淺談數學模型幾種表示方式

符治貴

【摘 要】數學模型是運用數理邏輯方法和數學語言建構的科學或工程模型，數學模型的歷史可以追溯到人類開始使用數字的時代，隨著人類使用數字就不斷地建立各種數學模型以解決各種各樣的實際問題。建立數學模型是溝通擺在面前的實際問題與數學工具之間聯系的一座必不可少的橋梁。

【關鍵詞】數學模型

在人類的發展史上，人由自然人逐步轉化成社會人，經歷了用實物、用動作、用圖畫、用語言、用文字、用數學符號表述相應數量、數量關系及空間形式的過程。在這一過程中模型一直起著中介的、本質的作用，具體從以下幾方面分析：

一、用實物表示數學模型

從最簡單的數談起如1、2、3、4、5、6…自然數，在大自然中人們首先要找到物體所具有的數的特征，摒去其它非數的特征如物體的大小、顏色、氣味、生或死、動或靜，直擊其數的本質，先可以找到中介如用一根木棒表示，于是人們就建立了一個關于1的數的模型，像這樣具有這種數特性的都用一根木棒表示，然后人們將關于1的模型進行推廣，在一定范圍內讓1的模型得以應用。于是人們可以用一根木棒表示一個獵物、一個果實…在一定程度上這個模型起到了促進溝通、交流、記錄的作用。

數的模型的由來也就是人的數學認知發展的最初階段。于是在幼兒園、學前班或一年級關于10以內數的教學，我們借助了小棒這一數的中介、這一模型，并將此模型拓展到手指、到圖畫、到具體事物。我們在平時的啟蒙教育階段，借助實物中介表示模型是我們需關注的一個重要方面。

二、用圖畫表示數學模型

如果說用小棒或動作只能有效地表示數，那么當人類發展到一定的階段，就會出現表達的障礙，用小棒或動作已不能有效地表示數量關系如加、減、乘、除的關系，這時人們就嘗試用圖畫表示數量關系。如把兩個物體或數要加在一起，就把它們圈在一起，表示要把它們合起來。如減法要表示減去一個物體或數量，就把它們朝向一邊或劃去。用圖畫表示模型，由于圖畫的生動性、形象性，它更接近實際情境，更易為人們接受，所以在很長一段時間內人們都用圖畫記錄人們的生產生活。

在平常的教學中，我們經常借助圖畫表示數量關系如加、減、乘、除等等，在一、二年級的教材中用圖畫來表示相關運算的模型比比皆是。在應用題的教學中，我們經常用線段圖來表示應用題中相應的數量關系模型。這一模型具有直觀性、可視性、簡潔性，在生活中，我們經常用統計圖、統計表來表示相應生活中數學模型。

三、用語言表示數學模型

語言是人類發展到一定的階段，當人們用動作、用圖畫已不能有效地表達相應的事或物，就產生了語言表達的需要，當人類約定俗成用某一聲音表示某一物、某一事，并進行推廣，在一定范圍內就產生了特定的語言。人們發現用語言表達數與數量關系顯得更簡潔、更易溝通、更易傳播。如我們用合起來這一語言就表達了這用一系列動作或一幅圖畫才能表達的數量關系模型。于是人們就創造了合起來、去掉等語言模型來表達相應數量關系模型。

在平常教學中，語言是信息傳遞的主要方式，我們先用人們約定俗成的語言模型給數與數量下了定義，然后讓學生學會用這一語言模型描述數與數量關系，在教學中稱之為語言表征。我們知道要讓學生形成有效的數學模型，應讓學生說，讓學生多說，正確應用語言來表述數量關系，在表述過程中讓學生真正理解其意義。

四、用文字表示數學模型

當人類覺得有些事情需記錄下來，但圖畫已不能有效表達時，就產生了文字。人們用某一文字表示某一特定事或物，形成模型，并將此模型進行應用。于是在一定區域或某一民族就產生了其特定的記錄方式，產生了不同的文字，而有的區域或民族并沒有發展到這一階段，于是一些事情、事件只有口口相傳，并沒有文字記載。當人們用文字表示加、減、乘、除、乘方、函數等數學模型時，顯得清楚易懂、易分辯。文字產生在語言之后，我們在學齡前，可借助身邊的語言環境學習語言，接觸一些簡單的數或數量關系。以前農村許多不識字的人在生產與生活中可以進行一些具體情境下簡單的數量關系的計算，但對于較復雜的數量關系，如乘方、函數等，在不借助文字這一模型的情況下是無法理解與應用的。于是在入學后，我們要一步步學習文字，借助文字這一特定模型逐步學習與理解現實世界中存在的數、數量關系與空間形式。在平時的教學中，我們強調學生對文字的理解能力，只有學生對文字這一人為特定模型有了深入的理解，才能借助這一模型解決相應問題。

五、用數學符號表示數學模型

當人類能用文字記錄數量關系時，當需記錄一些較復雜的數量關系，產生了簡化的需求，于是產生了用數學符號來表示數學模型。如合起來用加（十）來表示，去掉用減（一）來表示，求幾個相同加數和的簡便運算，人們就創造了乘法這一模型，用乘（X）來表示這一運算過程，化繁為簡，真正體現了數學的抽象美、簡潔美。

教學中，加、減、乘、除這些數學模型我們要注意讓學生真正理解以便于應用，理解這些數學模型，并能用這些模型解決實際問題是我們在教學中要解決的問題。用實物、動作、圖畫、語言、文字、數學符號表示數學模型讓學生能更有效地理解數學模型，我們在平時教學中要注意讓學生從多維度理解數學模型、應用數學模型。

參考文獻：

[1]鮑建生 周超 編者 顧泠沅. 數學學習的心理基礎與過程（數學教育研究叢書） 2009（10）

[2]皮亞杰 英海爾德著 吳福元譯. 兒童心理學[瑞士]J 1981

[3]徐速.小學數學學習心理研究 2006（06）