基于Radon反演的CT成像

張立臣

摘要： CT斷層成像技術能夠依據探測器接收經掃描物體對X射線吸收衰減之后的能量，依據外部投影所得數據重新建物體內部結構圖像。通過對一個正方形托盤中未知介質掃描所接收信息的研究，建立基于Radon反演的圖形重建模型，得出重建后CT圖像，進而得出未知介質在正方形托盤中的位置和幾何形狀，并對圖像進行灰度化處理，得出圖像內各點的灰度值，并以正方形中心為原點建立直角坐標系，然后設定閾值將灰度值轉換為吸收率，并在這一坐標系下表示出所給所接收信息的10個位置的坐標，觀察點的位置與CT圖像的位置關系，得出各點吸收率等信息。此方法的應用能夠很好的解決有關CT圖形重建的問題。

關鍵詞：關鍵詞1；關鍵詞2；圖形重建 關鍵詞3；Radon 關鍵詞4；CT成像。

中圖分類號：[R445.6] 文獻標識碼：A 文章編號：

0 引言

CT又稱為計算機斷層成像技術，它能夠依據探測器接收經掃描物體對X射線吸收衰減之后的能量，依據外部投影所得數據重新建物體內部結構圖像。其中最經典的二維CT系統為平行入射，平行入射的X射線垂直于探測器入射，利用樣品對射線能量的吸收特性對樣品進行斷層成像，由此獲取樣品內部的結構信息。而每個探測器具有512個接收單元且等距排列，X射線的發射器和探測器相對位置固定不變，整個發射-接收系統繞某固定的旋轉中心逆時針旋轉。對每一個X射線方向，探測器測量經位置固定不動的二維待檢測介質吸收衰減后的射線能量，并經過處理后得到多組接收信息。

1 模型準備

1.1 投影成像問題

1.1.1 CT成像

通過X射線探測器探測未經過介質衰減之前的X射線的光子數I0，并且探測改變系統方向后經過此位置的所有射線L的I（L），根據I0和I（L）得到線性衰減系數的分布μ（x）的值或其近似值，即根據P（L）對μ（x）的值或其近似值進行重新構建[1]。

如果將需成像區域進行像素離散操作，將在μ（x）像素處的值進行灰度化處理，得到衰減系數的分布圖像。CT圖像重建過程可以簡化為由眾多的P（L）重新建立μ（x）的圖像問題。所以，通過最理想化的假設下，CT圖像是X射線經過某介質后線性衰減系數的分布圖像，因為射線能量的衰減與介質本身屬性有關，所以該方法能夠表征介質的內部機構。

1.1.2 平行束投影變換及其反演

對固定的角度φ，r變化時Φ得到一束平行射線，簡稱平行束。對固定的被稱為沿方向的平行束投影。也被成為函數的Radon變換，記為。于是，當射線用參數表示時，CT成像問題成為“由一組平行束投影重建的問題”。

2.2Radon變換及其逆變換

CT技術發展主要依據Radon變換的數學理論基礎，該方法以數學的方法上證明了某種物理參量（如一個介質衰減系數的分布）的二維分布函數，由該函數在其定義域內所有線積分來確定。如圖1所示，二維平面內的一條直線與軸夾角為，原點到L的垂線距離為、直線上的點也可以用極坐標來表示。Radon變換具體內容如下：

式（1）即為Radon變換，是指二維分布函數在一定角度下的線積分，即實際的投影，式（2）為Radon逆變換，相對CT圖形重建來說，此逆變換具有很重要的指導意義，通過收集不同的投影角度下數據可以重建出物體的斷層圖像[2]即。

2 圖形重建

探測器參數標定

已知在整個發射-接受系統中，平行入射的X射線垂直于探測器平面，每個探測器單元看成一個接收點，且等距排列，共有512個等距單元；另外，系統繞某固定的旋轉中心逆時針旋轉180次。根據探測器單元在此方向上檢測到的二維待檢測介質吸收衰減后的射線能量；每一行代表一個探測器單元在180個方向上檢測到的射線能量。

3 結論

本文給出了經典CT系統的圖像重建的方法，針對平行入射的X射線運用此模型能清晰的得到未知介質的幾何形狀、具體位置和重建后圖像在256*256像素下的吸收率信息，對未知介質的分析有很好的作用。并且經Radon反演模型對大量的探測值進行處理，不僅得到未知介質的空間幾何信息，而且從最后得出的重建后的圖像本文也可以得出介質表面是否均勻、介質內部是否空余等內部信息。能夠有效地解決了CT系統參數標定及成像問題。

致謝：

河北省教育廳項目（QN2016088）、華北理工大學研究生創新項目（2017S03）、河北省研究生創新項目（CXZZSS2017071）資助。

[參考文獻] （References）

[1] 毛小淵. 二維CT圖像重建算法研究[D]. 南昌航空大學， 2016.

[2]Natterer F. The mathematics of computerized tomography[M]. Philadelphia： Society for Industrial and Applied Mathematics， 2001.

[3]張俊，閆鑌，陸利忠，李磊，張峰. 一種錐束CT系統幾何參數標定方法[J]. 核電子學與探測技術，2014，34（02）：235-238.

[4] 郭立倩. CT系統標定與有限角度CT重建方法的研究[D]. 大連理工大學， 2016.