基于Matlab的靜電場電場線和等勢線（面）的數值模擬

王紅兵

摘要：利用Matlab軟件模擬描繪了靜電場的電場線和等勢線（面），以電偶極子、均勻帶電線段和等量異號平行直線電荷為例，導出了電場線和等勢線方程并給出了數值模擬的相應結果，使教學內容更形象和直觀，也更深刻地揭示了物理現象的內涵。

關鍵詞：大學物理；Matlab；電場線；等勢線（面）；數值模擬

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）49-0193-03

在大學物理的教學中，除理論分析、實驗研究外，計算機數值模擬也是一種很重要的研究方法。Matlab是一套高性能的數值計算和可視化數學軟件，集數值分析、矩陣運算、信號處理和圖形顯示等功能于一體[1]。其豐富的數學函數使得用Matlab進行數值模擬時程序變得簡潔易懂，不像其他高級語言那樣要從底層開始編寫復雜的程序[2]。在研究如電磁學等的同類問題時，只需將Matlab代碼稍加改動即可，類似的代碼可重復使用，減輕了編程工作量。Matlab強大的功能為大學物理教學的數值化和可視化提供了強有力的手段。用這種語言編程可以方便地用圖形、圖像、動畫等形象直觀地描述物理過程和物理現象，有助于學生對物理問題的深刻理解[3]。本文用Matlab軟件在大學物理電磁學的教學中進行了一些有益的嘗試，用這種軟件以電偶極子、均勻帶電線段和等量異號平行直線電荷的靜電場為例分析了數值模擬的過程并給出了模擬的結果。

一、電偶極子的電場

如圖1所示為兩個相距為2a的等量異號點電荷+q和-q組成的點電荷系，稱為電偶極子。由點電荷的電勢公式及電勢的疊加原理，可求得場點P（x，y）處產生的電勢為V= - ，式中，r 和r 是場點P到兩點電荷的距離r = ，r = 。若取a為坐標單位，且令V = ，x′= ，y′= （V 為點電荷q在原點處產生的電勢），則電勢可表示為V=V （ - ），當場點P到電偶極子的距離比兩點電荷的間距大得多時，即x>>a，則有r ≈r+acosθ，r ≈r-acosθ。于是可得電偶極子在遠處產生的電勢為V=V ，這就是電偶極子的等勢面方程，由此式可模擬描繪電偶極子的三維等勢面。

由以上數值分析，在進行數值模擬時只需用幾個Matlab函數即可描繪電場線和等勢線。Matlab的梯度函數gradient可以直接計算電場強度的數值分量，電偶極子等勢面可由網線曲面函數mesh描繪，等勢線可用等高線函數contour描繪，電場線可用流線函數streamline描繪。數值模擬的結果如圖3、圖4所示。

二、均勻帶電線段的電場

如圖4所示為長為2a的均勻帶電線段，電荷線密度為λ。在線段l處取線元dl，電荷元dq=λdl到P點的距離為r= ，電荷元在P點產生的電勢為dV= ，由電勢的疊加原理對上式積分可得P點的電勢為V= λln +C，式中C為積分常數，由零勢點的坐標決定，可取C=0，即P點的電勢為V= λln ，若令

V = λ，x′= ，y′= ，則電勢可表示為：

V=V ln 。

電場強度矢量在平面上的兩個分量由電勢梯度計算可得。數值模擬時只需將上述模擬電偶極子電場的Matlab代碼稍加改動即可，其中等勢線可用三維等高線指令contour3繪制。數值模擬的結果如圖5、圖6所示。

三、等量異號平行直線電荷的電場

若將圖1中的兩點電荷分別替換為無限長直線電荷的線密度±λ，即可得到等量異號平行直線電荷的坐標系，兩帶電直線間距為2a并與Oxy平面垂直。計算可得等勢線是圓心在橫軸上且半徑為r= 的圓，而電場線是圓心在縱軸上且半徑為R= 的圓。其中，C是待定常數。數值模擬的結果如圖7所示。

四、結論

本文通過實例闡述了利用Matlab對靜電場進行數值模擬的具體方法。上述討論表明，在大學物理教學中適當引入計算機數值模擬的研究方法可以對物理規律和物理現象的描述更加全面和完整，有助于學生對這些規律和現象的深刻認識和理解，同時也可以成為實驗室真實實驗的重要補充。

參考文獻：

[1]王家文，王皓，劉海.Matlab7.0編程基礎[M].北京：機械工業出版社，2005.

[2]占君，張倩，滿謙.Matlab函數查詢手冊[M].北京：機械工業出版社，2011.

[3]張星輝.在大學物理教學中使用Matlab制作圖像和動畫的幾個實例[J].大學物理，2004，23（9）：59-62.