基于DQM的空間軸對稱流體飽和多孔熱彈性柱體動力學特性研究

朱媛媛， 胡育佳， 程昌鈞， 鄭曉妹

(1.上海師范大學 信息與機電工程學院，上海 200234； 2. 上海理工大學 機械工程學院，上海 200093； 3. 上海大學 力學系，上海 200093)

基于DQM的空間軸對稱流體飽和多孔熱彈性柱體動力學特性研究

朱媛媛1， 胡育佳2， 程昌鈞3， 鄭曉妹1

(1.上海師范大學 信息與機電工程學院，上海 200234； 2. 上海理工大學 機械工程學院，上海 200093； 3. 上海大學 力學系，上海 200093)

在熱局部平衡條件下研究了空間軸對稱不可壓流體飽和多孔熱彈性柱體在表面溫度載荷作用下的動力學特性。基于de Boer多孔介質混合物理論，給出了問題的數學模型；其次綜合采用微分求積方法-二階向后差分法-Newton-Raphson迭代法求解了數學模型，得到柱體各離散點處未知物理量的數值結果，進而可分析柱體的動力學特性。為了驗證該方法的正確性，計算了不可壓流體飽和多孔彈性柱體的動力固結問題，并與de Boer等的解析結果進行了比較，兩者吻合良好，也證明DQM有較小的計算量和較高的精度。最后分別研究和比較了柱體只受到表面外載荷作用下的動力學特性和受到兩種表面溫度載荷與外載荷聯合作用下的動力學特性，考察了材料的某些參數對柱體動力學特性的影響。

流體飽和多孔熱彈性柱體；多孔介質混合物理論(PMT)；空間軸對稱；微分求積法(DQM)；熱動力學特性

近年來，飽和多孔介質熱-流-固耦合系統的動力學行為已得到國內外學者的廣泛重視。由于飽和多孔介質中固相骨架和孔隙流體之間具有不同的物理和力學性能，因此固相和液相之間存在著與孔隙結構密不可分的相互作用；同時，孔隙流體的運動不僅有擴散效應，而且常伴隨熱反應的發生，如：核廢料污染物在地下低滲透巖土中的傳熱-傳質問題、石油天然氣開發過程中的流固耦合問題、地熱儲層的合理開發和利用問題中的流固耦合問題等，這些問題都可看作是飽和多孔介質熱-流-固耦合作用的結果。所以，對飽和多孔介質力學熱力學性能與行為的研究是典型的多場耦合問題，不僅在土力學、水文學等經典應用領域發揮重要作用，也已成為許多新興學科和應用技術發展的關鍵，相關理論和數值方法的研究具有重要的理論意義和廣泛的應用背景。

目前，研究多孔介質宏觀力學行為的理論主要有：Biot理論、多孔介質混合物理論和雜交混合物理論等。Biot[1]建立了飽和多孔介質熱彈性和熱動力理論，成功地應用于諸多工程領域，取得了眾多成果。近年來，基于Biot理論，Cui等[2]引入熱孔隙度狀態表面的概念，提出了飽和土熱-水力-力學耦合分析的一個較完整的理論模型。Wu等[3]提出了非飽和土熱-水力-力學本構模型。劉干斌等[4]利用Fourier變換研究了荷載作用下地基土體的熱-水-力耦合動力響應問題。白冰[5]分析了各向同性飽和多孔介質熱-水-力一維耦合系統在循環溫度荷載下的響應。

但是Biot理論是建立在力學直觀基礎上的，其中耦合質量項的引入與連續介質力學相違背。因此，需要建立更加精確的宏觀數學理論來描述飽和多孔介質的力學行為。近年來由de Boer等[6-7]發展起來的多孔介質混合物理論, 采用公理化方法和體積分數概念研究多孔介質的力學問題, 將若干微觀性質直接用來描述宏觀性質，避免了Biot理論的非相容性和雜交混和物理論[8-9]中的繁雜公式，同時較容易反映某些動力學和非線性效應，為研究飽和土的力學行為提出了另一條新途徑。基于多孔介質混合物理論，de Boer等[10]利用Laplace變換給出了一維動力學響應的解析解。Heider等[11]研究了在飽和多孔半空間介質中波的傳播。Hu等[12]研究了黏彈性流體飽和多孔介質的動力學特性。de Boer等[13]給出了多孔介質熱動力學行為的本構關系。He等[14]建立了熱局部非平衡條件下不可壓飽和多孔彈性介質熱-流-固耦合模型，Yang[15]建立了相應的Gurtin型廣義變分原理。Qin等[16]建立了非飽和土的熱-水-力耦合分析模型，可反映熱膨脹、熱滲流、水的相變、氣體溶解及土骨架變形等現象的耦合過程。Ehlers等[17]考慮了多孔介質中傳質傳熱問題。

本文基于de Boer多孔介質混合物理論，在熱局部平衡條件下，研究了空間軸對稱流體飽和多孔熱彈性柱體在表面溫度載荷作用下的動力學特性。首先給出了問題的數學模型，然后分別在空間域內采用微分求積法(DQM)，時間域內采用二階向后差分格式離散控制方程、邊界條件和初始條件，最后運用Newton-Raphson法進行迭代求解，可得到柱體各離散點處未知物理量的數值結果。為了驗證本文方法的正確性，文中計算了無熱效應時不可壓流體飽和多孔彈性柱體的動力學固結問題，并與1993年de Boer等利用Laplace變換得到的解析解進行了比較，兩者吻合良好，證明DQM具有計算量小，精度高，數值穩定等優點。最后在熱局部平衡條件下，利用本文方法研究了空間軸對稱流體飽和多孔熱彈性柱體只受到表面外載荷作用下的動力學特性和受到兩種表面溫度載荷與外載荷聯合作用下的動力學特性，考察了材料的某些參數對柱體動力學特性的影響，得到了一些有益的結論。

1 問題的數學描述

1.1 控制微分方程

考察圖1所示的空間軸對稱不可壓流體飽和多孔熱彈性柱體。設柱體固相和液相的溫度變化相同θS=θF=θ，即柱體處于熱局部平衡狀態，基于de Boer多孔介質混合物理論，對各向同性線性熱彈性多孔固相骨架和理想流相，在兩相不可壓、小變形、小流速的假設下，任意rz平面上柱體的基本未知量滿足如下控制微分方程。

圖1 rz-平面上柱體的物理模型Fig.1 The physical model of cylinder on the rz-plane

質量守恒方程為

(1)

忽略體積力，動量和動量矩守恒方程為

Svwr+βθ,r=0

(2)

能量守恒方程為

(3)

幾何關系為

(4)

假設固相材料是線性彈性熱各向同性的，本構關系為

(5)

(6)

1.2 邊界條件

假定柱體上表面為理想排水，給定溫度變化φ(r,t)并承受時間相關垂直載荷q(r,t)作用，底部為剛性不排水且絕熱；側表面的徑向位移受到約束且絕熱非排水(圖1)。有如下邊界條件。

上表面(0≤r≤r1，z=0)的邊界條件

(7a)

底部(0≤r≤r1，z=h)的邊界條件

ur=0,uz=0,p,z=0,θ,z=0

(7b)

側表面(r=r1,0≤z≤h)的邊界條件

(7c)

對稱軸(r=0,0≤z≤h)上的對稱性條件

(7d)

1.3 初始條件

假設t≤0時柱體處于靜止，初始條件為

(8)

這樣，式(1)～(6)，邊界條件(7)和初始條件(8)構成了不可壓空間軸對稱流體飽和多孔熱彈性柱體6個基本未知量(即固相位移ur,uz，流相相對速度wr,wz，孔隙壓p和變溫θ)滿足的控制微分方程。

2 求解控制方程的DQM

由初邊值問題式(1)～(8)可見，獲得問題的解析解或半解析解是困難的。這里將采用微分求積方法(DQM)在空間域內離散控制方程和邊界條件，再采用二階向后差分格式來處理時間導數，最后，在離散化的初始條件(8)下運用Newton-Raphson迭代方法求離散化代數方程組的解，從而可得各離散點未知量的數值結果。

2.1 微分求積方法簡介

20世紀70年代，Bellman等[18-19]提出了一種新的數值方法，即微分求積法(DQM)，由于DQM不依賴泛函和變分原理，具有公式簡單、使用方便、精度高、計算量少等優點，引起人們廣泛關注，并成功應用于許多領域[20-22]。DQM思想是將未知函數對某方向自變量的偏導數近似表達為其各離散點(節點)處相應函數值的加權和，其中，權系數與具體問題無關，而只與解區域中所選擇的試函數和離散點有關。因此，利用DQM，任何微分方程都能轉化為相應的代數方程。本文亦將用DQM來對基本場方程進行空間離散，關于DQM的基本原理和公式，可以參考文獻[18-19]。

考慮在區域Ω={(r,z)|0≤r≤r1,0≤z≤h}內的函數Ψ(r,z)，采用Chebyshev-Lobatto多項式零點作為節點的坐標，分別沿r,z方向布置Nr×Nz個節點(圖2)，根據DQM，函數Ψ(r,z)在節點r=rξ，z=zη處對自變量r的n階偏導數可近似表示為

(9)

圖2 rz-平面上的布點Fig.2 Nodes collocated on the rz-plane

2.2 空間域內控制方程的DQ離散化

利用公式(9)在任意rz-平面內離散控制微分方程(1)～(3)，可得rz-平面上空間域內DQ離散化方程為

(10a)

(10b)

(10c)

(10d)

(10e)

(10f)

其中，ξ=2,3…,Nr-1,η=2,3…,Nz-1。

由幾關何系(4)，應變分量的DQ離散化形式為

(11)

其中，ξ=1,2,3…,Nr,η=1,2,3…,Nz。

本構關系(5)的離散化形式為

(12)

式中，ξ=1,2,3…,Nr,η=1,2,3…,Nz。

同時，固相有效應力分量與總應力分量關系(6)的離散化形式為

(13)

式中，ξ=1,2,3…,Nr,η=1,2,3…,Nz。

式(10)～(13)構成基本場方程(1)～(6)空間域內DQ離散化形式，它是關于時間t的代數-微分方程組。

2.3 對稱軸上奇異性條件的處理

當r→0

(14)

當r→0

(15)

式中，η=1,2，…，Nz。

2.4 邊界條件的DQ離散化

柱體上表面(ξ=1,2,…,Nr,η=1)邊界條件的DQ離散化形式為

(p)ξ1=0, (θ)ξ1=φξ1

(16a)

式中，qξ1,φξ1是ξ=1,2,…,Nr,η=1處外載荷q(r,t)和溫度載荷φ(r,t)的值。

底部(ξ=1,2,…,Nr,η=Nz)邊界條件的DQ離散化形式為

(ur)ξNz=0,(uz)ξNz=0,

(16b)

側表面(ξ=Nr,η=1,2,…,Nz)邊界條件的DQ離散化形式為

(16c)

對稱軸(ξ=1,η=1,2,…,Nz)上對稱性條件的DQ離散化形式為

(16d)

2.5 DQ離散化方程的簡化

為了提高求解速度，可由公式(10b)～(10c)解出未知量(wr)ξη和(wz)ξη代入 (10a),(10d)～(10g)中，離散化方程(10)轉化為在離散點(ξ,η)處只有4個未知量 (ur)ξη,(uz)ξη,(p)ξη，(θ)ξη的方程組。

2.6 時間導數的二階向后差分格式

離散化方程(10)～(16)是一組關于時間t的代數-微分方程，將采用二階向后差分格式來離散函數φ(t)關于時間的導數

(17)

式中：Δt為時間步長；φ(tn,x)為在t=tn時刻的函數值。

利用式(17), 對DQ離散化方程組式(10)～式(16)進行時間離散，并在離散化的初始條件式(8)下，利用Newton-Raphson迭代方法求解離散化代數方程組，從而可得各離散點各未知量的數值結果。

3 流體飽和多孔熱彈性柱的動力學特性

3.1 數值結果的驗證

de Boer等利用Laplace變換得到了不可壓一維無限長圓柱體在表面荷載作用下動力固結問題的解析解，本文運用DQM求解該問題，并與de Boer等的解析解進行比較，以說明本文方法的正確性，結果的可靠性。考慮高h=10 m，半徑r1=1 m的不可壓流體飽和多孔彈性體，其上邊界為理想排水，并承受時間相關垂直載荷q(t)的作用；底部邊界為剛性不排水；側表面為不排水邊界，流相和固相的材料參數見表1。

考慮兩種垂直載荷q(t)：① 階梯載荷q(t)=q0h(t)；② 周期載荷q(t)=q0[1-cos(ωt)]，其中，q0=3 kN/m2，ω=75 s-1，h(t)是Heaviside函數。

表1 流體飽和土的材料參數Tab.1 Physical parameters of fluid-saturated soil

圖3和圖4給出了在對稱軸上不同深度處的沉降uz，其中，點為解析解，實線和虛線為利用DQM得到的數值解，分別對應Δt=0.01 s和Δt=0.02 s，計算中取Nr=Nz=7。可以看到，用本文方法來計算流體飽和多孔彈性介質的動力學特性是有效的，也證明本方法具有很高的精度和收斂性。

3.2 空間軸對稱流體飽和多孔熱彈性柱的動力學特性

考察高h=10 m，半徑r1=1 m的體內無熱源不可壓空間軸對稱流體飽和多孔熱彈性柱體，邊界條件如圖1所示，材料參數見表2。計算中取Nr=Nz=7，Δt=1 s。

圖3 階梯載荷作用下沉降的時-程曲線Fig.3 Time-history curves of the settlement under the step loading

圖4 周期載荷作用下沉降的時-程曲線Fig.4 Time-history curves of the settlement under the cycle loading表2 熱-流-固耦合系統材料參數Tab.2 Physical parameters of thermo-fluid-solid system

參數數值參數數值參數數值μS0.231×106kN/m2γFR10000N/m3β13.35Pa/℃λS0.346×106kN/m2κF0.0173m/sΘ010℃αS8.9×10-5CcS937J/kg℃nSOS0.6ρSR2610kg/m3cF4186J/kg℃nFOF0.4ρFR1000kg/m3k3.142×106W/m℃

3.2.1 柱體上表面僅受外載荷作用時的動力學特性

Hu等[12]利用DQM得到了空間軸對稱流體飽和多孔彈性柱體的動力學特性，其模型中并沒有考慮熱效應的影響。假設在本文給出的流體飽和多孔熱彈性柱體模型中，柱體上表面無溫度變化，即φ(r,t)=0，考慮兩種模型下柱體的動力學特性。

考慮兩種垂直載荷q(t)：① 階梯載荷q(t)=q0h(t)；② 周期載荷q(t)=q0[1-cos(ωt)]，其中，q0=3 kN/m2，ω=0.4 s-1，h(t)是Heaviside函數。

圖5和圖6為利用DQM求得的柱體對稱軸不同深度處的沉降uz，流速wz，孔隙壓p和應力σzz，圖中實線為利用本文模型(考慮熱效應)得到的結果，圓點為利用文獻[12]中模型(不考慮熱效應)得到的結果。由于現在考慮的問題是柱體上表面無溫度改變，可近似認為柱體溫度變化θ=0，即常溫狀態，則利用兩種模型得到的解應趨于一致。計算中也驗證了這一點。進一步說明本文理論和方法的正確性，結果的可靠性。此時柱體動力學特性結論可參考文獻[12]。

(a) 沉降

(b) 相對流速

(c) 孔隙壓

(d) 應力圖5 階梯載荷作用下柱體的時-程曲線Fig.5 Time-history curves of the cylinder under the step loading

3.2.2 柱體上表面在溫度載荷和外載荷聯合作用下的動力學特性

給定柱體上表面外載荷q(r,t)=3 kN/m2。同時分別考察兩種表面溫度φ(t)對柱體動力學特性的影響：① 階梯溫度載荷φ(t)=φ0h(t)；② 周期溫度載荷φ(t)=φ0[1-cos(ωt)]，其中，φ0=10 ℃，ω=0.4 s-1，h(t)是Heaviside函數。

本文考察和分析了達西滲透系數κF，熱交換系數β，熱傳導系數k等對柱體動力學特征的影響，為了節省篇幅，僅列出了達西滲透系數κF影響的計算結果，并進行了討論，對于β，k等參數的影響只列出了結論。

(1) 在階梯溫度載荷和外載荷情況下的結果

圖7給出了在階梯溫度載荷和外載荷作用下，不同的達西滲透系數κF對對稱軸不同深度處的沉降uz，相對流速wz，孔隙壓p及溫度變化θ的影響。

從圖7(a)中可以看到，在不同的κF下，柱體沉降隨著時間的增大趨于相同穩定值。當κF較大時，固結作用過程快于熱傳導過程，初始階段固相的熱體積膨脹效應未得到明顯體現，柱體沉降大。當κF較小時，熱傳導過程快于機械載荷下的固結作用，初始階段首先表現為固相的熱體積膨脹效應，而后固結作用才逐漸發揮作用。

圖7(b)指出，柱體流速隨時間增大逐漸趨于零。在初始階段，柱體上表面附近的流速大于內部的流速。當κF增大時，初始階段流速的峰值增大。

圖7(c)指出，柱體的孔隙壓由初始值逐漸消散至零，且上表面附近孔隙壓的消散速度快于內部的消散速度；當κF增大時，孔隙壓消散速度增大。

從圖7(d)中可以看到，柱體溫度隨時間的增加逐漸上升并由上表面向縱深處傳導和擴散，最后達到等溫狀態，但κF對溫度影響較小。

(a) 沉降

(b) 相對流速

(c) 孔隙壓

(d) 應力圖6 周期載荷作用下柱體的時-程曲線Fig.6 Time-history curves of the cylinder under the cycle loading

(a) 沉降

(b) 相對流速

(c) 孔隙壓

(d) 溫度圖7 階梯溫度載荷作用下柱體的時-程曲線Fig.7 Time-history curves of the cylinder under the step temperature loading

同時，本文考慮了熱交換系數β，熱傳導系數k等對柱體的影響。結果表明，熱交換系數β越小，流固兩相之間相互作用力越小，初始階段固相的熱體積膨脹效應被抑制，柱體沉降較大。而當熱傳導系數k較大時，溫度場達到穩態所需時間短，初始階段熱傳導過程快于固結作用過程，柱體沉降較小。

(2) 在循環溫度載荷和外載荷情況下的結果

圖8中給出了在循環溫度載荷和外載荷作用下，達西滲透系數κF對對稱軸不同深度處的沉降uz，相對流速wz，孔隙壓p及溫度變化θ的影響。計算表明，在循環溫度載荷下，柱體的熱動力學整體性質和在階梯溫度載荷下相似，除了時-程曲線呈周期性變化外。達西滲透系數κF較小時，熱傳導過程快于機械載荷下的固結作用過程，初始階段表現為柱體固相的熱體積膨脹效應，沉降的振幅小。

同時，熱交換系數β越小，流固兩相之間相互作用力越小，初始階段固相的熱體積膨脹效應被抑制，柱體沉降大。而當熱傳導系數k較大時，溫度場達到穩態所需時間短，初始階段熱傳導過程快于固結作用過程，柱體沉降小。

在所考慮的幾種情況下，柱體溫度隨時間的增大周期性變化，并由上表面向縱深處傳導和擴散，各物理量沿縱深方向存在相位差，但周期相同。

(a) 沉降

(b) 相對流速

(c) 孔隙壓

(d) 溫度圖8 循環溫度載荷作用下柱體的時-程曲線Fig.8 Time-history curves of the cylinder under the cycle temperature loading

4 結 論

本文基于de Boer多孔介質混合物理論，綜合采用DQM-二階向后差分法-Newton-Raphson迭代法，研究了空間軸對稱流體飽和多孔熱彈性柱體在表面溫度載荷作用下的動力學特性。

為了驗證本文方法的正確性，計算了無熱效應時不可壓流體飽和多孔彈性柱體的動力固結問題，并與現有解析結果進行了比較，二者吻合良好，證明DQM具有精度高，計算量小，數值穩定等優點。

本文分別研究了空間軸對稱流體飽和多孔熱彈性柱體在熱局部平衡條件下，只受到表面外載荷作用下的動力學特性和受到表面溫度載荷與外載荷聯合作用下的動力學特性，并比較了在柱體上表面給定兩種不同溫度載荷(即階梯溫度載荷和周期溫度載荷)的結果，考察了材料的某些參數對柱體動力學特性的影響。結果表明在兩種溫度載荷的作用下，除了在周期溫度載荷條件下柱體物理量的時-程曲線呈周期性變化外，柱體的熱動力學整體特性是相似的：隨著時間的增加，柱體沉降趨于穩定、流速逐漸趨于零、孔隙壓由初始值逐漸消散至零、溫度逐漸上升并由上表面向縱深處傳導和擴散；同時，當達西滲透系數κF較大或熱交換系數β較小時，初始階段柱體固結作用過程快于熱傳導過程，柱體沉降大；當熱傳導系數k較大時，溫度場達到穩態所需時間短，初始階段熱傳導過程快于固結作用過程，柱體沉降較小。另外，在周期溫度載荷作用下，柱體溫度隨時間的增大周期性變化，并由上表面向縱深處傳導和擴散，各物理量沿縱深方向存在相位差，但周期相同。

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Dynamiccharacteristicsforaspatial-axisymmetricfluid-saturatedporousthermo-elasticcylinderbasedonDQM

ZHU Yuanyuan1, HU Yujia2, CHENG Changjun3, ZHENG Xiaomei1

(1. College of Information, Mechanical and Electrical Engineering, Shanghai Normal University, Shanghai 200234, China；2. College of Mechanical Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China;3. Department of Mechanics, Shanghai University, Shanghai 200072, China)

Dynamic characteristics of an incompressible spatial-axisymmetric fluid-saturated porous thermo-elastic cylinder subjected to a surface temperature loading were studied in case of local thermal equilibrium. Firstly, the mathematical model of the problem was established based on de Boer porous media theory. Then, the differential quadrature method, the second-order backward difference scheme and Newton-Raphson iterative method were synthetically used to solve the mathematical model and obtain the numerical results of the unknown quantities at every discretized point, and the dynamic characteristics of the cylinder were further studied. In order to verify the validity of the proposed method, the dynamic consolidation problem of an incompressible fluid-saturated porous elastic cylinder was computed with this method. The obtained numerical results agreed well with the analytical ones published by de Boer et.al, it was shown that the proposed method has two advantages: smaller amount of computation and higher accuracy. Finally, the dynamic characteristics of a spatial-axisymmetric fluid-saturated porous thermo-elastic cylinder subjected to mechanical load or both mechanical load and temperature load were studied and compared, the effects of material’s some parameters on the dynamic characteristics of the cylinder were investigated.

fluid-saturated porous thermo-elastic cylinder； porous media theory(PMT)； spatial-axisymmetric problem； differential quadrature method (DQM)； thermo-dynamic

上海市自然科學基金(15ZR1431600)

2017-01-13 修改稿收到日期：2017-04-06

朱媛媛 女，博士，副教授，1971年3月生

胡育佳 男，博士，副教授，1979年3月生

TU311

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.013