培養數學逆向思維提高解題效率

朱佳崢

逆向思維作為一種重要的思維方式，歷來受到人們的廣泛重視，它在數學教學中的作用十分重要，它是當前素質教育中不可忽視的內容之一。培養逆向思維，是提高學生的解題速度和解題技巧的重要策略。但由于逆向思維問題具有條件隱蔽、背景復雜、形式多樣、頭緒紛繁的特點，一直以來多被學生視為難題而敬而遠之。事實上，此類問題的解決并非無章可循，本文試就逆向思維題目的幾種典型類型進行闡釋。

一、因式的分解型逆向思維

例1 （ - ）2（8+2 ）.

分析 《因式分解》這一章內容從始至終都貫穿了逆向思維教學，加強逆向思維教學，有助于開拓學生解題思維，豐富學生解題經驗，提高解題的靈活性。例1此題按照運算順序從先算平方，再按多項式法則展開、合并這一常規解法非常困難，如果注意到8+2 這個式子的結構特征，這個式子能分解因式成（ + ）2，故原式等于（ - ）2（ + ）2，此時再逆用積的乘方公式即可.

解 ∵8+2

=5+3+2

=

∴原式=（ - ）2（ + ）2

=[（ - ）（ + ）]2

=22=4.

類比練習：

二、逆運算型逆向思維

例2 化簡：（x-1）

分析 運用恰當的運算律是使運算題簡便的基礎方法之一，而運算率的核心就是改變運算順序。有時，逆運算能大幅降低運算難度。如例2，大多數學生習慣于先將 化簡，再將整個式子化簡，如果將根式外的因式（x-1）移到根號內，則能大幅度降低運算難度。但是，此時需要注意因式（x-1）值的正負性.這一想法的依據是公式a= （a≥0）.

解 有意義的條件為 ，則x-1<0，即x-1為負數.

∴原式=

說明 化簡的依據是公式a= （a≥0），即公式 =a（a≥0）的逆用.應注意二次根式有意義的條件（被開放式為非負數），還要注意根式內“移”出的數應是非負數，“移”進的數也應是非負數.

三、由結果尋求條件型逆向思維

例3已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖1所示，對稱軸是點線x=1.下列結論：

①abc>0，②2a+b=0，③62—4ac0.

其中正確的是（ ）

（A）①③ （B）只有② （C）②④ （D）③④

解析 對選項①，結合圖象需確定系數a、b、c的正負性，由拋物線開口方向向上，得a>0，依據“左同右異”的規律，得b<0，由拋物線與y軸的正半軸相交，得c>0，故abc<0.

對選項②，是關于a，b的式子，故此想到對稱軸x=- .由- =1，得b=-2a，即2a+b=0.對選項③，欲判斷b2-4ac的正負性，需看拋物線和x軸的交點個數，由拋物線和x軸有兩個交點，得b2-4ac>0.

對選項④，4a+2b+c是x=2對應的函數值，根據拋物線的對稱性，知拋物線和x軸的右交點的橫坐標小于2，故4a+2b+c>0.

綜上，選C.

四、反向變換型逆向思維

例4拋物線y=x2+bx+c的圖象

先向右平移2個單位，再向下平移3個單位，所得圖象的函

數解析式為y=（x-1）2-4，則b、c的值為（ ）

（A）b=2，c=-6 （B）b=2，c=0 （C）b=-6，c=8 （D）b=-6，c=2

解析 根據運動的相對性，知拋物線y=（x-1）2-4先向左平移2個單位，再向上平移3個單位，可得拋物線y=x2+bx+c.

由于拋物線y=（x-1）2-4的頂點坐標為（1，-4），所以拋物線y=x2+bx+c的頂點坐標為（-1，-1），所以y=（x+1）2-1=x2+2x，即b=2，c=0，故選B.

五、從問題的反面進行思考型逆向思維

例5 若方程2x2-（4k+1）x+2k2-1=0，x2-2（k+1）x+k2-2=0，x2-（2k+1）x+（k-2）2=0中至少有一個方程有實數根，求k的取值范圍.

分析 由于“至少有一個方程有實數根”與“三個方程均無實數根”是對立排斥的，所以可以先從這個問題的反面，即三個方程均無實根的角度來考慮，即從△1、△2、△3三者均小于0中解出k的取值范圍，再從實數中排除這個k的取值范圍.

解 ∵△1=8k+9<0，

△2=8k+12<0，

△3=20k-15<0，

得k<- .

因此，當k≥- 時，三個方程中至少有一個方程有實數根.

六、從“配角”變“主角”型逆向思維

例6 在關于x的方程ax2+2（2a-1）x+4a-7=0中，a為正整數，當a為何值時，方程至少有一個整數根？

分析 因為題眼是“關于x”，所以大多數學生習慣于用求根公式將x用a的式子表示，接下來通過x為整數去求正整數a的值，這樣的計算比較繁瑣.此時，不妨嘗試一下將系數a用未知數x的式子表達，這樣能二次方程降為一次方程.

解 ∵ax2+2（2a-1）x+4a-7=0

∴當a=5，a=1時，原方程至少有一個整數根.

說明：將“主角”和“配角”變換一下角色，起到了另辟蹊徑的效果；同時變形的中用了“裂項”法，它本身就是一種逆向思維，變形的目的是為“整除”服務的.