統計與概率知識的綜合應用

李慧祥

統計與概率知識的綜合應用

李慧祥

將統計與概率的知識綜合在一起考查，是近年來中考命題的一個新趨勢.現以2017年中考數學試題為例來說明，希望能引起同學們對這個命題新趨勢的重視，認真研究這類問題的結構特征，切實掌握這類問題的求解思路.

例1 （2017·安徽）甲、乙、丙三位運動員在相同條件下各射靶10次，每次射靶的成績如下：

甲：9，10，8，5，7，8，10，8，8，7；

乙：5，7，8，7，8，9，7，9，10，10；

丙：7，6，8，5，4，7，6，3，9，5.

（1）根據以上數據完成下表：

平均數中位數方差2.2 3甲乙丙8 8 6 8 8

（2）根據表中數據分析，哪位運動員的成績最穩定，并簡要說明理由；

（3）比賽時三人依次出場，順序由抽簽方式決定，求甲、乙相鄰出場的概率.

（2）∵甲的方差是2，乙的方差是2.2，丙的方差是3，S甲2＜S乙2＜S丙2，∴甲運動員的成績最穩定；

式中：Nii，Hii以及Jii分別表示矩陣N，H，J的第i行第i列的元素；m為量測向量的維數；Fk+1為狀態方程的jacobian矩陣；ωk+1為殘差，η為遺忘因子，取值在0～1之間，通常取為0.95。

（3）畫樹狀圖如下：

根據樹狀圖可知，共有6種等可能情況，甲、乙相鄰出場的情況有4種，

【點評】本題綜合考查方差、平均數、中位數和概率計算等知識.解題時既要準確運用統計知識求中位數和方差，又要能應用方差的本質——反映一組數據的波動大小，方差越小越穩定來做出判斷，同時還要能熟練地運用畫樹狀圖或列表來求概率.

例2 （2017·蘇州）初一（1）班針對“你最喜愛的課外活動項目”對全班學生進行調查（每名學生分別選一個活動項目），并根據調查結果列出統計表，繪制成扇形統計圖.

男、女生所選項目人數統計表

項目機器人3D打印航模其他男生（人數）7 m 2 5女生（人數）9 4 2 n

根據以上信息解決下列問題：

（2）扇形統計圖中機器人項目所對應扇形的圓心角度數為 °；

（3）從選航模項目的4名學生中隨機選取2名學生參加學校航模興趣小組訓練，請用列舉法（畫樹狀圖或列表）求所選取的2名學生中恰好有1名男生、1名女生的概率.

【解析】（1）由兩種統計表可知總人數=4÷10%=40（人），∵3D打印項目占30%，∴3D打印項目人數=40×30%=12（人），∴m=12-4=8，∴n=40-16-12-4-5=3；

（3）根據題意列表如下：

女2女2男1女2男2女2女1——男1男2女1女2男1——男1男2男1女1男1女2男2男2男1——男2女1男2女2女1女1男1女1男2——女1女2

由表可知，共有12種等可能的結果，其中“1名男生、1名女生”有8種可能，∴P（所選取的2名學生中恰好有1名男生、1名女生）=

【點評】本題主要考查統計中圖表信息的讀取與運用、用列表與樹狀圖求概率等知識.解題時需將統計表與統計圖結合起來思考.此外，這里隨機選取2名學生是“無放回”事件，表格中不能出現“男1男1”“男2男2”“女1女1”“女2女2”的情形.

例3 （2017·安順）隨著交通道路的不斷完善，帶動了旅游業的發展，某市旅游景區有A、B、C、D、E等著名景點，該市旅游部門統計繪制出2017年五一長假期間旅游情況統計圖，根據以下信息解答下列問題：

某市2017年五一長假期間旅游情況統計圖

（1）2017年五一期間，該市周邊景點共接待游客_______萬人，扇形統計圖中A景點所對應的圓心角的度數是_______，并補全條形統計圖.

（2）根據近幾年到該市旅游人數增長趨勢，預計2018年五一節將有80萬游客選擇該市旅游，請估計有多少萬人會選擇去E景點旅游？

（3）甲、乙兩個旅行團在A、B、D三個景點中，同時選擇去同一景點的概率是多少？請用畫樹狀圖或列表法加以說明，并列舉所有等可能的結果.

【解析】（1）該市周邊景點共接待游客數為15÷30%=50（萬人），A景點所對應的圓心角的度數是30%×360°=108°，B景點接待游客數為50×24%=12（萬人）.

（3）畫樹狀圖如下：

∵共有9種等可能結果，其中同時選擇去同一個景點的結果有3種，∴P（同時選擇去同一個景點）=

【點評】本題考查雙統計圖和概率計算等知識.在解題時要將兩個統計圖相互對應，讀取信息，正確計算、補圖，再運用樹狀圖或列表求同時選擇去同一個景點的概率.

江蘇省興化市戴澤初級中學）