“銳角三角函數”難點透析

劉春陽

“銳角三角函數”難點透析

劉春陽

銳角三角函數是初中數學的重要內容，也是中考重點考查內容之一，其涉及的知識點和數學思想方法較多.下面就三角函數的難點和解決問題的辦法進行解讀，希望對同學們有所幫助.

難點一 銳角三角函數的概念

例1 （2017·綏化）某樓梯的側面如圖1所示，已測得BC的長約為3.5米，∠BCA約為29°，則該樓梯的高度AB可表示為（ ）.

圖1

【難點】銳角三角函數正弦的概念.

【解析】在Rt△ABC中，根據正弦的概念可知sin∠BCA等于∠BCA的對邊與斜邊的比，即3.5sin29°（米）.

【答案】選A.

難點二 特殊角的三角函數值

例2 （2016·衢州）如圖2，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的點，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點E，若∠A=30°，則sin∠E的值為（ ）.

圖2

【難點】特殊角的三角函數值.

【解析】連接OC，由CE是⊙O切線，可證得OC⊥CE，又由圓周角定理，求得∠BOC的度數，繼而求得∠E的度數，然后由特殊角的三角函數值，求得sin∠E的值.

圖3

解：連接OC，如圖3，

∵CE是⊙O切線，∴OC⊥CE.

∵∠A=30°，∴∠BOC=2∠A=60°，

故選A.

難點三 解直角三角形

例3 （2016·紹興）如圖4，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以點A為圓心，BC長為半徑畫弧交AB于點D，分別以點A、D為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點E，連接AE，DE，則∠EAD的余弦值是（ ）.

圖4

【難點】解直角三角形.

【解析】設BC=x，由含30°角的直角三角形的性質得出AC=2BC=2x，求出AB=3BC=，根據題意得出AD=BC=x，AE=DE=AB=，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性質得出A在Rt△AEM中，由三角函數的定義即可得出結果.

【答案】選B.

難點四 銳角三角函數在實際問題中的應用

1.構建兩個直角三角形和一個矩形.

例4 （2016·海南）如圖5，在大樓AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小紅在斜坡下的點C處測得樓頂B的仰角為60°，在斜坡上的點D處測得樓頂B的仰角為45°，其中點A、C、E在同一直線上.

（1）求斜坡CD的高度DE；

（2）求大樓AB的高度（結果保留根號）.

圖5

【難點】銳角三角函數的應用——仰角、俯角、坡度、坡角問題.

【解析】（1）在直角△DCE中，利用銳角三角函數定義求出DE的長即可；

（2）過D作DF垂直于AB，交AB于點F，可得出三角形BDF為等腰直角三角形，設BF=DF=x，表示出BC，BD，DC，由題意得到△BCD為直角三角形，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出AB的長.

解：（1）在Rt△DCE中，DC=4，∠DCE=30°，∠DEC=90°，

（2）過D作DF⊥AB，交AB于點F，

∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，

∴∠DBF=45°，即△BFD為等腰直角三角形，設BF=DF=x，

∵四邊形DEAF為矩形，

∴AF=DE=2（米），即AB=（x+2）米，

在Rt△ABC中，∠ABC=30°，

DC=4，∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，

∴∠DCB=90°.

在Rt△BCD中，根據勾股定理得：

解得：x=4+43或x=4-43（舍去），

∴AB=（6+43）米.

2.構建多個直角三角形.

例5 （2017·荊門）金橋學校“科技體藝節”期間，八年級數學活動小組的任務是測量學校旗桿AB的高.他們在旗桿正前方臺階上的點C處，測得旗桿頂端A的仰角為45°，朝著旗桿的方向走到臺階下的點F處，測得旗桿頂端A的仰角為60°.已知升旗臺的高度BE為1米，點C距地面的高度CD為3米，臺階CF的坡角為30°，且點E，F，D在同一條直線上.求旗桿AB的高.（計算結果精確到0.1米，參考數據： 2≈1.41， 3=1.73）.

圖6

【難點】解直角三角形的應用.

【解析】過點C作CM⊥AB于M，如圖6，則四邊形MEDC是矩形，設EF=x，根據AM=DE，列出方程即可解決問題.

【答案】旗桿AB的高度約為18.4米.

解決銳角三角函數的應用問題，要把實際問題轉化為數學問題，構建直角三角形問題來解決，這也體現了“轉化”“建模”的數學思想.

江蘇省宿遷市鐘吾初級中學）