柔性相似子結(jié)構(gòu)的參數(shù)失調(diào)與振動控制研究

羅亞軍， 徐明龍， 張 帥， 張希農(nóng)

(西安交通大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049)

柔性相似子結(jié)構(gòu)的參數(shù)失調(diào)與振動控制研究

羅亞軍， 徐明龍， 張 帥， 張希農(nóng)

(西安交通大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049)

典型柔性相似結(jié)構(gòu)的耦合動力學(xué)建模與參數(shù)失調(diào)下系統(tǒng)的振動控制問題對航天結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有重要意義。基于拉格朗日法和最小二乘法，完成了系統(tǒng)的耦合動力學(xué)建模和響應(yīng)解耦處理，并進(jìn)一步建立了柔性相似結(jié)構(gòu)參數(shù)失調(diào)情況下的振動主動控制模型。最后完成了相關(guān)仿真分析，研究了結(jié)構(gòu)參數(shù)失調(diào)情況下的系統(tǒng)模態(tài)局部化問題，振動控制仿真結(jié)果表明本文提出的基于響應(yīng)解耦實(shí)現(xiàn)參數(shù)失調(diào)情況下系統(tǒng)的振動控制具有顯著效果。

柔性相似結(jié)構(gòu)；參數(shù)失調(diào)；模態(tài)局部化；振動控制

航天器通常由桁架、梁、板、殼等結(jié)構(gòu)簡單組成在一起，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，航空航天工程中出現(xiàn)了許多前所未有的大型柔性對稱附件結(jié)構(gòu)，如大展翼太陽能帆板[1]、大口徑衛(wèi)星天線[2]、大型桁架等撓性子結(jié)構(gòu)、具有較大幾何尺寸的宇航空間站構(gòu)件等。這些附件通常都是理想化的完全對稱周期結(jié)構(gòu)，但是實(shí)際生產(chǎn)制造過程中由于材料缺陷、制造誤差、使用過程中的磨損等因素，造成了周期性結(jié)構(gòu)的子結(jié)構(gòu)并不完全對稱的現(xiàn)象，理論及實(shí)驗(yàn)研究均表明，這種并不完全對稱造成的參數(shù)失調(diào)對大型天線等弱耦合周期結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性產(chǎn)生比較大的影響，可能使結(jié)構(gòu)出現(xiàn)模態(tài)局部化現(xiàn)象[3-5]。楊智春等[6-7]開展了大型飛機(jī)尾翼中T尾結(jié)構(gòu)的模態(tài)局部化判據(jù)研究，以及模態(tài)局部化對飛機(jī)T尾結(jié)構(gòu)顫振特性的影響。蘇繼龍等[8]也對飛機(jī)機(jī)翼這類弱耦鏡像對稱工程結(jié)構(gòu)的模態(tài)局部化度的結(jié)構(gòu)參數(shù)表征進(jìn)行了判據(jù)研究。通常，模態(tài)局部化會導(dǎo)致能量的不均勻分布，如果能量高度集中在系統(tǒng)的局部位置可能會導(dǎo)致整體結(jié)構(gòu)的破壞[9]。李鳳明等[10]還對典型周期結(jié)構(gòu)因失諧引起的結(jié)構(gòu)模態(tài)局部化問題研究進(jìn)行了綜述，并提出了振動局部化理論如何在振動控制中應(yīng)用等展望分析。

航天工程的柔性相似結(jié)構(gòu)中，在參數(shù)失調(diào)情況下耦合動力學(xué)系統(tǒng)出現(xiàn)危害性的振動能量轉(zhuǎn)換，從而引起振動危害，這需要通過解耦和控制來解決該問題。當(dāng)前在多自由度振動理論分析中，耦合動力學(xué)方程中常表現(xiàn)為動力學(xué)矩陣的非對角線元素出現(xiàn)非零值，這類方程不方便直接求解，而常常需要通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換使得非對角線元素化為零值，實(shí)現(xiàn)模型的解耦才能方便求解[11]。在耦合動力學(xué)系統(tǒng)的解耦和控制方面同樣可以借鑒該思路。劉相秋等[12]還提出一種預(yù)測控制方法，針對失諧前后的星載天線結(jié)構(gòu)進(jìn)行了振動控制仿真研究，控制效果較好，且相比LQR控制方法無需加激振。

柔性相似結(jié)構(gòu)模型中如果出現(xiàn)參數(shù)失調(diào)，耦合系統(tǒng)的主體姿態(tài)運(yùn)動將因模態(tài)局部化問題出現(xiàn)多階模態(tài)頻率耦合的現(xiàn)象。對于該問題，一方面應(yīng)該對具有模態(tài)耦合的姿態(tài)運(yùn)動振動信號進(jìn)行解耦分析，另一方面應(yīng)該完成對不需要的模態(tài)響應(yīng)進(jìn)行控制。本文將基于最小二乘法實(shí)現(xiàn)姿態(tài)響應(yīng)信號的解耦，并基于解耦信號進(jìn)行姿態(tài)運(yùn)動的振動控制。

1 典型柔性相似結(jié)構(gòu)的建模

1.1 模型介紹

如圖1是一個(gè)典型的柔性相似結(jié)構(gòu)模型，其由一個(gè)航天器中心剛體加柔性附件構(gòu)成，附件被模型化成固接于中心剛體的懸臂梁，坐標(biāo)系X0Y選取在固連于中心剛體的質(zhì)心位置，附件分別位于正負(fù)X軸。附件長度均為L，附件彎曲剛度分別是EI1，EI2，質(zhì)量線密度分別是m1、m2，附件在坐標(biāo)系內(nèi)沿著Y方向有橫向位移，分別為w1(x,t)，w2(x,t)，中心剛體的轉(zhuǎn)動慣量為I0，姿態(tài)角為θ。

1.2 耦合動力學(xué)建模與理論求解

通常，航天器中心剛體存在姿態(tài)轉(zhuǎn)動，而兩個(gè)相似柔性附件將同時(shí)因中心剛體的姿態(tài)轉(zhuǎn)動而存在剛體運(yùn)動，其次本身還存在彈性彎曲振動。因此系統(tǒng)是一個(gè)典型的剛-柔耦合動力學(xué)系統(tǒng)，一般可利用拉格朗日法建立其動力學(xué)方程。

圖1 典型的柔性相似結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Typical flexible similar structure

首先分析系統(tǒng)的動能T，它由中心剛體、附件1和附件2三個(gè)部分的動能組成，即：

(1)

兩個(gè)附件各自的動能分別是由中心剛體姿態(tài)運(yùn)動引起的剛體動能和本身的振動引起的動能之和，這也是當(dāng)前系統(tǒng)剛?cè)狁詈咸匦缘闹饕嬖诟础Ｏ到y(tǒng)勢能也由三個(gè)部分組成，即：

(2)

由于柔性附件的質(zhì)量輕，與中心剛體相比可以忽略不計(jì)，所以不考慮其耗散能。而中心剛體本身常被施加阻尼性質(zhì)的控制項(xiàng)，因此系統(tǒng)的耗散能來源于中心剛體，即：

(3)

將附件的彈性位移展開為廣義坐標(biāo)的形式為：w1(x,t)=φ1q1,w2(x,t)=φ2q2，且每個(gè)附件僅考慮其一階局部模態(tài)的影響，q1和q2分別為兩附件的廣義坐標(biāo)，φ1和φ2為懸臂梁的一階振型，進(jìn)一步便可以寫出廣義坐標(biāo)下的T，V，D。由拉格朗日方程，可得

(4)

式中，qj表示θ、q1和q2三個(gè)自由度，能量表達(dá)式對三個(gè)自由度分別求導(dǎo)并整理可得系統(tǒng)的動力學(xué)方程：

(5)

式中，

(6)

C=diag(cθ,0,0)

(7)

(8)

由模態(tài)分析可以得到系統(tǒng)的主振型Φ，進(jìn)行坐標(biāo)變換，有模態(tài)坐標(biāo)表達(dá)的方程為

(9)

式中，Mp=ΦTMΦ，Cp=ΦTCΦ，Kp=ΦTKΦ。設(shè)系統(tǒng)的初始條件為q0，則主坐標(biāo)下的初始條件為

(10)

(11)

式中，

ξi=Cpi/(2ωiMpi)

(12)

系統(tǒng)在主坐標(biāo)下的響應(yīng)為

ηi(t)=e-ξiωit[ηi(0)cosωdit+

(13)

式中，ωdi是第i階阻尼固有頻率：

(14)

若初始條件中廣義速度為零，則

(15)

所以，阻尼耦合系統(tǒng)的物理坐標(biāo)下的響應(yīng)為

q=Φ{η1η2η3}T

(16)

1.3 參數(shù)失調(diào)模型的響應(yīng)信號解耦與振動控制

耦合系統(tǒng)主坐標(biāo)的理論解為

(17)

如果令

(18)

則姿態(tài)轉(zhuǎn)角響應(yīng)θ的擬合信號可以表示為

(19)

式中:ξi，ωi可由θ(t)的幅頻響應(yīng)分析求出，而系數(shù)b11、b12和b13按理論描述均為系統(tǒng)的特征參數(shù)，可以通過最小二乘法擬合獲得，從而實(shí)現(xiàn)姿態(tài)信號的解耦。通過對姿態(tài)信號的解耦，可以分離出來非姿態(tài)模態(tài)信號，即第2、3階頻率信息。則可以設(shè)計(jì)振動控制算法，設(shè)法抑制該兩階頻率信息。

設(shè)u0(t)為分離出來的僅含一階模態(tài)信息的分離信號，即

u0(t)=b11f(ξ1,ωd1)=b11e-ξiωit[cosωdit+

(20)

則有轉(zhuǎn)角信號中的干擾信號為

u(t)=θ(t)-u0(t)

(21)

如果以干擾信號作為反饋源信號，并采樣比例速度負(fù)反饋控制律設(shè)計(jì)方法，則有控制系統(tǒng)方程為

(22)

2 數(shù)值仿真

2.1 模態(tài)數(shù)值分析

設(shè)仿真模型的參數(shù)如下：m1=m2=0.03 kg/m，I0=1 000 kg·m2，L=10 m，kθ=500 N·m/rad，cθ=50 N·s/rad，EI1=EI2=15 N/m。表1給出了柔性附件2中彎曲剛度EI2出現(xiàn)剛度失調(diào)時(shí)的系統(tǒng)固有頻率結(jié)果。

圖2給出耦合系統(tǒng)的模態(tài)振型圖。可發(fā)現(xiàn)耦合系統(tǒng)前三階模態(tài)振型依次分別為姿態(tài)振型、同向模態(tài)振型和反向模態(tài)振型。

2.2 系統(tǒng)參數(shù)失調(diào)數(shù)值仿真分析

下面開展系統(tǒng)振動響應(yīng)分析，仿真時(shí)系統(tǒng)具有非零初始位移條件。圖3為耦合系統(tǒng)無失調(diào)時(shí)的仿真分析結(jié)果，圖中分別給出轉(zhuǎn)角和兩個(gè)柔性附件的廣義位移響應(yīng)，以及系統(tǒng)總體動能變化的時(shí)域曲線。從圖中可以看到耦合系統(tǒng)的姿態(tài)響應(yīng)在阻尼效果下在200 s內(nèi)衰減趨于0，之后為兩個(gè)柔性附件的穩(wěn)態(tài)振動，系統(tǒng)的總能量趨于穩(wěn)定，且系統(tǒng)的總能量主要為兩個(gè)柔性附件的振動能量。

表1 柔性附件2中彎曲剛度參數(shù)失調(diào)時(shí)耦合系統(tǒng)的固有頻率Tab.1 Natural frequency of coupling system withdetuned parameter (EI2)

圖2 柔性相似結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型圖Fig.2 Modal shapes of flexible similar structure

圖3 無參數(shù)失調(diào)時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線Fig.3 Response curves without parameter detuning

圖4進(jìn)一步給出了耦合系統(tǒng)三個(gè)廣義位移的幅頻曲線，從該圖可以發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)角響應(yīng)中僅含一階頻率信息，且阻尼效果顯著，姿態(tài)響應(yīng)幅值譜峰值位置因阻尼的存在而非常平緩。而兩個(gè)柔性附件的振動響應(yīng)幅值譜曲線相同，幅值譜曲線均在0.125 1 Hz達(dá)到1.456 m的峰值。

圖4 無參數(shù)失調(diào)時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)幅值譜曲線Fig.4 Response spectrum curves without parameter detuning

圖5給出了柔性附件2的彎曲剛度EI2出現(xiàn)2%失調(diào)時(shí)的仿真結(jié)果，圖6給出了相應(yīng)的幅值譜仿真結(jié)果。圖5顯示參數(shù)失調(diào)后姿態(tài)運(yùn)動經(jīng)歷初始的大幅衰減后呈現(xiàn)小幅的持續(xù)振蕩。兩個(gè)柔性附件的廣義位移也不再一致，而出現(xiàn)了顯著差異，即發(fā)生模態(tài)局部化現(xiàn)象。系統(tǒng)的總能量曲線也不再趨于穩(wěn)定，而是持續(xù)的減少。

圖5 參數(shù)失調(diào)時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線Fig.5 Response curves with parameter detuning

在圖6所示的幅值譜曲線中，姿態(tài)運(yùn)動在0.125 7 Hz位置出現(xiàn)了一個(gè)大小為0.761 4×10-3rad的峰值，而兩個(gè)柔性附件在該頻率位置處的峰值大小分別為0.486 5 m和0.390 2 m。

2.3 解耦與控制仿真分析

下面圖7給出了2%的彎曲剛度失調(diào)率時(shí)，姿態(tài)運(yùn)動和兩個(gè)柔性附件廣義位移的振動信號解耦誤差結(jié)果，注意仿真中實(shí)際信號考慮為基于理論響應(yīng)分析獲得的理論解。很顯然，基于最小二乘法的振動信號解耦方法非常有效。

圖8給出了柔性附件2的彎曲剛度2%失調(diào)時(shí)，姿態(tài)運(yùn)動響應(yīng)的解耦控制效果與控制力矩信號。控制仿真中取反饋控制增益系數(shù)為-5 500，很顯然加上控制力矩后，姿態(tài)運(yùn)動的穩(wěn)定性獲得了顯著增強(qiáng)，穩(wěn)定階段轉(zhuǎn)角響應(yīng)由控制前的2.541×10-3rad下降到0.505×10-3rad，控制效果達(dá)80.1%。圖9給出了柔性附件2的彎曲剛度2%失調(diào)時(shí)解耦控制幅值譜效果，也可以發(fā)現(xiàn)控制系統(tǒng)中姿態(tài)響應(yīng)中的第2、3階頻率信息(干擾信號)被有效地抑制了，轉(zhuǎn)角幅值譜曲線在0.125 7 Hz處的峰值控制效果達(dá)95.0%。很顯然，當(dāng)前提出的基于振動信號解耦方法的姿態(tài)干擾信號抑制方法非常有效，且僅對調(diào)姿激勵(lì)進(jìn)行設(shè)計(jì)，無外加激勵(lì)影響。

圖6 參數(shù)失調(diào)時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)幅值譜曲線Fig.6 Response spectrum curves with parameter detuning

圖7 柔性附件2的彎曲剛度2%失調(diào)時(shí)響應(yīng)信號解耦誤差

Fig.7 Decouple errors of response when bending stiffness of flexible appendage (2) is with 2% detuning

圖8 參數(shù)失調(diào)時(shí)解耦控制效果與控制力矩信號

Fig.8 Control effect and control moment of decouple system with parameter detuning

圖9 參數(shù)失調(diào)時(shí)解耦控制幅值譜效果

Fig.9 Amplitude spectrums of non-control and control decouple system with parameter detuning

3 結(jié) 論

本文建立了典型柔性相似結(jié)構(gòu)的動力學(xué)耦合模型，并開展了結(jié)構(gòu)參數(shù)失調(diào)情況下的系統(tǒng)局部模態(tài)化研究。并進(jìn)一步通過對系統(tǒng)的振動響應(yīng)理論解形式的分析和基于最小二乘法，給出了耦合系統(tǒng)中振動響應(yīng)信號的解耦方法，仿真發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)高精度的信號解耦分析。同時(shí)，基于比例速度負(fù)反饋控制律設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了參數(shù)失調(diào)時(shí)姿態(tài)運(yùn)動響應(yīng)的振動控制。

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Vibrationcontrolofflexiblesimilarstructureswithdetunedparameters

LUO Yajun, XU Minglong, ZHANG Shuai, ZHANG Xinong

(State Key Lab for Strength and Vibration of Mechanical Structures, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049)

Coupled dynamic modeling and vibration control of flexible similar structures with detuned parameters are important for designing aerospace structures. The coupled dynamic model of a system was established with Lagrange method and its responses were decoupled based on the least square method. Furthermore, the active vibration control model was built and simulated to study the suppression of unstable responses of flexible similar structures with detuned parameters. Finally, the system modal localization caused by detuned parameters was simulated and analyzed. According to vibration control simulation results, it was indicated that the proposed active vibration control method for flexible similar structures with detuned parameters based on their decoupled responses is effective.

flexible similar structure; detuned parameters; modal localization; vibration control

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11572240)

2016-07-12 修改稿收到日期：2016-09-19

羅亞軍 男，博士，講師，1980年3月生

0327；V414.9

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.003