二維壁板顫振的本征正交分解降階模型研究

梅冠華， 康 燦， 張家忠

(1. 江蘇大學 能源與動力工程學院， 江蘇 鎮江 212013； 2. 西安交通大學 能源與動力工程學院， 西安 710049)

二維壁板顫振的本征正交分解降階模型研究

梅冠華1， 康 燦1， 張家忠2

(1. 江蘇大學 能源與動力工程學院， 江蘇 鎮江 212013； 2. 西安交通大學 能源與動力工程學院， 西安 710049)

針對二維壁板顫振問題，基于Galerkin方法和本征正交分解(POD)方法，發展了兼具高效性和全局性的降階模型(ROM)。簡述了二維壁板顫振的經典Galerkin解法，及在物理空間上提取POD模態和建立ROM的傳統方法。為簡化流程和提高效率，發展了一種在Galerkin基函數所張成的模態空間上進行POD模態提取與ROM建立的新方法，并證明了該方法與傳統POD-ROM的等效性。隨后，通過對系統典型響應的POD模態分析，表明POD模態可高效反映系統的最本質特征。基于混沌響應下的POD模態建立了ROM，并用其詳細研究了系統的分岔特性和穩定區域邊界。計算表明該POD-ROM與Galerkin方法的計算精度非常接近，計算效率卻有大幅提升。該方法可推廣應用于其他復雜動力系統的ROM構建。

壁板顫振； 氣動彈性； 降階模型； 本征正交分解

由于質量輕、強度大，壁板結構被大量應用于航空航天領域。在外部氣動載荷與結構體自身的慣性力和彈性力的耦合作用下，飛行器表面的蒙皮結構或其他壁板類結構極易發生自激振動，即壁板顫振。作為典型的氣動彈性不穩定行為，壁板顫振嚴重威脅著飛行器的疲勞壽命與飛行安全。因此，就壁板顫振展開深入研究，有助于揭示壁板各類復雜行為的誘發與維持機理，可為高性能飛行器的壁板設計與顫振抑制提供依據，具有重要的理論與實際意義[1-2]。

隨著超音速和高超音速飛行器的研發熱潮，壁板顫振越來越引起人們的廣泛關注。從20世紀50年代開始，大量學者針對該問題進行了廣泛而深入的研究，從數學模型、數值方法和分析方法等方面積累了眾多有價值的研究成果。一般來說，氣動載荷由活塞理論[3]逼近，或由基于Euler等[4-5]或Navier-Stokes方程[6]的計算流體動力學(CFD)方法獲取，壁板運動由Von Kármán大變形理論描述，推導出的壁板顫振模型為典型的偏微分控制方程。在數值方法方面，常采用Galerkin方法[7]、Rayleigh-Ritz方法[8]、有限元方法[9-10]等將該偏微分方程離散化為常微分方程，在時域上對壁板響應展開研究。就分析手段而言，常用的定性工具有位移時間歷程、頻譜圖、時空圖、相圖、Poincare截面和分岔分析等，定量工具有Lyapunov指數和維數等[11]。

為保證計算精度，傳統的數值方法往往存在離散方程的自由度數目龐大和計算消耗大等不足之處。因此為提高計算效率，多種降階方法被應用于壁板顫振降階模型(ROM)的構建中，如特征模態法、諧波平衡法、系統辨識法、時滯慣性流形法(IMDs)[12-13]、本征正交分解法(POD)[14-15]等。其中，POD方法可從系統動態響應中提取出最本質的特征，故用其構建的ROM具有階數少和精度高的優點，已成為當前最主流的降階技術。針對二維和三維壁板非線性顫振，基于POD方法建立的ROM可顯著縮減系統階數，大幅節省計算時間[16-18]。然而，目前POD-ROM中POD模態的提取及ROM的建立過程皆較為繁瑣和耗時，具體表現為：POD模態提取所需的快照矩陣要由大量的時間和空間數據來組成，而ROM的建立需對系統原始偏微分控制方程進行離散化處理。此外，由特定參數下響應中獲取的POD模態所建立的ROM并不一定適用于全局參數下系統特性的分析。

近年來，Amabili等[19]在研究儲水圓柱殼于外部激勵下的流固耦合特性時，從Galerkin模態與POD模態的投影關系出發，推導出了在Galerkin模態空間上提取POD模態的表達式。Epureanu等[20]在研究二維壁板氣彈特性時，基于POD模態采用模態解法針對有限差分方法已經離散好的常微分方程開展了ROM的構建。那么，借鑒上述兩種方法的優點，將POD模態的提取以及ROM的構建皆在Galerkin模態空間上進行，則可顯著改善當前POD-ROM在處理二維壁板顫振問題時繁瑣和耗時的不足之處。

為此，本文發展了一種兼具高效性和全局性的POD-ROM方法。該方法基于經典的二維壁板顫振Galerkin解法，直接在Galerkin模態函數所張成的基函數空間上進行POD模態的提取，而ROM的構建也并非針對原偏微分控制方程展開離散化處理，而是直接對Galerkin方法已離散好的常微分控制方程進行，從而極大地簡化了POD模態的提取和ROM的建立，顯著提高了計算效率，通過推導證明了該方法與經典POD-ROM的等效性。進一步，選用混沌響應的POD模態，建立了全局性的ROM，并對系統的分岔特性和穩定性區域進行了分析。對比發現，該POD-ROM擁有與Galerkin方法相近的計算精度，并可大幅提升計算效率。

1 二維壁板顫振方程

若壁板的展向尺寸遠大于弦長，則可采用無限展長假設的二維壁板顫振模型，以便問題分析。圖 1給出了二維壁板顫振模型，考慮壁板所承受的初始拉伸面內外力N0、非線性大變形引發的中面拉伸載荷Nx、慣性力和氣動載荷Δp，給出壁板的運動方程：

(1)

式中

(2)

圖1 二維壁板顫振模型Fig.1 Schematic of two-dimensional panel flutter

(3)

引入無量綱參數

可推得無量綱形式的控制方程：

(4)

2 Galerkin方法求解

2,…。并將壁板位移由前M項基函數的疊加形式近似表示：

(5)

(6)

事實上，Galerkin方法的求解過程相當于將原物理空間上的壁板位移投影到了有限階基函數所張成的空間上去，從而將原無窮維動力系統近似為有限維動力系統。為方便處理，將式整理為矩陣形式：

(7)

式(7)在時域內的求解采用Runge-Kutta-Fehlberg數值積分方法，該方法可根據誤差估計自動調整時間步長，從而保證了解的收斂性。為方便計算，可基于式預先計算并存儲相關系數矩陣。同時，為節省存儲空間和計算時間，存儲和計算過程僅針對矩陣的非零元素進行。

3 POD模態的提取

POD是一種強有力的數學分析工具。其實質是從數值模擬或實驗所獲得的數據中提取出最優的空間信息，以反映系統的時間-空間復雜特性及本質屬性。其目的在于獲取高維過程的低維近似描述，或是揭示系統最主要的物理特征。

3.1 POD模態提取的傳統方法

(8)

計算相關函數矩陣：

(9)

求解如下特征值問題：

(10)

將特征值按降序排列，并同時整理對應的特征向量：

(11)

3.2 POD模態提取的新方法

事實上，POD模態的提取無需在物理空間上針對壁板的真實位移進行，而是可以直接在由基函數所張成的模態空間上進行，由于模態空間的維數較小，故可顯著簡化計算流程，提高計算效率，該方法(方法2)的具體過程如下：

(12)

一般地，Galerkin模態數M遠遠小于時間點數目Ntime，因此與式不同，相關函數矩陣按下式計算：

Φ=QQT

(13)

對Φ求取特征值和特征向量：

Φvj=λjvj

(14)

將特征值從大到小進行排列，并調整所對應的特征向量：

λ1≥λ2≥…≥λM

v1,v2,…,vM

所得特征值λj為各階POD模態的能量，而特征向量vj則為基函數空間(模態空間)上的各階POD模態，由式將其向物理空間轉換即可獲取反映壁板真實位移的POD模態。事實上，如下一節所述，由于降階模型也可在基函數空間上直接構建，故無需作此轉換。

3.3 兩方法的等效性

下面證明上述兩種POD提取方法的等效性：

C=

(15)

(16)

由于矩陣C的列向量是滿足正交關系的，故CTC為對角矩陣，且對角元素相等，設其為c，則

(17)

(18)

式(18)兩端同時左乘方法2中快照矩陣Q，得：

(19)

(20)

將方法2中的特征向量轉化到物理空間上的真實POD模態ψj：

ψj=Cvj

(21)

綜上所述，方法1和方法2是等效的。然而，在方法2中，快照矩陣直接由基函數系數組裝而成的，因此計算流程極為簡便，且相關函數矩陣的維數較低(與基函數的截斷階數相同，量級一般為個位數)，故特征值和特征向量的求解也十分快捷。

4 ROM的構建

基于POD模態構建ROM的傳統方法是在物理空間上進行的：截取有限階POD模態作為新的基函數，并將壁板位移近似為其疊加形式，采用Galerkin方法對原偏微分控制方程進行離散處理即可建立ROM。

實際上，ROM的構建也可在已有的基函數所張成的模態空間上完成，采用在該空間上所提取的POD模態，對已經離散好的常微分控制方程進行降維處理即可，該過程類似于計算結構動力學中的模態解法。該方法構建ROM的具體流程如下。

將式(7)中的待求系數向量表示為前L階POD模態的疊加形式：

(22)

式中：V=[v1,v2,…,vL]為POD模態矩陣；b=[b1,b2,…,bL]T為系數向量。將式(22)代入式(7)，并左乘VT，利用POD模態的正交性，即可得到如下ROM系統：

(23)

式中各矩陣為

這樣，便將原M維的高階系統縮減成了L維的低階系統，完成了降階模型的構建。本質上，Galerkin方法將物理空間上壁板的真實位移投影到了有限維基函數所張成的模態空間上，而ROM則進一步將其縮減到了更低維數的POD模態空間上。

事實上，若將基函數空間上提取到的POD模態轉化為物理空間上真實的POD模態，并依據傳統的ROM構建方法，將壁板真實位移表達為其疊加形式，采用標準Galerkin方法對系統原偏微分控制方程進行離散處理，則可獲得與式完全一樣的ROM，但這樣的ROM構建方法無疑是繁瑣和耗時的。

5 數值模擬與結果分析

5.1 POD模態的特性分析

POD模態作為從快照數據中提取出的一組最優模態，可以用最少的數目來逼近壁板的真實運動。而且由系統在不同參數下的響應所獲取的POD模態往往具有普適性，可反映系統的通有特征。為此，選取壁板的五種典型穩態響應：屈曲(Rx=-4π2，λ=50)、極限環(Rx=0，λ=450)、倍周期(Rx=-5π2，λ=160)、準周期(Rx=-5π2，λ=140)和混沌(Rx=-5π2，λ=150)，以穩態響應數據作為快照矩陣，計算POD模態及特征值。

表1 POD模態提取方法效率對比Tab.1 Efficiency compare of POD modes extraction methods

計算表明，為了獲得收斂的POD模態，屈曲可選用最后0.1個單位時間內的穩態響應，極限環和倍周期可選用一個周期的穩態響應，而準周期和混沌則需要選取多個擬周期的穩態響應，此外，在物理空間上均布60個離散點即可。計算結果表明，對于同樣的壁板穩態響應數據，第3節給出的兩種POD計算方法所得POD模態與各階模態的能量比重均完全相同，而新方法的計算效率則要遠遠優于傳統方法，如表 1所示，其較傳統方法的計算耗時少了多個數量級。

為更好地理解POD模態是時間-空間最優模態這一特性，將POD模態與壁板真實變形進行比對。上述不同穩態響應下參考點的相圖如圖 2所示，壁板的位移時空圖如圖 3所示，壁板的瞬態最大變形與前三階POD模態對比如圖 4所示(為便于比對，進行了單位化處理)。對于極限環響應，從圖 3(a)中可見壁板的運動表現出很強的規律性，其呈現出駐波形式的振動，其最大振幅大約位于x=0.75a附近，在圖 4(a)中，壁板的瞬態最大位移與一階POD模態幾乎重合在一起，即對于極限環振動這種較為簡單的動力學響應，一階POD模態可揭示出系統最重要和最本質的特征。圖 3(b)所給出的倍周期響應具有周期性，然而其運動形式更為復雜，由多個成比例(可互約)的頻率組分耦合而成，由圖 4(b)可見一階POD模態與壁板瞬時最大位移是大致吻合的，它們之間的細微差別則由2階和3階POD模態彌補，即，POD模態仍舊反映了系統運動的基本規律。圖 2(c)和圖 3(c)所展示的準周期響應整體上看呈現出擬周期特性，然而每個擬周期內的振幅與速度卻并不相同，這是由于多個不可互約的頻率組分共同作用所致，圖 4(c)可見，一階POD模態與壁板瞬時最大變形的趨勢是一致的，但是在壁板前半部分出現了一些偏差，這是由于運動形式的復雜導致單獨一階POD模態已不足以表征系統的全部特征，考慮到2階和3階POD模態對此偏差的修正，前3階POD模態可描述該準周期振動。對于更為復雜的混沌運動，圖 3(d)所給出的時空響應表現為外在的無序性與內在的規律性，對該混沌響應求取最大Lyapunov指數[21]，發現其大于0，從而判定了該響應是混沌運動。在圖 4(d)中，一階POD模態與壁板瞬時最大變形的差別并不大，這說明即便是對于混沌這樣復雜的運動形式，POD模態依舊可以有效反映系統的最主要特征，同時也表明了外在無序的混沌運動內部蘊含著特定的規律性。

表2 不同響應下前I階POD模態能量比重Tab.2 Energy proportions of former Ith POD modes fordifferent responses %

(a)極限環振動(b)倍周期

(c)準周期(d)混沌

圖2 壁板典型響應的相圖(Galerkin)

Fig.2 Phase portrait of typical panel responses (Galerkin)

(a) 極限環振動

(b) 倍周期

(c) 準周期

(d) 混沌圖3 壁板位移的時空圖(Galerkin)Fig.3 Time-space diagram of panel deflections (Galerkin)

圖 4還對比了第3節的兩種POD提取方法所得結果，顯然兩方法所得POD模態完全一致，這驗證了第3節的理論推導，即，兩種POD獲取方法是等效的。

(a)極限環振動(b)倍周期

(c)準周期(d)混沌

— 壁板變形，- -ψ1···ψ2-·-ψ3經典方法，□ψ1○ψ2△ψ3本文方法

圖4 壁板真實變形對比兩種方法所得POD模態

Fig.4 Panel deflections VS POD modes by two methods

5.2 局部ROM的精確性驗證

由于POD模態是由特定參數下的系統響應所獲取的，首先驗證截取有限階POD模態所構建的ROM能否精確反映原有系統的特性。針對5.1節中的極限環、倍周期、準周期和混沌這四類典型動態響應，依據所占能量應在99.99%以上的原則，極限環響應截取前兩階POD模態，而后三者截取前三階POD模態來建立ROM，所得響應如圖 5所示，與圖 2對比可見，ROM與原系統不論是定性上還是定量上均吻合較好，其用較少POD模態便可精確反映原系統的動力學特性。

(a)極限環振動(b)倍周期

(c)準周期(d)混沌

圖5 壁板穩態響應的相圖(ROM)

Fig.5 Phase portrait of panel steady state responses (ROM)

5.3 全局性ROM的建立與精確性驗證

雖然ROM可以精確反映原系統的特性，然而由特定參數下響應所獲取的POD模態不一定適用于其他參數下的ROM。事實上，將圖 4所給出的四種典型響應形式下的各階POD模態進行對比，可見它們在定量上存在一定差別，然而定性上，它們的趨勢是一致的，例如一階POD模態的最大值大約位于x=0.7a左右，而二階POD模態的最大值與最小值位置也大致相似。可以設想，由于混沌系統具有很強的非線性特性，包含了系統的大量信息，故采用混沌響應下的POD模態所建立的ROM將能適用于全局參數下的系統求解。因此，截取上述混沌系統的前3階POD模態，建立全局性的ROM。

為給出該ROM與Galerkin方法的全面對比，在參數平面R-λ上選取大量離散點，并將各參數下的系統穩態響應做以辨識，繪制出系統的穩態響應圖譜，如圖 6所示。ROM與Galerkin方法所獲取的平面穩定區域和屈曲區域完全相同，極限環振動區域和非諧振動(包含準周期、倍周期、混沌運動)區域也幾乎一樣，僅在極限環振動區域與非諧振動區域的交界處略有不同。這是由于在該邊界附近的非線性效應較為強烈，系統比較容易受到擾動影響，ROM對于高階POD模態的舍棄相當于對原系統施加了小擾動，因此導致了結果與Galerkin方法的細微差別。總之，在整個參數區域上，ROM和Galerkin方法所得結果取得了很好的一致，說明了雖然該ROM是基于特定混沌響應的POD模態建立的，卻能夠很好地反映原系統的整體特性。

(a)Galerkin(b)ROM

- 平面穩定，|屈曲，○極限環振動，●非諧振動

圖6 壁板穩態響應區域劃分

Fig.6 Division of panel steady state responses

為從定量上比較ROM和Galerkin方法，固定λ=150，考察位移峰值隨參數-Rx/π2的分岔特性，結果如圖 7所示。隨著分岔參數的增大，壁板發生了Hopf分岔，由平面穩定狀態轉變為極限環振動，并進一步演化為準周期振動、倍周期運動，最終發展成了混沌振動。不同參數下兩方法所得相圖的比較情況匯總于圖 8中，極限環運動如圖 8(a)所示，圖 8(b)和(d)給出了倍周期運動，準周期運動在圖 8(c)和(e)中展示，圖 8(f)則描繪了混沌運動的特性。不管是定性上還是定量上，ROM與Galerkin方法所繪制的分岔圖和相圖都近乎完全一樣，從而表明了該ROM可以精確反映原有系統的特性。

在計算消耗方面，對于相同的硬件條件和同樣的計算任務，ROM所需的計算時間僅為Galerkin方法的30%左右。這說明了ROM在保留計算精度的同時，可大幅節省計算時間。

(a)Galerkin(b)ROM

圖7 壁板隨-Rx/π2分岔特性(λ=150)Fig.7 Bifurcation analysis of panel peak deformation with -Rx/π2 (λ=150)

(c)-Rx/π2=3.9(d)-Rx/π2=4.4

(e)-Rx/π2=4.5(f)-Rx/π2=6.0

— Galerkin，- - POD-ROM

圖8 壁板穩態響應的相圖(λ=150)

Fig.8 Phase portrait of panel steady state responses (λ=150)

6 結 論

基于Galerkin方法和POD方法，發展了一種適用于二維壁板顫振分析的ROM，顯著改善了傳統POD-ROM中POD模態提取過程繁瑣耗時以及ROM構建中需復雜推導的不足。計算表明該POD-ROM可保留與Galerkin方法相近的計算精度，并可顯著提升計算效率。

(1) 在該方法中，POD模態的提取和ROM的建立直接在Galerkin基函數所張成的模態空間上進行，而并非像傳統POD-ROM那樣在物理空間上進行，從而極大簡便了計算流程，提高了計算效率，推導和計算亦證明了該方法與傳統方法的等效性。

(2) 基于混沌響應下的POD模態建立了全局性的ROM，通過在參數平面上繪制壁板穩態響應圖譜，以及研究壁板位移峰值隨參數的分岔特性，表明該ROM不管是在定性上還是在定量上，都與Galerkin方法所得結果吻合較好，從而說明采用混沌響應下的POD模態構建的ROM可以在全局參數下保留與Galerkin方法相近的計算精度。

(3) 為保證計算精度，Galerkin方法需要6階模態，而ROM僅需3階POD模態。在計算時間上，ROM僅為Galerkin方法的30%左右。這說明該ROM可大幅縮減系統維數，并具有很高的計算效率。

今后將針對貼近實際且更加復雜的動力學系統開展POD-ROM研究，以為實際問題提供更為精確和高效的求解與分析手段。

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Reducedordermodelbasedonproperorthogonaldecompositionfortwo-dimensionalpanelflutter

MEI Guanhua1, KANG Can1， ZHANG Jiazhong2

(1. School of Energy and Power Engineering, Jiangsu University, Zhenjiang 212013, China; 2. School of Energy and Power Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

Here, a reduced order model (ROM) was developed based on Galerkin method and the proper orthogonal decomposition (POD) with higher effectiveness and wholeness for two-dimensional panel flutter. Firstly, the classic Galerkin method, the traditional POD mode extraction method and the ROM construction method for two-dimensional panel flutter were introduced briefly. Then, in order to simplify the process and improve the efficiency, a new method was proposed to extract POD modes and construct ROM in the modal space spanned with Galerkin basis functions, the equivalence of this method to the traditional POD-ROM method was proved. Furthermore, through the POD modal analysis of typical responses of a panel, it was clarified that the POD modes can effectively reflect the most intrinsic characteristics of the system. Finally, a global ROM for the panel flutter was established based on POD modes in the case of a chaotic response of a panel, and it was employed to study the bifurcation behavior and boundaries of the stable region of the system in detail. The calculation results showed that the accuracy of this POD-ROM is very close to that of Galerkin method, its efficiency, however, is highly improved; the proposed method can be extended to construct ROMs for other complicated dynamic systems.

panel flutter; aeroelasticity; reduced order model (ROM); proper orthogonal decomposition (POD)

國家973計劃(2012CB026002)；國家科技支撐計劃(2013BAF01B02)；江蘇大學高級人才科研啟動基金(15JDG155)；江蘇高校優勢學科建設工程資助項目

2016-06-14 修改稿收到日期：2016-09-17

梅冠華 男，博士，講師，1984年11月生

康燦 男，博士，教授，博士生導師，1978年8月生

O323

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.021