抵御執行器故障的H∞可靠跟蹤控制

姚 波, 劉志慧

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

運籌學與控制論學

抵御執行器故障的H∞可靠跟蹤控制

姚 波, 劉志慧

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

針對線性定常系統,考慮連續增益故障模型,研究了具有執行器故障的H∞可靠跟蹤控制問題。首先,設計一個跟蹤控制器使得閉環系統保持漸近穩定,同時具有相應的H∞性能指標。當執行器發生故障時,該系統在原狀態反饋控制器作用下無法保持穩定。設計狀態反饋可靠跟蹤控制器,運用求解線性矩陣不等式(LMI)的方法,完成可靠跟蹤控制器的設計。由此可靠跟蹤控制器構成的閉環系統可使系統在發生執行器故障后仍保持漸近穩定,且滿足相應的H∞性能指標。最后,數值仿真驗證了該可靠跟蹤控制器的有效性和可行性。

狀態反饋; 執行器故障;H∞可靠跟蹤控制; 線性矩陣不等式(LMI)

0 引 言

可靠控制的基本思想是將閉環系統可能發生的故障,考慮在系統控制器的設計過程中,無論系統是否發生故障都使系統保持穩定,并且具有相應的性能指標。對閉環系統實施可靠設計后,閉環系統對部件故障具有一定的抵御能力。可靠控制設計主要考慮閉環系統的執行器故障和傳感器故障,故障類型又分為離散故障和連續故障2大類,本文主要考慮的是執行器連續故障。20世紀80年代初,Siljak首次給出了可靠控制的定義[1],之后很多學者對此進行了更深一步的研究[2-4]。文獻[2]考慮執行器故障的基礎上,解決了保成本可靠控制問題。文獻[3]通過引入狀態變量設計了時變線性系統的狀態反饋控制器。文獻[4]利用凸組合方法設計可靠控制器,得出在執行器發生故障時,系統漸近穩定的充分條件。從理論的完整性以及工程應用的成功事例來看,H∞方法是研究魯棒控制中最重要的。許多學者在對線性系統的H∞控制研究方面取得了諸多成就[5-9]。文獻[5]中提出來連續時間系統的H∞性能指標及其計算方法。文獻[6]中給出具有抵御任意故障的H∞動態輸出反饋控制器的設計。文獻[7]基于模糊系統,通過李雅普諾夫穩定理論,對閉環系統的H∞控制進行了研究。跟蹤控制問題是設計控制器使系統的輸出盡可能地接近外部參考輸入。線性閉環系統的跟蹤控制日益完善而可靠跟蹤控制的研究卻很有限[8-11], 所使用的故障模型均是離散的,此故障模型并不可以刻畫實際發生的故障,而本文考慮的模型是連續故障模型,文獻[12] 針對具有不確定性的線性定常系統給出了可靠跟蹤控制存在的充分條件。以上的文章中,有的涉及可靠跟蹤控制,有的涉及H∞控制,也已經達到了相對完善的程度。但是都未涉及到具有執行器故障的滿足H∞性能指標的可靠跟蹤控制。

本文在考慮執行器連續故障模型的基礎上,給出閉環系統H∞可靠跟蹤控器存在的充分條件,利用求解LMI完成對H∞可靠跟蹤控制器的設計。這種故障模型考慮離散故障模型的同時也考慮了信號偏離準確值的故障摸型。由此可靠跟蹤控制器構成的線性系統,使得閉環系統的執行器是否發生故障,都可使閉環系統保持漸近穩定并且滿足H∞性能指標。最后數值仿真驗證了可靠跟蹤控制器的有效性和可行性。

1 問題描述

考慮線性定常系統

其中:x(t)∈RN是狀態標量;u(t)∈Rm是控制變量;y(t)∈Rp是輸出變量;A,B是適維矩陣;C是適維行滿秩矩陣;η為有界輸入干擾。

由系統(1)構成的增廣系統

其中yr(t)為跟蹤參考信號。

控制器形式為

由系統(1)的增廣系統(2)可以重寫閉環系統為

執行器連續故障矩陣模型為

故障處理(凸組合法):

定義對于系統(1),存在控制器式(3)使系統(1)輸出y(t)漸進跟蹤參考信號yr(t),即有lim(y(t)-yr(t))=0成立。則稱控制器為漸進跟蹤控制器。

引理1[13]對于閉環系統(4)如果存在控制增益矩陣K,使閉環系統內部漸進穩定,則使系統(1)的輸出y(t)漸進跟蹤參考信號yr(t)。

引理2[14]對于系統(1),設α>0是一個給定的常數,則以下條件是等價的。

1) 系統(1)漸進穩定,Γee<α;

2 主要結論

首先給出了正常線性系統帶有H∞的狀態反饋跟蹤控制器設計。

定理1 對于系統(1),存在α>0及正定對稱矩陣X和矩陣W,使得下列線性矩陣不等式(LMI)

成立。則存在狀態反饋控制器K=WX-1,使系統(1)的閉環系統(4)漸進穩定,且輸出y(t)漸進跟蹤參考信號yr(t)。

考慮H∞性能指標的一個充分條件是存在對稱矩陣X,使得

不等式兩邊同時乘以diag(X,I,I)得

通過引入W上式變為

其中K=WX-1;X=P-1。

顯然式(6)成立則系統(4)內部漸進穩定。利用Schur補可知,根據引理1則系統內部漸進穩定,且輸出y(t)漸進跟蹤參考信號yr(t)。

定理2 對于系統(1),存在α>0以及正定對稱矩陣X和矩陣W,使得下列線性矩陣不等式(LMIs)

成立。則存在狀態反饋控制器K=WX-1,使系統(1)的閉環系統(4)漸進穩定,且輸出y(t)漸進跟蹤參考信號yr(t)。

證明 對于線性系統(1)和控制器(3)構成的閉環系統(4)漸進穩定且滿足H∞性能指標的一個充分條件是存在對稱正定矩陣X,使得

不等式兩邊同時乘以diag(X,I,I)

通過引入W上式變為

其中:K=WX-1;X=P-1。

其中:K=WX-1;X=P-1,定理得證。

3 數值仿真

本文研究的是,首先考慮正常的線性系統在無故障的情況下,通過設計H∞狀態反饋可靠跟蹤控制器使閉環系統保持穩定;再考慮正常的線性系統發生執行器故障,系統出現不穩定的情況,通過重新設計控制器,使系統達到穩定。

考慮如下系統

設計狀態反饋控制器為

其中α=55.994 3使閉環系統(4)的保持穩定,如圖1、圖2所示。圖1表示的是正常的閉環系統在無故障的情況下,通過設計H∞狀態反饋跟蹤控制器使系統保持穩定;圖2表示的是正常的線性系統在無故障的情況下,系統輸出與跟蹤參考信號之間的跟蹤誤差。

圖1 設計狀態反饋跟蹤控制器使系統保持漸近穩定

圖2 無故障時系統的跟蹤誤差Fig.2 Fault error of the system when there is no trouble

考慮發生執行器故障Fa=diag(F1,F2),其中:0≤F1≤1;0.5≤F2≤1.2,原控制器無法使系統穩定,如圖3、圖4。圖3描述的是考慮系統在故障0≤F1≤1,0.5≤F2≤1.2情況下,在原跟蹤控制器的作用下,閉環系統無法保持漸近穩定。圖4表示的是閉環系統在發生執行器故障的情況下,系統輸出與跟蹤參考信號之間的跟蹤誤差。

圖3 系統出現故障,原控制器無法使系統保持漸近穩定

圖4 系統出現故障,系統的跟蹤誤差Fig.4 System failure, system tracking error

針對同一故障,設計新的狀態反饋可靠跟蹤控制器:

其中α=55.994 3,使系統重新保持穩定,如圖5、圖6。圖5描述的是對F=diag(f1,f2),0≤f1≤1,0≤f2≤1的故障的前提下,重新設計的帶有H∞性能指標的狀態反饋控制器,使系統重新保持穩定。圖6表示的是線性系統在重新設計的帶有H∞性能指標的狀態反饋控制器,系統輸出與跟蹤參考信號之間的跟蹤誤差。

圖5 抵御執行器故障的可靠控制器,使系統重新保持漸近穩定

圖6 抵御執行器故障的可靠控制器,系統的跟蹤誤差

4 結 論

綜上所述,文中給出的不考慮故障的情況下,正常跟蹤控制器可以使保持閉環系統保持穩定且滿足相應的性能指標,但是,當系統出現故障時,正常控制器下的閉環系統將失去穩定性。在相同故障情形下,利用文中給出的可靠控制器就可以使系統重新保持穩定,同時滿足一定的性能指標。通過數例仿真驗證了文中所給出的設計算法的可行性和可靠跟蹤控制器的有效性。

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H∞reliabletrackingcontrolagainstactuatorfailure

YAOBo,LIUZhihui

(College of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang110034, China)

Considering the linear time-invariable systems, with the continuous gain fault model, the problem ofH∞reliable tracking control with actuator failures is studied. Firstly, the tracking controller is designed to make the closed-loop system asymptotically stable, at the same time, theH∞performance is satisfied. Once the actuator fails, the system can’t remain stable under the action of the original state feedback controller. So, the linear matrix inequality is solved and the state feedback reliable tracking controller is redesigned. The state feedback reliable tracking controller is designed. Hence, the closed-loop system composed of the state feedback reliable tracking controller can keep asymptotically stable after the actuator failure, simultaneously, satisfying theH∞performance index. Finally, the numerical simulation is presented to verify the validity and feasibility of the reliable tracking controller.

state feedback; actuator failure;H∞reliable tracking control; linear matrix inequality(LMI)

2017-07-28。

遼寧省科技廳自然科學基金資助項目(20170540823)。

姚 波(1963-),女,遼寧沈陽人,沈陽師范大學教授,博士。

1673-5862(2017)04-0409-06

TP13

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.04.006