曲、拉伸或壓縮成兩接觸曲面，使彎曲、拉伸或壓縮后的真實(shí)接觸面積不變(以真實(shí)接觸面積為原始自變量，給定一個(gè)固定的真實(shí)接觸面積，就可以計(jì)算法向力和法向接觸剛度)，引進(jìn)結(jié)合部虛擬材料，通過結(jié)合部虛擬材料的厚度以及ГpyбИH平均油膜厚度理論，嚴(yán)格區(qū)分載荷與載荷集度，對(duì)表面接觸系數(shù)公式進(jìn)行量綱修正，由平面接觸時(shí)的法向接觸載荷換算得到曲面接觸時(shí)的法向接觸載荷，考慮非圓接觸區(qū)域的平面幾何形狀對(duì)法向接觸剛度進(jìn)行改進(jìn)。論文的核心思想是嘗試將分形理論與結(jié)合部虛擬材料2種方法聯(lián)系在一起，將兩平面接觸理論拓寬到兩曲面接觸理論，使所建立的曲面接觸理論更具應(yīng)用范圍與推廣價(jià)值。

1 軸承孔與軸頸接觸的法、切向應(yīng)力

通常除了法向壓應(yīng)力之外，軸承孔與軸頸的接觸表面還因摩擦而傳遞切向應(yīng)力。圖1表示在窄帶-b

圖1 分布法、切向應(yīng)力作用的接觸表面Fig.1 Contact surface loaded by a normal pressure and tangential traction

(1)

(2)

式中：C1、C2為包含關(guān)于位移基準(zhǔn)點(diǎn)的不確定性常數(shù)。

根據(jù)柯西主值可得無界函數(shù)反常積分的位移梯度為

(3)

(4)

由式(3)得

(5)

由式(4)得

(6)

(7)

式中：g(x)是一個(gè)已知函數(shù)，它由已知應(yīng)力分量及已知位移梯度分量的組合形式。

F(x)是未知的應(yīng)力分量，其一般解形式為

F(x)=

(8)

如果將原點(diǎn)取在受載區(qū)的中心，則b=a，則式(8)簡(jiǎn)化為

(9)

常數(shù)C由法向或切向總載荷決定

(10)

g(x)為單項(xiàng)式形式的積分方程是有工程意義的

g(x)=Axn

(11)

設(shè)軸頸的外形為單項(xiàng)式形式

z=Bxn+1

(12)

則軸承孔與軸頸接觸側(cè)面的法向位移為

(13)

(14)

如果軸承孔與軸頸是無摩擦的，則q(x)=0，將式(14)代入式(6)得

(15)

現(xiàn)求下面積分的柯西主值

(16)

式(16)積分的初始值為

(17)

積分In關(guān)于下標(biāo)n的遞推公式為

XIn-1-Jn-1=XnI0-Xn-1J0-Xn-2J1-…-

XJn-2-Jn-1

(18)

(19)

(20)

方程(15)是一個(gè)式(7)類型的對(duì)法向壓應(yīng)力p(x)的積分方程。若令方程(7)的解為式(15)，即F(s)=p(s)，則

(21)

設(shè)作用在軸承孔單位寬度上的載荷集度為Q，由式(10)得

C=πQ

(22)

將式(21)、(22)代入式(9)得

(23)

現(xiàn)設(shè)

(24)

x=aX

(25)

將式(24)、(25)代入式(23)得

(26)

將式(16)代入式(26)得

(27)

軸承孔與軸頸彼此受壓力作用，見圖2，軸承孔與軸頸的長(zhǎng)為l，R為軸承孔的半徑，r為軸頸的半徑，z1為未變形軸頸側(cè)面對(duì)應(yīng)點(diǎn)M到初始接觸點(diǎn)o之間的垂直距離，z2為未變形軸承孔側(cè)面對(duì)應(yīng)點(diǎn)N到初始接觸點(diǎn)o之間的垂直距離。受壓力前，軸承孔與軸頸沿一條線相接觸。

圖2 受壓力作用的軸承孔與軸頸Fig.2 Bearing hole and shaft journal under compressive force

軸承孔與軸頸的變形協(xié)調(diào)條件為

(28)

由式(28)得

(29)

由式(4)得

(30)

由式(29)、(30)相等得

(31)

由式(15)、(31)相等得

(32)

由式(20)得

(33)

將式(25)代入式(33)得

(34)

將式(32)、(34)代入式(27)得

(35)

式(35)可變形為

(36)

根據(jù)圣維南原理可設(shè)

(37)

將式(36)代入式(37)得

(38)

由式(38)得

(39)

將式(38)、(39)代入式(36)得

(40)

沿軸承孔與軸頸單位長(zhǎng)度內(nèi)的載荷為

(41)

將式(41)代入式(40)得

(42)

2 軸承孔與軸頸接觸的赫茲應(yīng)力

由式(42)可得軸承孔與軸頸接觸的平均法向壓應(yīng)力為

(43)

可見，軸承孔與軸頸受壓力后，接觸線變成長(zhǎng)為l、寬為2a的一個(gè)長(zhǎng)方形。

由式(42)可得最大法向壓應(yīng)力即赫茲應(yīng)力為

(44)

由式(38)得

(45)

將式(41)代入式(45)得

(46)

將式(46)代入式(44)得

(47)

3 軸承孔與軸頸的側(cè)面接觸系數(shù)

軸承孔與軸頸的側(cè)面積和差為

SΣ=SR±Sr=2π(R±r)l

(48)

式中：SR為軸承孔的側(cè)面積；Sr為軸頸的側(cè)面積。

軸承孔與軸頸受壓力后，形成一個(gè)長(zhǎng)方形，該長(zhǎng)方形的面積為

Ar=2al

(49)

將式(46)代入式(49)得

(50)

設(shè)軸承孔與軸頸所形成結(jié)合部虛擬材料的厚度為h(理論與實(shí)驗(yàn)研究表明，此值取1 mm較好)，考慮軸承孔與軸頸的綜合曲率半徑與接觸方式，能構(gòu)造軸承孔與軸頸的側(cè)面接觸系數(shù)為

(51)

式中：量綱一指數(shù)h/ρ可相似于彈流潤(rùn)滑領(lǐng)域中著名的ГpyбИH理論中的平均油膜厚度。

將式(48)、(50)代入式(51)得

(52)

(53)

式中：λ0為軸承孔與軸頸的初始側(cè)面接觸系數(shù)。

4 軸承孔與軸頸的法向接觸載荷

真實(shí)接觸面積小于表觀接觸面積，即Ar

λ<1

(54)

一方面，在法向接觸載荷P的作用下，2個(gè)粗糙表面當(dāng)平面接觸時(shí)，對(duì)應(yīng)真實(shí)接觸面積Ar。另一方面，將這2個(gè)粗糙接觸平面彎曲、拉伸或壓縮成兩接觸曲面——軸承孔與軸頸，最終保持軸承孔與軸頸的真實(shí)接觸面積與之前的相同，亦為Ar，此刻軸承孔與軸頸受法向接觸載荷P′。平面接觸與曲面接觸產(chǎn)生的真實(shí)接觸面積相同。平面接觸易產(chǎn)生較大的真實(shí)接觸面積，曲面接觸引起的真實(shí)接觸面積較小，故

P′>P

(55)

根據(jù)等式(54)、(55)可構(gòu)造等式

(56)

將式(52)代入式(56)得

(57)

MB平面接觸能求得2個(gè)粗糙表面當(dāng)平面接觸時(shí)的法向接觸載荷P，其量綱一形式為

(58)

將式(58)代入式(57)可得軸承孔與軸頸的法向接觸載荷為

(59)

5 軸承孔與軸頸的法向接觸剛度

將2個(gè)粗糙接觸平面卷曲、拉伸或壓縮成兩接觸曲面——軸承孔與軸頸，接觸區(qū)域由MB平面接觸的圓變成曲面接觸的長(zhǎng)方形，圓和長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)相等，但圓的面積大于長(zhǎng)方形的面積，因此曲面接觸時(shí)的法向接觸剛度有所增加。軸承孔與軸頸的量綱一法向接觸剛度[15]為

(60)

式中：β為軸承孔與軸頸的長(zhǎng)方形接觸區(qū)域系數(shù)，β=1.012。

(61)

6 Weierstrass函數(shù)無處可微分的條件

德國(guó)數(shù)學(xué)家、現(xiàn)代分析之父、1842年引進(jìn)了一致收斂判別法的Weierstrass，由此闡明了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分定理，直到今天大學(xué)數(shù)學(xué)分析教科書中一直沿用。1872年7月18日Weierstrass在德國(guó)柏林科學(xué)院的一次演講中，給出了第一個(gè)處處連續(xù)但處處不能求導(dǎo)函數(shù)的例子[16]

(62)

Weierstrass證明了對(duì)某些a和b的值，式(62)無處可微分。不可導(dǎo)是由于曲線被反復(fù)放大時(shí)越來越多的細(xì)節(jié)會(huì)出現(xiàn)，在任一點(diǎn)就不可能做出其切線的緣故。1916年，Hardy證明了對(duì)滿足下列條件的所有a和b的值，式(62)都是無處可微分的。

0

(63)

ab≥1

(64)

0

(65)

(66)

現(xiàn)有文獻(xiàn)未能明確地提出粗糙表面分形參數(shù)，特別是分形維數(shù)的物理意義，而這是粗糙表面研究，乃至整個(gè)分形應(yīng)用研究普遍存在的問題。現(xiàn)將論證分形維數(shù)的精準(zhǔn)取值范圍。Weierstrass-Mandelbrot函數(shù)為

圖3 處處連續(xù)但處處不能求導(dǎo)的Weierstrass函數(shù)Fig.3 Continuous and nondifferentiable Weierstrass function anywhere

(67)

由式(65)、(64)可得式(67)點(diǎn)點(diǎn)不能求導(dǎo)的條件為

0<γD-2<1

(68)

γD-2γ≥1

(69)

按式(68)得

0<γD-2γ<γ

(70)

按式(69)、(70)得

1≤γD-2γ<γ

(71)

γ>1

(72)

將式(72)代入式(69)得

γD-1≥1?D≥1

(73)

將式(72)代入式(68)得

D<2

(74)

比較式(73)、(74)得

1≤D<2

(75)

(76)

(a) D=1時(shí)，處處不能求導(dǎo)

(b) D=2時(shí)，包含坐標(biāo)原點(diǎn)

(c) D=2時(shí)，不包括坐標(biāo)原點(diǎn)圖4 Weierstrass-Mandelbrot函數(shù)Fig.4 Weierstrass-Mandelbrot function

7 軸承孔與軸頸的接觸實(shí)例

設(shè)計(jì)一臺(tái)機(jī)床用的徑向滑動(dòng)軸承，載荷垂直向下，工作情況穩(wěn)定，已知工作載荷P′=100 kN。軸承孔與軸頸材料的參數(shù)見表1。金屬制的軟側(cè)面，配對(duì)軸承孔與軸頸側(cè)面的硬度差應(yīng)保持為30～50 HBS或更多。當(dāng)軸頸與軸承孔的側(cè)面具有較大的硬度差(如軸頸側(cè)面為淬火并磨制，軸承孔側(cè)面為常化或調(diào)制)，較硬的軸頸側(cè)面對(duì)較軟的軸承孔側(cè)面會(huì)起較顯著的冷作硬化效應(yīng)，從而提高了軸承孔側(cè)面的疲勞極限。因此，當(dāng)配對(duì)的軸頸與軸承孔側(cè)面具有較大的硬度差時(shí)，軸承孔的接觸疲勞許用應(yīng)力可提高約20%，但應(yīng)注意硬度高的軸頸側(cè)面，表面粗糙度值也要相應(yīng)地減小。軸承孔與軸頸的長(zhǎng)徑比φd=l/(2R)，一般軸承的長(zhǎng)徑比φd在0.3～1.5范圍內(nèi)選擇，取φd=0.3，可得軸承孔與軸頸的長(zhǎng)為l=2φdR=2×0.3×100=60 mm。設(shè)軸頸半徑的上偏差為-0.170 mm，則軸頸半徑的最大值為100-0.170=99.830 mm。取軸承孔與軸頸所形成結(jié)合部虛擬材料的厚度h=1 mm。

表1 軸承孔與軸頸材料的參數(shù)Tab.1 Material parameters of bearing hole and shaft journal

7.1 側(cè)面接觸系數(shù)的演化

圖5給出了軸承孔與軸頸所形成側(cè)面接觸系數(shù)的演變規(guī)律。圖5(a)～5(e)均可以反映3條共同規(guī)律：①M(fèi)B平面接觸的側(cè)面接觸系數(shù)總是=1；②本文軸承接觸的側(cè)面接觸系數(shù)總是≤1；③內(nèi)接觸的側(cè)面接觸系數(shù)>外接觸的側(cè)面接觸系數(shù)。

根據(jù)圖5(a)，本文軸承接觸的側(cè)面接觸系數(shù)隨著軸頸半徑的增加而增加。當(dāng)r→0時(shí)，λ→0，因?yàn)榇藭r(shí)軸頸趨近于直線，無物體與軸承孔接觸。當(dāng)r=99.83→100 mm且軸承孔與軸頸內(nèi)接觸時(shí)，λ→1，由于此時(shí)軸承孔與軸頸接近處完全內(nèi)接觸。當(dāng)r=99.83→100 mm且軸承孔與軸頸外接觸時(shí)，λ<1。

根據(jù)圖5(b)，本文軸承接觸的側(cè)面接觸系數(shù)隨著法向接觸載荷的增加而增加。當(dāng)10 kN≤P′≤100 kN時(shí)，在這大范圍內(nèi)側(cè)面接觸系數(shù)趨近于某一常數(shù)，內(nèi)接觸時(shí)λ→0.964 2，外接觸時(shí)λ→0.817 7。當(dāng)0≤P′≤10 kN時(shí)，在這小范圍內(nèi)側(cè)面接觸系數(shù)從0迅速增加到對(duì)應(yīng)的常數(shù)。

圖5(c)的變化規(guī)律與圖5(b)相似，但內(nèi)接觸的側(cè)面接觸系數(shù)總是=1，由于此時(shí)r=99.83→100 mm，對(duì)應(yīng)的內(nèi)接觸是一種極限情況，軸承孔與軸頸趨近于點(diǎn)點(diǎn)徹底內(nèi)貼合，假如外界提供一點(diǎn)微小的法向接觸載荷，側(cè)面接觸系數(shù)將立即從0驟變至1。

根據(jù)圖5(d)，本文軸承接觸的側(cè)面接觸系數(shù)隨著結(jié)合部虛擬材料厚度的增加而線性減小，當(dāng)h=0時(shí)，λ=1。趙韓等研究中側(cè)面接觸系數(shù)為<1的常數(shù)，不合理。

圖5(e)的變化規(guī)律與圖5(d)類似，但內(nèi)接觸的側(cè)面接觸系數(shù)總是=1。

一方面，由圖5(b)～5(c)能夠得出，當(dāng)P′=0時(shí)，λ≡0；另一方面，因?yàn)閷?duì)于任一正常數(shù)μ，0μ≡0，由式(52)可得當(dāng)P′=0時(shí)，λ≡0，這不同于黃康等的論斷——可見，當(dāng)P→0時(shí)，不論在外接觸或內(nèi)接觸時(shí)，λ都達(dá)到最小值，但并不等于0，究其原因是盡管此時(shí)兩接觸體間的接觸應(yīng)力為0，但由于接觸實(shí)體的存在，側(cè)面接觸系數(shù)亦是存在的。黃康等結(jié)論中的圖3(a)～3(b)均是錯(cuò)誤的，該文獻(xiàn)未考慮黏著力[17]。如果考慮黏著力，才會(huì)出現(xiàn)“盡管此時(shí)兩接觸體間的接觸應(yīng)力為0，但由于接觸實(shí)體的存在，側(cè)面接觸系數(shù)亦是存在的”。

(a) 軸頸半徑對(duì)側(cè)面接觸系數(shù)的影響

(b)r=60 mm時(shí)法向接觸載荷對(duì)側(cè)面接觸系數(shù)的影響

(c)r=99.83 mm時(shí)法向接觸載荷對(duì)側(cè)面接觸系數(shù)的影響

(d) r=60 mm時(shí)結(jié)合部虛擬材料厚度對(duì)側(cè)面接觸系數(shù)的影響

(e) r=99.83 mm時(shí)結(jié)合部虛擬材料厚度對(duì)側(cè)面接觸系數(shù)的影響圖5 多種參量對(duì)側(cè)面接觸系數(shù)的影響Fig.5 Impact of different parameters on side face contact coefficient

7.2 真實(shí)接觸面積的演化

圖6給出了軸承孔與軸頸所形成真實(shí)接觸面積的演變規(guī)律。圖6(a)～6(e)均可以反映3條共同規(guī)律：①M(fèi)B平面接觸曲線處于本文軸承接觸曲線的上方；②在相同法向接觸載荷下，MB平面接觸的真實(shí)接觸面積大于本文軸承接觸的真實(shí)接觸面積；③當(dāng)產(chǎn)生同樣真實(shí)接觸面積的情形時(shí)，MB平面接觸需要施加的法向接觸載荷小于本文軸承接觸需要施加的法向接觸載荷。

根據(jù)圖6(a)，不論是內(nèi)接觸還是外接觸，同樣接觸方式的真實(shí)接觸面積隨著軸頸半徑的增加而提高，因?yàn)榫C合曲率半徑ρ=R/(R/r±1)隨著r的增加而增加；內(nèi)接觸的真實(shí)接觸面積大于外接觸的真實(shí)接觸面積。

根據(jù)圖6(c)，對(duì)于固定的法向接觸載荷，當(dāng)分形維數(shù)由1.4增大至1.5時(shí)，真實(shí)接觸面積隨之增加；但當(dāng)分形維數(shù)由1.5增大至1.9時(shí)，真實(shí)接觸面積反而減少。

金屬材料的平面布氏硬度與試驗(yàn)力除以光學(xué)壓痕表面積的商成正比。光學(xué)壓痕被看作是具有一定半徑的球形，光學(xué)壓痕的表面積通過光學(xué)壓痕的平均直徑和壓頭直徑計(jì)算得到。對(duì)一定直徑的球施加試驗(yàn)力壓入試樣表面，經(jīng)規(guī)定保持時(shí)間后，卸除試驗(yàn)力，測(cè)量試樣表面光學(xué)壓痕的直徑。金屬材料的平面布氏硬度隨著距離接觸表面深度的變化而改變，不為常數(shù)。進(jìn)一步研究后發(fā)現(xiàn)，金屬材料的平面布氏硬度隨著距離接觸表面深度的增加而減小。軸承孔的平面布氏硬度對(duì)真實(shí)接觸面積的影響見圖6(d)，真實(shí)接觸面積隨著軸承孔平面布氏硬度的增加而減小，這與金屬材料平面布氏硬度的定義一致。

根據(jù)圖6(e)，真實(shí)接觸面積隨著結(jié)合部虛擬材料厚度的增加而減小，本文軸承接觸的真實(shí)接觸面積大于文獻(xiàn)[11]的真實(shí)接觸面積。

(a)D=1.5與G*=10-8時(shí)軸頸半徑對(duì)真實(shí)接觸面積的影響

(b)D=1.5與r=15 mm時(shí)分形粗糙度對(duì)真實(shí)接觸面積的影響

(c)G*=10-10與r=15 mm時(shí)分形維數(shù)對(duì)真實(shí)接觸面積的影響

(d)D=1.5、G*=10-10與r=15 mm時(shí)軸承孔硬度對(duì)真實(shí)接觸面積的影響

(e)D=1.5、G*=10-8與r=15 mm時(shí)結(jié)合部虛擬材料厚度對(duì)真實(shí)接觸面積的影響

圖6 多種參量對(duì)真實(shí)接觸面積的影響

Fig.6 Effect of different parameters on real contact area

7.3 赫茲應(yīng)力的演化

圖7給出了軸承孔與軸頸所形成赫茲應(yīng)力的演變規(guī)律。在相同接觸方式下，本文軸承接觸的赫茲應(yīng)力大于赫茲理論的計(jì)算值；赫茲應(yīng)力隨著軸頸半徑的增加而下降；內(nèi)接觸的赫茲應(yīng)力小于外接觸的赫茲應(yīng)力。中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，徑向滑動(dòng)軸承最大接觸應(yīng)力為4 200 MPa，圖7中的赫茲應(yīng)力最大值小于4 GPa，表明本文所選參數(shù)較合理。

圖7 軸頸半徑對(duì)赫茲應(yīng)力的影響Fig.7 Influence of shaft journal radius on Hertz stress

7.4 法向接觸剛度的演化

圖8給出了軸承孔與軸頸所形成法向接觸剛度的演變規(guī)律。圖8(a)～8(g)均可以反映4條共同規(guī)律：

①法向接觸剛度隨著法向接觸載荷的增加而增加；②MB平面接觸曲線處于本文軸承接觸曲線的上方；③在相同法向接觸載荷下，MB平面接觸的法向接觸剛度大于本文軸承接觸的法向接觸剛度；④當(dāng)產(chǎn)生同樣法向接觸剛度的情形時(shí)，MB平面接觸需要施加的法向接觸載荷小于本文軸承接觸需要施加的法向接觸載荷。

根據(jù)圖8(a)，本文軸承內(nèi)接觸的法向接觸剛度大于外接觸的法向接觸剛度。根據(jù)圖8(b)，法向接觸剛度隨著分形維數(shù)的增加而增加。根據(jù)圖8(c)，隨著分形粗糙度的增加，法向接觸剛度減小，這不同于文獻(xiàn)[18]中結(jié)論：“隨著圓柱面表面粗糙度的增加，法向接觸剛度總體增加。”根據(jù)圖8(d)，法向接觸剛度隨著軸頸彈性模量的增加而降低，因?yàn)檩^小的彈性模量更容易發(fā)生彈性變形，與人們的直覺觀察即彈性變形具有更大的法向接觸剛度相符合[19]。根據(jù)圖8(e)，法向接觸剛度隨著軸頸半徑的增加而增加。根據(jù)圖8(f)，法向接觸剛度隨著軸承長(zhǎng)度的增加而降低。根據(jù)圖8(g)，法向接觸剛度隨著結(jié)合部虛擬材料厚度的增加而減小，本文軸承接觸的法向接觸剛度大于文獻(xiàn)[11]的法向接觸剛度。

(a)D=1.4、G*=10-10與r=60 mm時(shí)本文與MB平面接觸的比較

(b)G*=10-10與r=60 mm時(shí)分形維數(shù)對(duì)法向接觸剛度的影響

(c)D=1.54與r=60 mm時(shí)分形粗糙度對(duì)法向接觸剛度的影響

(d)D=1.54、G*=10-10與r=60 mm時(shí)軸頸彈性模量對(duì)法向接觸剛度的影響

(e)D=1.54與G*=10-10時(shí)軸頸半徑對(duì)法向接觸剛度的影響

(f)D=1.54、G*=10-10與r=60 mm時(shí)軸承長(zhǎng)度對(duì)法向接觸剛度的影響

(g)D=1.54、G*=10-10與r=60 mm時(shí)結(jié)合部虛擬材料厚度對(duì)法向接觸剛度的影響

圖8 多種參量對(duì)法向接觸剛度的影響

Fig.8 Effect of different parameters on normal contact stiffness

彈性模量、切變模量、泊松比、密度是材料固有的彈性常數(shù)。文獻(xiàn)[20]中“結(jié)合面特性參數(shù)應(yīng)反映結(jié)合面的基本特性，具有通用性，類似零件材料的特性常數(shù)(如彈性模量、損耗因子)，能方便地供設(shè)計(jì)解析使用”的描述欠全面，這是因?yàn)椴牧系膹椥阅Ａ康戎慌c材料有關(guān)，只要材料確定，就是常數(shù)，任何設(shè)計(jì)都相同，例如載荷不同，材料的彈性模量等參數(shù)不變。而結(jié)合部特性參數(shù)是非線性，例如載荷不同，則結(jié)合部特性參數(shù)不同。

8 結(jié) 論

(1) 將分形理論與結(jié)合部虛擬材料聯(lián)系在一起，將兩平面接觸理論拓寬到兩曲面接觸理論，構(gòu)建了徑向滑動(dòng)軸承中軸承孔與軸頸的法向接觸剛度模型。

(2) 修正了Weierstrass函數(shù)無處可微分的條件，嚴(yán)格證明了分形維數(shù)的取值范圍為1≤D<2。

(3) 軸承接觸的側(cè)面接觸系數(shù)≤1，內(nèi)接觸的側(cè)面接觸系數(shù)>外接觸的側(cè)面接觸系數(shù)。隨著軸頸半徑、法向接觸載荷的增加，結(jié)合部虛擬材料厚度的減小，軸承接觸的側(cè)面接觸系數(shù)增加。

(4) 內(nèi)接觸的真實(shí)接觸面積>外接觸的真實(shí)接觸面積。隨著軸頸半徑的增加，分形粗糙度、軸承孔平面布氏硬度、結(jié)合部虛擬材料厚度的減少，真實(shí)接觸面積提高。對(duì)于固定的法向接觸載荷，當(dāng)分形維數(shù)由1.4增大至1.5時(shí)，真實(shí)接觸面積隨之增加；但當(dāng)分形維數(shù)由1.5增大至1.9時(shí)，真實(shí)接觸面積反而減少。

(5) 赫茲應(yīng)力隨著軸頸半徑的增加而下降；內(nèi)接觸的赫茲應(yīng)力小于外接觸的赫茲應(yīng)力。

(6) 軸承內(nèi)接觸的法向接觸剛度大于外接觸的法向接觸剛度。隨著法向接觸載荷、分形維數(shù)、軸頸半徑的增加，分形粗糙度、軸頸彈性模量、軸承長(zhǎng)度、結(jié)合部虛擬材料厚度的減小，法向接觸剛度增加。

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Modelingfornormalcontactstiffnessbetweenbearingholeandshaftjournalinaradialslidingbearing

TIAN Hongliang, DONG Yuanfa, YU Yuan, CHEN Tianmin

(College of Mechanical and Power Engineering, China Three Gorges University, Yichang 443002, China)

The normal contact stiffness model between bearing hole and shaft journal in radial sliding bearing was built through combining the fractal theory and the joint interface virtual material. Through revising the condition of Weierstrass function’s nondifferentiability at any point, it was proved rigorously that the limited range of fractal dimension is 1≤D<2. Numerical simulation showed that the side face contact coefficient in bearing contact is equal to or less than 1; the side face contact coefficient of inner contact is larger than that of outer contact; when the shaft journal radius and normal contact load increase and joint interface virtual material thickness decreases, the side face contact coefficient in bearing contact increases; the real contact area of inner contact is bigger than that of outer contact; when the shaft journal radius increases and fractal roughness, plane Brinell hardness of bearing hole and joint interface virtual material thickness decrease, the actual contact area increases; when the fractal dimension increases from 1.4 to 1.5, the real contact area increases; when the fractal dimension increases from 1.5 to 1.9, the real contact area decreases; Hertz stress decreases with increase in shaft journal radius; Hertz stress of inner contact is less than that of outer contact; the normal contact stiffness of bearing inner contact is larger than that of outer contact;when the normal contact load, fractal dimension and shaft journal radius increase and fractal roughness, elastic modulus of shaft journal, bearing length and joint interface virtual material thickness decrease, the normal contact stiffness increases.

radial sliding bearing； bearing hole； shaft journal； normal contact stiffness； planar contact； curved surface contact

國(guó)家自然科學(xué)基金(51605255)

2016-12-12 修改稿收到日期：2017-01-23

田紅亮 男，博士，教授，1973年6月生

董元發(fā) 男,博士,副教授,1988年2月生

TH113.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.034