微薄膜多場耦合非線性振動分析

付曉瑞， 黨亞輝， 許立忠

(燕山大學(xué) 機械工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

微薄膜多場耦合非線性振動分析

付曉瑞， 黨亞輝， 許立忠

(燕山大學(xué) 機械工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

將微諧振壓力傳感器諧振薄膜簡化為微薄膜多場耦合系統(tǒng)，給出考慮分子力作用時微薄膜多場耦合動力學(xué)方程，利用Linz Ted-Poincaré方法求得其非線性振動固有頻率與振型方程，研究了分子力對薄膜非線性固有頻率及自由振動的影響規(guī)律，利用微加工技術(shù)制作出諧振薄膜，利用靜電激勵-電容檢測方法對薄膜非線性固有頻率進行了測試。結(jié)果表明：當薄膜尺寸較小時，分子力對于微薄膜多場耦合非線性振動的固有頻率具有較大影響。研究結(jié)果對于壓力傳感器進一步微型化具有指導(dǎo)意義。

分子力；多場耦合；非線性振動；MEMS

微機電系統(tǒng)(MEMS)具有結(jié)構(gòu)緊湊、成本低、功耗小、響應(yīng)速度快以及精度高等優(yōu)點[1-2]。硅微諧振傳感器因其輸出頻率信號，不會發(fā)生失真，適合長距離傳輸，受到人們關(guān)注[3]。其中，對硅微諧振壓力傳感器中諧振器振動研究的關(guān)注尤為顯著[4]。微諧振壓力傳感器的諧振結(jié)構(gòu)多為微梁式和微薄膜式兩種，其中薄膜式微諧振壓力傳感器輸出的測試信號較強，對測試電路的要求較低，更符合傳感器集成化、微型化的發(fā)展方向[5-6]。

Alonso等[7]對NiCr薄膜微諧振式壓力傳感器諧振子的振動特性進行了研究。Fan等[8]對微諧振式壓力傳感器的非線性振動進行了研究，利用多尺度法求解出非線性項對傳感器固有頻率的影響規(guī)律。張建等[9]對MEMS中薄膜結(jié)構(gòu)在范德華力作用下的粘附問題進行了研究。張俊生等[10]求解出薄膜式微諧振壓力傳感器中薄膜的二維振動方程。喬磊等[11]對薄膜結(jié)構(gòu)動力全過程進行了分析。Liu等[12]對薄膜非線性自由振動以及在沖擊載荷下的受迫振動進行了理論分析。唐黎明等[13]研究了范德華力對微懸臂梁動力模型及分岔的影響，結(jié)果表明范德華力在微納尺度下的影響不可忽略。張艷敏等[14]利用微機械加工技術(shù)設(shè)計制造出矩形薄膜壓力傳感器芯片。

隨著系統(tǒng)尺寸、間隙進一步減小到微米、納米量級，微構(gòu)件間的分子力對諧振子非線性振動特性的影響變得越來越明顯。而諧振薄膜的振動特性直接影響到薄膜壓力傳感器的工作性能[15-16]。當諧振薄膜在微尺度效應(yīng)下，機械場、電場以及分子力等多場相互作用，對薄膜非線性振動均有影響，且電場力和分子力對振動頻率影響較大，而振動頻率對于諧振式壓力傳感器至關(guān)重要，若僅僅分析單一場，則存在一定的局限性，因此對于微納米級別的諧振薄膜進行多場耦合振動研究具有重要意義?；谏鲜鲈?，本文建立了微薄膜多場耦合振動模型，對薄膜系統(tǒng)非線性振動進行研究分析，得到諧振薄膜多場耦合非線性振動固有頻率和位移響應(yīng)表達式，對考慮范德華力時對非線性頻率及時域響應(yīng)影響進行了研究，通過實驗驗證了本文理論分析的正確性。

1 動力學(xué)方程

圖1所示為靜電激勵微薄膜物理模型，下層為固定的壓力感受膜，上層為可變形的運動薄膜。當對兩者施加靜電激勵時，兩者之間形成電場力，振動薄膜相對固定薄膜發(fā)生相對位移，形成振動，同時在薄膜上存在著范德華力。因此，該模型為靜電場力，范德華力和彈性恢復(fù)力作用下的微薄膜多場耦合系統(tǒng)。圖中u(x,y,t)表示任意時刻振動薄膜與固定極板之間的距離，w(x,y,t)表示薄膜沿z軸方向的振動位移。v為兩極板間的初始距離，則

u(x,y,t)=v-w(x,y,t)

圖1 微薄膜多場耦合結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Multi-field coupled structural model of micro film

微薄膜動態(tài)彎曲振動方程為[17]

(1)

式中，F(xiàn)為單位長度薄膜張力，假設(shè)保持常值。

Δq為單位面積薄膜沿z軸的分布力，包括電場力和范德華力，即

Δq=Δq0+Δqr

(2)

其中動態(tài)單位面積的范德華力為

式中，A為Hamaker常數(shù)，A=10-19J。

(3)

因薄膜位移變化引起單位面積動態(tài)電場力為

(4)

(5)

2 系統(tǒng)非線性自由振動

將式(5)代入振動方程中得

(6)

令Δw=φ(x,y)q(t)代入式(6)得到

(7)

其中

忽略作用力非線性對系統(tǒng)的模態(tài)函數(shù)產(chǎn)生的影響，則令式(7)左右等于-ω0，設(shè)ω0為諧振薄膜系統(tǒng)線性的固有頻率，即：

(8)

(9)

對于式(9)可以得到

(10)

取滿足四邊固定邊界條件的模態(tài)函數(shù)為

(11)

其中S為常數(shù)。

將式(11)代入式(10)可得

(12)

式中

式(12)對薄膜任意一點都成立，則

可以得到四邊固定薄膜在多場耦合時的固有頻率為

ω0=

(13)

可取滿足四邊固定邊界條件的模態(tài)函數(shù)為

(14)

對于式(8)，可以得到廣義時間坐標的動力學(xué)方程

(15)

本文利用林滋泰德-龐加萊法求解非線性系統(tǒng)的動力學(xué)方程，令

q(t)=q0(t)+εq1(t)+ε2q2(t)+…

(16)

同時，將線性系統(tǒng)的自由頻率也展成ε的冪級數(shù)

(17)

將式(16)和式(17)代入式(15)中，并令ε的同次冪系數(shù)相等，可以得到

(18a)

(18b)

(18c)

設(shè)系統(tǒng)的初始廣義位移k0，各方程的初始條件為

(19)

由式(18a)可以得到

q0(t)=k0cosφ

(20)

其中

φ=ωt

將式(20)代入一次近似方程，得到

(21)

為了避免久期項，令式(21)中cosφ的系數(shù)為零，可得

(22)

進而得到

(23)

同理可得

(24)

(25)

式中

將式(20)、式(23)以及式(25)代入式(16)中，可以得到

(26)

式中

將式(22)、式(24)代入式(17)中，可以得到非線性系統(tǒng)自由振動幅頻相應(yīng)關(guān)系為

(27)

3 實例計算與分析

3.1 頻率特性

本文采用的微薄膜參數(shù)如表1所示，初始激勵幅值k0=2×10-7m，將表1所示參數(shù)代入式(13)和式(27)中，表2為微薄膜多場耦合系統(tǒng)非線性振動固有頻率隨激勵電壓的變化規(guī)律(其中v=0.50 μm)，表3為微薄膜多場耦合系統(tǒng)非線性振動固有頻率隨薄膜初始間隙的變化規(guī)律(其中U0=0.2v)，其中ω1為不考慮分子力時非線性振動頻率，ω2為考慮分子力時非線性振動頻率，η為兩者的相對偏差?？梢缘弥?/p>

(1)考慮靜電場力和范德華力作用的薄膜各階固有頻率均小于只考慮靜電場力作用的固有頻率，這是因為范德華力對于薄膜振動相當于一個軟彈簧系統(tǒng)，因此范德華力能夠引起薄膜固有頻率的降低。

(2)隨著階數(shù)的增加，考慮范德華力的薄膜機電耦合非線性振動固有頻率與不考慮范德華力的薄膜機電耦合非線性振動固有頻率差異減小，如對于v=0.45 μm，mode(1,1)固有頻率相對偏差為7.95%，而對于mode(4,4)固有頻率相對偏差為0.27%。

表1 系統(tǒng)計算參數(shù)Tab.1 System Parameters

表2 非線性頻率隨激勵電壓的變化規(guī)律Tab.2 Changes of nonlinear frequencies with voltages

表3 非線性頻率隨初始間隙的變化規(guī)律Tab.3 Changes of nonlinear frequencies with initial clearance

(3)當工作電壓增加時，考慮范德華力與不考慮范德華力薄膜固有頻率相對偏差增大，如對于U0=0.2v，mode(1,1)固有頻率相對偏差為2.75%，對于U0=0.35v，mode(1,1)固有頻率相對偏差為11.35%。這是因為工作電壓減小時，諧振薄膜與固定基板之間的電場強度降低，導(dǎo)致薄膜彈性變形減小，從而間隙增大，分子力影響程度降低。

(4)當諧振薄膜與固定基板之間的初始間隙增大時，考慮范德華力與不考慮范德華力時薄膜固有頻率相對偏差減小，如對于v=0.45 μm，mode(1,1)固有頻率相對偏差為7.95%，v=0.55 μm，mode(1,1)固有頻率相對偏差為1.30%。

3.2 時域分析

為了研究范德華力對薄膜非線性振動時域動態(tài)響應(yīng)的影響，將薄膜中心處考慮范德華力時的動態(tài)響應(yīng)與不考慮范德華力時的動態(tài)響應(yīng)進行求差。圖2為動態(tài)響應(yīng)差隨薄膜參數(shù)變化規(guī)律?？梢缘弥?/p>

(1)隨著響應(yīng)時間的增加，響應(yīng)差先增大后減小，表明范德華力對時域動態(tài)響應(yīng)的影響隨時間變化成周期性變化。

(2)當初始間隙變化時響應(yīng)差變化劇烈，且間隙越小響應(yīng)差的幅值越大，因此對于初始間隙較小時，范德華力的影響較大，不可忽略。

(a) 初始間隙v

(b) 薄膜長度a圖2 響應(yīng)差隨參數(shù)變化Fig.2 Difference of the vibrating amplitudes as function of Parameters

(3)隨著薄膜長度增大，響應(yīng)差的幅值增大，但當薄膜長度變化時響應(yīng)差的幅值變化不大，因此，響應(yīng)差對于薄膜長度的變化不敏感。

3.3 實驗分析

本實驗采用靜電激勵-電容檢測的方法進行振動頻率的測量，當靜電驅(qū)動的頻率接近薄膜非線性固有頻率時，薄膜發(fā)生共振，此時位移響應(yīng)出現(xiàn)極值，從而輸出的電壓信號也最大，通過觀察輸出的幅頻圖中極值點所對應(yīng)的頻率來確定微薄膜的固有頻率。實驗中使用的諧振薄膜由光刻、腐蝕等工藝制作而成，如圖3所示。表4為被測薄膜物理參數(shù)，其中薄膜初始間隙為v=0.5 μm和v=1.0 μm兩種。圖4為實驗現(xiàn)場圖，主要包括：激勵輸出部分、傳感器振動部分以及振動信號采集部分。其中振動信號采集系統(tǒng)利用自行設(shè)計的開環(huán)檢測系統(tǒng)，如圖5所示。

圖3 諧振薄膜Fig.3 Resonant film表4 被測薄膜參數(shù)Tab.4 Parameters of measured micro-film

長度a/mm寬度b/mm厚度h/μm激勵電壓U0/v薄膜密度ρ/(kg·m-3)1.120.5160.152330

圖4 實驗現(xiàn)場圖Fig.4 Experimental site map

輸出信號中包括一倍頻和三倍頻兩種頻率成分，且三倍頻與激勵電壓、激勵頻率成正比，與諧振薄膜的位移同相位，因此本實驗檢測的是薄膜振動的三倍頻。圖6為v=0.5 μm和v=1.0 μm時測試結(jié)果中微薄膜幅頻圖，由圖可以得知對于v=0.5 μm，當輸入激勵頻率為8.03 kHz時，其三倍頻的輸出幅值最大，因此可以得到薄膜非線性固有頻率為8.03 kHz。同理，對于v=1.0 μm，薄膜非線性固有頻率為8.80 kHz。表5和表6分別為v=0.5 μm和v=1.0 μm時實驗結(jié)果與理論結(jié)果的對比。由表5和表6可知，對于小間隙薄膜：考慮范德華力時理論值為8 133.11Hz，實驗值為8 030 Hz，相對偏差為1.28%；不考慮范德華力時理論值為8 349.32 Hz，與實驗值的相對偏差為3.98%。對于大間隙薄膜：考慮范德華力理論值為9 072.88 Hz，實驗值為8 800 Hz，相對偏差為3.10%；不考慮范德華力時理論值為9 076.76 Hz，與實驗值相對偏差為3.14%。從而驗證了當初始間隙較小時，范德華力對薄膜式微諧振壓力傳感器的影響不可忽略。

圖5 開環(huán)檢測系統(tǒng)Fig.5 Open loop detection system

(a) v=0.5 μm

(b) v=1.0 μm圖6 微薄膜幅頻圖Fig.6 Amplitude frequency diagram of micro-film表5 實驗結(jié)果與理論值比較(v=0.5 μm)Tab.5 Comparison of experimental results andtheoretical values(v=0.5 μm)

理論值f0/Hz實驗值f1/Hz相對偏差δ/%考慮范德華力8133.118030.001.28不考慮范德華力8349.328030.003.98

表6 實驗結(jié)果與理論值比較(v=1.0 μm)Tab.6 Comparison of experimental results andtheoretical values(v=1.0 μm)

4 結(jié) 論

本文建立了考慮范德華力時微薄膜多場耦合非線性振動方程，利用Linz Ted-Poincaré方法求出薄膜非線性固有頻率以及位移響應(yīng)函數(shù)。對頻率特性以及位移響應(yīng)進行了分析，利用靜電激勵-電容檢測的方法對薄膜非線性振動固有頻率進行測試。結(jié)果表明：當激勵電壓較大，薄膜初始間隙較小時，范德華力對薄膜非線性振動固有頻率影響較大；薄膜振動固有頻率實驗值與理論值非常接近，驗證了固有頻率理論分析的正確性。研究結(jié)果對于傳感器進一步微型化具有一定意義。

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Multi-fieldcouplednonlinearvibrationanalysisofmicro-films

FU Xiaorui， DANG Yahui， XU Lizhong

(School of Mechanical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China)

Here, dynamic equations of a multi-field coupled micro-film were deduced considering the action of molecular forces. Utilizing Linz Ted-Poincaré method, the micro-film’s nonlinear natural frequencies and corresponding vibrational shape equation were derived. The effects of molecular forces on the micro-film’s nonlinear natural frequencies and free vibration were analyzed. A resonant film was designed and manufactured using the micro-processing technique. The method of electrostatic excitation-capacitance detection was used to measure the micro film’s nonlinear natural frequencies. The results showed that the smaller the size of the micro-film, the larger the effects of molecular forces on the micro-film’s nonlinear natural frequencies. The study results had a guiding significance for the further miniaturization of pressure sensors.

molecular force; multi-field coupled; nonlinear vibration; MEMS

河北省重點基礎(chǔ)研究項目(13961701D)；河北省博士研究生創(chuàng)新資助項目(CXZZBS2017043)

2016-06-22 修改稿收到日期：2016-09-16

付曉瑞 男，博士生，1989年7月生

許立忠 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1962年1月生

TH113.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.009