有限偏序集上的強濾子及其應用

劉志禹， 姜廣浩， 唐照勇

(淮北師范大學數學科學學院,安徽淮北 235000)

有限偏序集上的強濾子及其應用

劉志禹， 姜廣浩， 唐照勇

(淮北師范大學數學科學學院,安徽淮北 235000)

本文在偏序集上引入強濾子的概念,并在有限偏序集上探討強濾子與(非)連通偏序集之間的關系.

強集； 強濾子； 不交并偏序集； (非)連通偏序集

1 引言與預備知識

唐照勇等在文獻[5]中給出了另一種等價的數學語言來刻畫有限偏序集的連通性,進而將有限偏序集分為連通和非連通兩種類型， 并在有限偏序集上探討了強理想與(非)連通偏序集之間的關系. 受此啟發， 本文在偏序集上引入強濾子的概念,并在有限偏序集上探討強濾子與(非)連通偏序集的關系. 文中A?B指的是集合A真包含于B.

定義1.2 設F是偏序集(E,≤)的非空子集， 稱F是E的上(下)集， 如果對?a∈F,x∈E,若a≤x(x≤a)蘊含x∈F,即F=↑F(F=↓F) .

定義1.3 稱非空子集F是偏序集(E,≤)的濾子.如果F滿足以下條件:

(1)余定向： ?a,b∈F,?c∈F使得c≤a,c≤b；

(2)上集 ： ?a∈F,b∈E,若a≤b蘊含b∈F.

定義1.4 設F是偏序集(E,≤)的非空子集， 稱F是E的強集， 若F既是上集又是下集.

2 強濾子

定義2.1 設F為偏序集(E,≤)的濾子， 對?a∈F,b,c∈E, 若a≤x,b≤c蘊含b∈F， 則稱F是偏序集(E,≤)的強濾子(簡稱F是E的強濾子).若真子集F為偏序集(E,≤)的強濾子， 則稱F是偏序集(E,≤)的真強濾子.

定理2.1F是偏序集(E,≤)的強濾子當且僅當F是E的余定向強集.

證明 必要性： 設F是偏序集E的強濾子, 則F是濾子， 進而為余定向上集.下證F是下集.假設a∈F,b∈E，b≤a， 易知a∈F，a，b∈E，且a≤a，b≤c.由強濾子定義知b∈F. 故F是下集， 進而F是E的余定向強集.

充分性： 設F是E的余定向強集,假設a∈F，b，c∈E,a≤c,b≤c,下證b∈F.由F為上集及a≤c知c∈F.再由……