高中數學集合問題的解決分析

◎彭嘉駿

高中數學集合問題的解決分析

◎彭嘉駿

基于高中階段數學學習中，“集合”知識的相關內容，本文就學生在解答集合問題過程中常出現的錯誤進行分析，并就相關問題的解答方法進行闡述。希望能夠為正在進行高中數學學習的學生提供一定參考。

就高中數學知識體系進行觀察，集合知識屬于其中較為基礎的知識類型，但是很多學生因為自身基礎的不牢固，導致其在解答此類問題的過程中仍然經常出現各種錯誤。因此，探尋問題出現的原因，掌握正確的答題方法，是學生在學習集合知識時必須要重點關注的問題。

沒有考慮集合所具有的“互異性”

在集合當中，任意兩個元素都不同，也就是說在相同集合當中不能重復出現同一元素，一個元素在集合當中只能出現1次，如（x-1）2（x-2）=0的解集不應寫作{1，1,2}而必須要寫作{1,2}。

例 如： 已 知 1∈ {a+2，（a+1）2，a2+3a+3}，試求出實數a的值是多少？

分析：在這道問題當中，學生必須要使用討論思想，分別構建一元一次方程和一元二次方程來求出a的值。但是在討論的過程中，學生往往非常容易忽視集合元素所具有的“互異性”。

解答：①如果a+2=1，那么a=-1，但是此時a2+3a+3=1，不滿足要求。②如果（a+1）2=1.那么a=0或a=-2，其中在a=0時a+2=2，a2+3a+3=3滿足要求，在a=-2時，a2+3a+3=1,不滿足要求。③如果a2+3a+3=1，于是有a=-1或a=-2，在a=-1時，a+2=1不滿足要求；在a=-2時，（a+1）2=1，不滿足要求，綜合以上條件，可以推出a=0。

沒有考慮0，{0}，，{}之間的關聯

例如：在以下關系當中，表達正確的有① 0 {0}；② 0 ∈ {0}；③∈{}；④ a ∈ {a}； ⑤={0}； ⑥ {0}∈；⑦∈{0}；⑧{0}。

解答：想要解答該問題，只需要∈、≠、

沒有考慮空集的特殊性質

在集合知識學習過程當中，空集屬于一種十分特殊并且十分重要的特殊集合。在空集當中，不含有任何元素，其是所有集合的子集，是全部非空集合的真子集。很明顯，所有集合和空集的交集都是空集，和全部集合的并集等于該集合，在問題當中隱藏有空集和集合之間的關系時，學生很容易忽視它們的特殊性，由此導致學生在解答問題的過程中出現錯誤。因此，一定要對這些問題加強重視，考慮到這一情況。

例 如：A={x|x2-8x+15=0}，B={x|ax-1=|}，如果A，求實數的值。

解答：在解答這道問題的過程中，有很多同學往往只求出了a=1/3和a=1/5這兩個答案，但是沒有空集這一情況進行考慮，導致問題解答時出現錯誤。在這種意識上出現錯誤并導致問題回答錯誤失分往往是非常可惜的。

沒有考慮數集與點集之間的差異

使用數字作為元素的集合被稱為數集，使用點作為元素的集合被稱為點集，在解答此類問題的過程中，學生應防止出現以下的錯誤。第一是書寫上的錯誤，如錯誤地將點集{（2,3）}寫作{2，3}或{x=2,y=3}。第二是思想上的錯誤，如錯誤地認為{y|y=x2+1，x∈R}等同于{（x，y）|y=x2+1,x∈R}或者{x|y=x2+1，x∈R}。總體來講，學生在解答此類問題的過程中，出現錯誤的原因都是自己基礎掌握不牢固導致的。所以防止此類錯誤出現的辦法，就是強化自身對概念的理解，只有這樣，才能有效避免自己在高考中出現此類錯誤。

此外，還有的學生沒有考慮到求補集的前提條件。例如：全集U為函數y=的定義域，A={x|x≥10}，試求出CuA。解答：學生在解答該問題的過程中，常常沒有考慮到全集U，或者把全集默認為是所有實數的集合，由此計算得出CuA={x|x≤10}。因為U={x|x≥7|}，因此CuA={x|7＜x＜10}。

實際上，集合問題是在高中數學當中最為常見，也是最為基礎的問題，高考中針對集合知識的考核，往往比較簡單，但是卻暗含“陷阱”。學生在學習集合知識的過程中，必須要對各種概念、符號等的含義有深入的掌握。只有這樣，學生才能保證自己在基礎類問題回答的過程中不出現錯誤，提升準確率，讓自己在高考考場占得先機。

（作者單位：湖南廣益實驗中學）