橫向磁場中旋變運動導電圓板的參強聯(lián)合共振

李 哲， 胡宇達

(1. 燕山大學 建筑工程與力學學院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學 河北省重型裝備與大型結構力學可靠性重點實驗室，河北 秦皇島 066004)

橫向磁場中旋變運動導電圓板的參強聯(lián)合共振

李 哲1,2， 胡宇達1,2

(1. 燕山大學 建筑工程與力學學院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學 河北省重型裝備與大型結構力學可靠性重點實驗室，河北 秦皇島 066004)

研究變速旋轉圓板的非線性磁彈性參強聯(lián)合振動問題。給出旋轉圓板在磁場中的磁彈性振動方程，應用伽遼金法離散變量，得到橫向磁場中旋轉圓板軸對稱參強聯(lián)合振動微分方程。運用多尺度法求解振動微分方程，分析久期項得到系統(tǒng)發(fā)生參強聯(lián)合共振時的兩種共振狀態(tài)，并分別給出兩種狀態(tài)下系統(tǒng)的幅頻響應方程。通過數(shù)值計算，給出圓板的協(xié)調(diào)參數(shù)、磁場、轉速、激勵力等參數(shù)變化對振動特性的影響，對比兩種共振條件下的幅值-參數(shù)曲線，討論不同參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。通過系統(tǒng)的全局分岔圖，討論分岔參數(shù)變化對系統(tǒng)動力學特性的影響。

磁彈性；圓板；參強聯(lián)合共振；旋轉運動；多尺度法；穩(wěn)定性

旋轉圓板、圓環(huán)類構件在航空航天、大型發(fā)電機組、機械工程等領域都有著廣泛的應用，其在電磁場、機械場等復雜環(huán)境下系統(tǒng)初始條件和物理參數(shù)的變化可能導致圓板大幅振動以至失穩(wěn)，甚至會損害系統(tǒng)。因此，分析旋轉系統(tǒng)參數(shù)變化引起的動態(tài)響應是十分重要的。針對結構磁彈性振動國內(nèi)外學者做了許多理論研究。Bekhoucha等[1]研究了磁場中非線性旋轉組合梁的強迫振動，給出了系統(tǒng)響應曲線并分析角速度對系統(tǒng)的影響；Pratiher等[2]針對懸臂梁的磁彈性非線性振動和頻率特性進行了系統(tǒng)的分析，給出系統(tǒng)的響應方程，通過多尺度法進行求解并分析各參數(shù)對系統(tǒng)振動的影響；胡宇達等[3-5]推導出了磁場中圓板及矩形板的基本方程，對系統(tǒng)自由振動及強迫振動問題進行了分析；胡宇達等[6]針對磁場中旋轉圓板，推導了磁場中旋轉圓板的振動方程并對軸對稱問題進行了分析，為研究圓板的復雜振動問題提供了基礎；Hu等[7]針對磁場中矩形板的諧波振動進行分析，研究了其分岔和混沌行為，為控制系統(tǒng)振動提供了理論基礎。針對系統(tǒng)的參數(shù)振動及參強聯(lián)合振動，?zhan等[8]分析了非線性連續(xù)系統(tǒng)的主參數(shù)共振問題，運用多尺度法得到近似解析解并討論了穩(wěn)態(tài)解及其穩(wěn)定性；Shahgholi等[9]對非軸對稱系統(tǒng)的主共振和參數(shù)共振進行了研究，討論了偏心主軸和外部阻尼對穩(wěn)態(tài)響應的影響并運用數(shù)值模擬驗證了多尺度法的結果；胡宇達等[10-11]針對磁場中軸向運動矩形薄板的參數(shù)振動及主參數(shù)共振進行了研究，分析各參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；張偉等[12]研究了參數(shù)與強迫激勵聯(lián)合作用下非線性系統(tǒng)的分差問題，給出了分叉集和分叉響應曲線，得到了許多有價值的結論；康厚軍等[13]針對斜拉索大幅振動問題進行了研究，分析在參數(shù)振動和強迫振動激勵下斜拉索的非線性振動問題，給出了引起系統(tǒng)參強聯(lián)合共振的條件；賈啟芬等[14]研究了機電系統(tǒng)的參強聯(lián)合激勵作用下系統(tǒng)的分岔問題，分析了參數(shù)激勵、強迫激勵聯(lián)合作用下的動力學特征，為有效控制電機的穩(wěn)定運行提供理論依據(jù)。本文在給出旋轉圓板的磁彈性橫向振動方程的基礎上，推導參強聯(lián)合共振微分方程并通過多尺度法對其進行求解，得到兩種系統(tǒng)共振的條件并分別對其求解。通過算例，分析系統(tǒng)不同物理參數(shù)和初始條件對共振特性的影響。

1 變速旋轉運動圓板的參數(shù)振動方程

考慮導電旋轉圓板在外加橫向磁場B0z中以轉速Ω做變速旋轉運動，并受到均布橫向載荷Pz的作用。如圖1所示，圓板半徑為R，板厚為h。基于動能、應變能的表達式，通過哈密頓原理可推導出旋轉圓板的磁彈性橫向振動微分方程為[6]

(1)

圖1 磁場中旋轉圓板力學模型Fig.1 The mechanical model of rotating circular plate in magnetic field

將彎矩內(nèi)力和電磁力矩表達式代入到振動方程中，得到旋轉運動圓板關于橫向撓度的磁彈性軸對稱非線性振動方程：

(2)

設滿足邊界條件的位移解為如下展開形式：

(3)

將式(3)代入到方程(2)中，應用伽遼金法進行積分，得到橫向磁場中圓板的振動微分方程：

A5f3(t)+A6Pz=0

(4)

其中，

設轉速Ω=Ω0+Ω1cosω1t；載荷Pz=P1cosω2t。其中，Ω0為恒定速度，Ω1為變速度擾動量，P1為強迫激勵幅值，ω1為轉速變化頻率，ω2為強迫激勵頻率。代入方程(4)中，得到變速旋轉運動圓板的參數(shù)振動方程：

η4f3(t)+η5P1cosω2t=0

(5)

2 旋轉圓板磁彈性參強聯(lián)合共振問題的理論分析

(6)

下面應用多尺度法[15]對方程(6)進行求解。選用兩個時間變量(T0,T1)，設系統(tǒng)參強聯(lián)合共振的一次近似解為

q(τ,ε)=q0(T0,T1)+εq1(T0,T1)+O(ε2)

(7)

式中：T0=τ；T1=ετ。

將式(7)代入方程(6)中，令ε同次冪相等，得到：

(8)

(9)

式中：D0=?/?T0；D1=?/?T1。

設方程(8)解的復數(shù)表達形式為

(10)

將式(10)代入方程(9)中，得：

(11)

為了避免方程中的久期項的出現(xiàn)，函數(shù)A應滿足：

(12)

此時設：

(13)

此條件下久期項為

(14)

(15)

(16)

式中：φ1=2σ1T1-2β;φ2=σ2T1-β。

(17)

(18)

為了便于對方程(17)、(18)求解，進行變量變換，設：

M=acosφ2N=asinφ2

(19)

同時考慮方程(15)、(16)，可以得到：

(20)

(21)

對于穩(wěn)態(tài)運動，應有M′=N′=0，解出M和N：

(22)

(23)

再由M2+N2=a2，得到旋轉圓板參強聯(lián)合共振下的幅頻響應方程：

(24)

此時設：

(25)

此條件下久期項為

(26)

(27)

(28)

式中：φ1=σ1T1-2β；φ1=σ2T1-β。

參照狀態(tài)(1)的求解方法，最終可以得到旋轉圓板軸對稱參強聯(lián)合共振下的幅頻響應方程：

(29)

3 算例分析

針對銅制圓板磁彈性參強聯(lián)合共振的問題進行計算分析。主要參數(shù)：密度ρ=8 920 kg/m3，板厚h=5 mm，半徑R=0.5 m，電導率σ0=5.714 3×107(Ω·m)-1，波松比μ=0.33，彈性模量E=108 GPa。

3.1 穩(wěn)態(tài)運動下的共振幅值特性

圖3給出了共振振幅a隨著磁感應強度B0z變化的曲線圖(選取參數(shù)為：Ω0=5 000 r/min，Ω1=100 r/min，P1=50 N/m2)。圖中顯示共振振幅曲線以B0z=0 T為對稱軸呈左右對稱分部。曲線變化規(guī)律對協(xié)調(diào)參數(shù)的變化比較敏感。隨著磁感應強度的增大，共振振幅變化不是十分明顯，當磁感應強度增加到某一值時，系統(tǒng)出現(xiàn)鞍結靜態(tài)分岔，共振振幅急劇變小。由此可以得到在保持系統(tǒng)的旋轉速度、強迫力不變時，通過調(diào)整磁感應強度可以起到控制系統(tǒng)共振振幅的目的。

圖4給出了共振振幅隨著激勵力P1變化的曲線圖(選取參數(shù)為：Ω0=5 000 r/min，Ω1=100 r/min)。從圖4(a)和圖4(b)中可以看出磁感應強度對系統(tǒng)的多值性以及共振振幅有著較大的影響。圖4(c)和圖4(d)給出了不同協(xié)調(diào)參數(shù)下系統(tǒng)的共振振幅隨著激勵力變化的曲線。綜合圖3和圖4，可以得到，隨著協(xié)調(diào)參數(shù)減小、磁感應強度的增加，系統(tǒng)的多值性逐漸消失。

圖5為系統(tǒng)初始狀態(tài)變化時的動相平面軌跡圖(選取參數(shù)為：B0z=3 T，Ω0=5 000 r/min，Ω1=100 r/min，P1=50 N/m2)，箭頭方向為系統(tǒng)軌跡方向。圖中可以看出夾支和簡支邊界條件下選取不同協(xié)調(diào)參數(shù)時系統(tǒng)穩(wěn)定解的變化。在圖5(a)中存在一個穩(wěn)定焦點S1，其幅值大小為S1=0.332 6，記為S1(0.332 6)。在圖5(b)中存在兩個穩(wěn)定焦點S1(0.138 7)、S3(0.448 7)和一個鞍點S2(0.359 4)。圖5(c)中存在一個穩(wěn)定焦點S1(0.362 3)。圖5(d)中存在兩個穩(wěn)定焦點S1(0.078)、S3(0.570 2)和一個鞍點S2(0.500 7)。這與圖2(a)和圖2(b)兩圖中對應點的幅值大小一致，可以推斷出當圖2中的曲線出現(xiàn)三個解時，最大和最小的解是穩(wěn)定的，中間的解是不穩(wěn)定的。在圖3和圖4中的曲線也有相同的性質(zhì)。

(a) 夾支邊界

(b) 簡支邊界

(c) 夾支邊界

(d) 簡支邊界

(f) 簡支邊界圖2 幅頻響應曲線Fig.2 Frequency response curves

(a) 夾支邊界

(b) 簡支邊界圖3 幅值-磁感應強度曲線Fig.3 Amplification-magnetic induction intensity curves

(a)夾支邊界(σ=0.03)(b)簡支邊界(σ=0.03)(c)夾支邊界(B0z=4T)(d)簡支邊界(B0z=4T)

圖4 幅值-激勵力曲線

Fig.4 Amplification-forced excitation curves

圖6給出了夾支和簡支條件下，改變磁感應強度時系統(tǒng)穩(wěn)定焦點位置的變化圖(選取參數(shù)為：Ω0=5 000 r/min，Ω1=100 r/min，P1=50 N/m2)。圖6(a)中三個焦點分別為：焦點S1(0.393 3)，磁感應強度B0z=3 T；焦點S2(0.148 3)，磁感應強度B0z=5 T；焦點S3(0.087 8)，磁感應強度B0z=7 T。圖6(b)中三個焦點分別為：焦點S1(0.570 2)，磁感應強度B0z=3 T；焦點S2(0.076 8)，磁感應強度B0z=5 T；焦點S3(0.073 3)，磁感應強度B0z=7 T。對比圖6(a)和圖6(b)，可以得出磁感應強度的增加可以抑制系統(tǒng)的共振振幅，并且能更快的到達穩(wěn)定狀態(tài)。

(a)夾支邊界(εσ=0.01)(b)夾支邊界(εσ=0.03)(c)簡支邊界(εσ=0.05)(d)簡支邊界(εσ=0.2)

圖5 動相平面軌跡圖

Fig.5 The phase plane curves

(a) 夾支邊界(εσ=0.02)

(b) 簡支邊界(εσ=0.02)圖6 動相平面軌跡圖Fig.6 The phase plane curves

綜合圖5和圖6，可以看出，物理量的變化以及初值對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應有著明顯的影響，同時系統(tǒng)的初值決定了系統(tǒng)在存在多值解時取哪一個穩(wěn)態(tài)解。

3.2 磁場變化時系統(tǒng)的不同動力響應

為進一步分析系統(tǒng)在參強共振下呈現(xiàn)的其他非穩(wěn)態(tài)復雜動力學現(xiàn)象，直接對微分方程(6)進行數(shù)值求解，圖7繪制了以磁感應強度B0為分岔控制參數(shù)的系統(tǒng)響應全局分岔圖。由分岔圖可知，在磁感應強度B0<0.2 Τ時，系統(tǒng)近似處于混沌運動狀態(tài)；隨著磁感應強度值的增加，系統(tǒng)逐漸出現(xiàn)概周期運動狀態(tài)；當B0>0.5 Τ時，系統(tǒng)呈現(xiàn)倍周期運動狀態(tài)。總體而言，隨著磁感應強度的增大，系統(tǒng)從最初的類似混沌運動狀態(tài)逐漸變?yōu)楦胖芷谶\動狀態(tài)，最終變?yōu)楸吨芷谶\動狀態(tài)，并保持相對穩(wěn)定。

圖7 磁感應強度B0的全局分岔圖(P1=2 000 N/m2)

Fig.7 Global bifurcation of magnetic induction intensityB0(P1=2 000 N/m2)

圖8給出當磁感應強度比較小時，龐加萊映射點陣截面呈現(xiàn)出封閉曲線。系統(tǒng)時程圖表現(xiàn)為往復周期運動方式。從功率譜圖中發(fā)現(xiàn)，振動能量主要分布在0.16倍頻和0.29倍頻，相軌跡圖多圈相套。系統(tǒng)近似處于混沌狀態(tài)。

圖9給出當B0=0.25 T時，龐加萊映射點陣截面呈現(xiàn)多個封閉曲線形式。系統(tǒng)時程圖表現(xiàn)為往復周期運動方式。從功率譜圖中發(fā)現(xiàn)，振動能量主要分布在0.16倍頻和0.29倍頻，相軌跡圖多圈相套。系統(tǒng)出現(xiàn)概周期運動。

圖10給出當B0=0.79 T時，龐加萊映射點呈現(xiàn)分散的五點形式，此時系統(tǒng)做五倍周期運動，時程圖也可以驗證此結論。從功率譜圖中可以發(fā)現(xiàn)，振動能量不只有五個主要頻率，由此可知此時振動是由多個倍頻疊加而成。

(a)龐加萊映射圖(b)時程圖(c)功率譜圖(d)相圖

圖8 B0=0.1 T時系統(tǒng)響應圖Fig.8 Response diagram of system with B0=0.1 T

圖9 B0=0.25 T時系統(tǒng)響應圖Fig.9 Response diagram of system with B0=0.25 T

圖10B0=0.79 T時系統(tǒng)響應圖

Fig.10 Response diagram of system withB0=0.79 T

3.3 兩種組合共振特性比較

圖11 幅頻響應曲線(B0z=4 T, P1=50 N/m2)Fig.11 Frequency response curve(B0z=4 T, P1=50 N/m2)

圖12 幅值-磁感應強度曲線(εσ=0.03, P1=50 N/m2)Fig.12 Amplification-magnetic induction intensity curve(εσ=0.03, P1=50 N/m2)

圖13 幅值-激勵力曲線(εσ=0.04, B0z=4 T)Fig.13 Amplification-forced excitation curve (εσ=0.04, B0z=4 T)

4 結 論

本文針對磁場中變速旋轉運動圓板，給出了參數(shù)振動微分方程。運用多尺度法求解方程，得出了兩種不同共振狀態(tài)的幅頻響應方程，數(shù)值計算結果表明：

(1)系統(tǒng)發(fā)生參強聯(lián)合共振時，共振振幅隨著磁感應強度和旋轉速度的增加、激勵力振幅的減小而減小；隨著初始條件和物理變量的變化，系統(tǒng)的共振振幅出現(xiàn)多值性。同時隨著磁感應強度的增加，系統(tǒng)逐漸從類似混沌運動狀態(tài)轉變?yōu)楸吨芷谶\動狀態(tài)，可見控制磁感應強度可以使系統(tǒng)更快的達到穩(wěn)定狀態(tài)。

(2)對比夾支和簡支兩種不同的邊界條件，可以得出夾支邊界條件下振幅對協(xié)調(diào)參數(shù)變化比較敏感：當協(xié)調(diào)參數(shù)在一定范圍內(nèi)發(fā)生微小變化時系統(tǒng)振幅急劇變化，隨著協(xié)調(diào)參數(shù)繼續(xù)增加系統(tǒng)快速達到穩(wěn)定狀態(tài)。

(3)當速度激勵頻率取二倍固有頻率時，系統(tǒng)的最大穩(wěn)定解和不穩(wěn)定解要比速度激勵頻率取一倍固有頻率的解要高，同時共振振幅的峰值也會大大增加；而最小穩(wěn)定解卻比一倍固有頻率的解低。其他的系統(tǒng)共振特性在兩種情況下均有相同的體現(xiàn)。

[1] BEKHOUCHA F, RECHAK S, DUIGOU L, et al. Nonlinear forced vibrations of rotating composite beams with internal combination resonance[J]. Design and Modeling of Mechanical Systems, 2013, Part II: 159-166.

[2] PRATIHER B, DWIVEDY S K. Nonlinear vibrations and frequency response analysis of a cantilever beam under periodically varying magnetic field[J]. Mechanics Based Design of Structures and Machines, 2011, 39(3): 378-391.

[3] 胡宇達, 徐耀玲, 白象忠. 橫向磁場中圓板的軸對稱振[J]. 振動與沖擊, 1998, 17(4): 71-74.

HU Yuda, XU Yaoling, BAI Xiangzhong. The axial symmetric vibration of circular plate in transverse magnetic field[J]. Journal of Vibration and Shock, 1998, 17(4): 71-74.

[4] 胡宇達. 軸向運動導電薄板磁彈性耦合動力學理論模型[J]. 固體力學學報, 2013, 34(4): 417-425.

HU Yuda. Magneto-elastic coupled dynamics theoretical model of axially moving current-conducting thin plate[J]. Chinese Journal of Solid Mechanics, 2013, 34(4): 417-425.

[5] 胡宇達, 杜國君. 磁場環(huán)境下導電圓形薄板的磁彈性強迫振動[J]. 工程力學, 2007, 24(7): 184-188.

HU Yuda, DU Guojun. Forced vibration of a thin round conductive plate in magnetic field[J]. Engineering Mechanics, 2007, 24(7): 184-188.

[6] 胡宇達, 李哲. 旋轉運動導電圓板電磁彈性耦合振動方程[J]. 應用力學學報, 2017, 34(1):38-42.

HU Yuda，LI Zhe.Electromagnetic elastic coupling vibration equations of a conductive rotating circular plate[J].Chinese Journal of Applied Mechanics,2017，34(1):38-42.

[7] HU Yuda, HU Peng, ZHANG Jinzhi. Strongly nonlinear subharmonic resonance and chaotic motion of axially moving thin plate in magnetic field[J]. Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, 2015, 10(2): 021010-(1-12).

[8] ?ZHAN B B, PAKDEMIRLI M. Principal parametric resonances of a general continuous system with cubic nonlinearities[J]. Applied Mathematics and Computation, 2012, 219(5): 2412-2423.

[9] SHAHGHOLI M, KHADEM S E. Primary and parametric resonances of asymmetrical rotating shafts with stretching nonlinearity[J]. Mechanism and Machine Theory, 2012, 51: 131-144.

[10] 胡宇達, 孫建濤, 張金志. 橫向磁場中軸向變速運動矩形板的參數(shù)振動[J]. 工程力學, 2013, 30(9): 299-304.

HU Yuda, SUN Jiantao, ZHANG Jinzhi. Parametric vibration of axially accelerating rectangular plate in transverse magnetic field[J]. Engineering Mechanics, 2013, 30(9): 299-304.

[11] HU Yuda, ZHANG Jinzhi. Principal parametric resonance of axially accelerating rectangular thin plate in magnetic field[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2013, 34(11): 1405-1420.

[12] 張偉, 霍拳忠. 參數(shù)激勵與強迫激勵聯(lián)合作用下非線性振動系統(tǒng)的分叉[J]. 力學學報, 1991, 23(4): 464-474.

ZHANG Wei, HUO Quanzhong. Bifurcations of nonlinear oscillation system under combined parametric and forcing excitation[J]. ACTA Mechanica Sinica, 1991, 23(4): 464-474.

[13] 康厚軍, 趙躍宇, 蔣麗忠. 參數(shù)振動和強迫振動激勵下超長拉索的面內(nèi)非線性振動[J]. 中南大學學報(自然科學版), 2011, 42(8): 2439-2445.

KANG Houjun, ZHAO Yueyu, JIANG Lizhong. In-plane nonlinear vibration of super long stay cables under parametric and forced excitations[J]. Journal of Central South University, 2011, 42(8): 2439-2445.

[14] 賈啟芬, 于雯, 邱家俊, 等. 機電非線性振動系統(tǒng)參、強聯(lián)合激勵的分岔[J]. 機械強度, 2003, 25(6): 624-627.

JIA Qifen, YU Wen, QIU Jiajun, et al. Bifurcation on nonlinear by the combined parametric and forced resonances in an electromechanical vibration system[J]. Journal of Mechanical Strength, 2003, 25(6): 624-627.

[15] 劉延柱, 陳立群. 非線性振動[M]．北京: 高等教育出版社, 2001.

Magnetoelasticresonanceofaconductivecircularplaterotatingwithvaryingvelocityundercombinedparametricandforcedexcitations

LI Zhe1,2, HU Yuda1,2

(1. School of Civil Engineering and Mechanics, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China； 2. Hebei Provincial Key Lab for Mechanical Reliability of Heavy Equipment and Large Structures, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China)

Magneto-elastic resonance of a conductive circular plate rotating with varying velocity under combined parametric and forced excitations was investigated. The conductive circular plate was subjected to parametric excitations due to the time-varying rotating speed and magnetic field forces. The magneto-elastic parametric vibration equations of the variable-velocity rotating conductive circular plate were established, its axisymmetric vibration differential equation under combined parametric and forced excitations was obtained through the application of Galerkin method. Then, the multi-scale method was applied to derive two conditions for resonance occurring, two corresponding amplitude-frequency response equations were deduced, respectively. The influences of plate’s coordination parameters, magnetic field parameters, rotating speed and excitations on the vibration performance of the circular plate were studied. Amplitude-parameter curves of two resonance conditions were compared, and the influences of parameters on the system’s stability were discussed. According to the global bifurcation diagram of the system, the influences of changes of bifurcation parameters on the system dynamic characteristics were discussed.

magneto-elastic; circular plate; resonance under combined parametric and forced excitations; rotary motion; multi-scale method; stability

國家自然科學基金(11472239)；河北省自然科學基金(A2015203023)；河北省高等學校科學技術研究重點項目(ZD20131055)；河北省研究生創(chuàng)新(2016SJBS023)

2016-04-27 修改稿收到日期：2016-09-09

李哲 男，博士生，1990年5月生

胡宇達 男，博士，教授，1968年11月生

O442; O322

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.012