數列模式化解題策略研究

曹海峰

內容提要：等差數列和等比數列問題一直以來都是高考的熱點問題，有時甚至是難點問題?？疾斓狞c主要是等差數列、等比數列，以及能轉化為等差（比）數列的數列，而學生對此掌握的并不好。故而，對于此處的數列問題，還需對學生進一步強化，掌握解決這樣數列問題的方法和技巧，提高其得分率。

關鍵詞：類型；技巧；模式化

類型一.等差數列的判斷和證明

例1 [全國大綱卷]數列{ }滿足 =1， =2， =2 - +2，

（1）設 = - ，證明{ }是等差數列。

（2）求{ }的通項公式。

解：（1）證明：∵ =2 - +2

= - -（ - ）

= - +2- + =2又 = =2-1=1

{ }是以首項為1，公差為2的等差數列。

（2）由（1）得， =1+2（n-1），即 - =2n-1，

=1， =3， =5，…， - =2n-3，

累加可得 - =1+3+5+…+（2n-3）=

= .

總結反思：等差數列的判斷方法

（1）定義法：對于 的任意自然數，驗證 - 為同一常數。

（2）等差中項法：驗證 = + （ ）成立。

（3）通項公式法：驗證 = 。

（4）前n項和公式法：驗證 。

在解答題中常應用定義法和等差中項法，而通項公式法和前n項和公式法主要適用于選擇題和填空題的簡單判斷。

類型二.等差數列的前n項和最值問題

例2 若等差數列{ }滿足 ， ，則當n為何值時，數列{ }的前n項和最大。

解：∵

又∵

當n=8時{ }的前n項和最大。

類型三.等比數列的判定和證明

例3 數列{ }的前n項和為 ， =1， 4 +2，若 = -2 ，求證：{ }為等比數列。

證明：∵ = - =4 +2-4 -2=4 -4

= =2 又∵ = ， =5

= -2 =3

數列{ }是首項為3，公比為2的等比數列。

總結反思：等比數列的判定方法

（1）定義法 若 ，則{ }是等比數列。

（2）等比中項法 ， = 。

（3）通項公式法 。

（4）前n項和公式法 = 。

類型四.特例驗證法破解數列問題

例4 已知數列{ }的前n項和為 ， =1， ，求 =（ ）。

A. B. C. D.

解法一：令n=1，則得 ，故 ，而 =2 ，故A錯，

，故C錯，

，故D錯，所以選B。

解法二：∵

數列{ }從第二項起為等比數列。

又∵ 時，

總之，特例驗證法就是從題干出發，運用滿足題設條件的某些特殊值、特殊角、特殊圖像等，對各選項進行檢驗和推理。

類型五.等差、等比數列的綜合運算

例5[湖北高考題]已知等差數列{ }滿足： =2，且 ， ， 成等比數列。

（1）求數列{ }的通項公式。

（2）記 為數列{ }的前n項和，是否存在正整數n，使得 ，若存在，求n的最小值，若不存在，說明理由。

解：（1）設數列{ }公差為d，有

得 或 ，

當 時， =2。

當 時， =4n-2。

數列{ }的通項公式為 =2或 =4n-2。

（2）當 =2， =2n，顯然2n<60n+800，

此時不存在正整數n，使得 >60n+800成立。

當 =4n-2時， =

令 >60n+800，即

得 或 （舍去）

此時存在正整數n，使 >60n+800成立，n的最小值為41。

綜上，當 =2時，不存在滿足題意的n。

當 =4n-2時，存在滿足題意的n，最小值為41。

總結反思：解決等差數列與等比數列的綜合問題，關鍵是理清兩個數列的關系，如果同一數列中部分項成等差數列，部分項成等比數列，要把成等差（比）數列的項抽出來單獨研究，如果兩個數列運算綜合在一起，要從分析運算入手，把兩個數列分割開弄清兩個數列各自的特征，再進行求解。

總之，數列問題高考難度適中，學生應掌握適當的解題方法和精準的運算，此種題型高考應拿滿分，我們還應在三輪復習的過程中加強訓練。