基于混合模型和交叉熵重要性抽樣的發電系統可靠性評估*

王少偉，羅萍萍

（上海電力學院電氣工程學院，上海200090）

0 引 言

可靠性指標作為現代電力系統的一個重要指標，其在電力系統的規劃、運行、檢修各方面都具有重要的意義［1-5］。目前在電力系統可靠性評估中應用最多的是蒙特卡洛法，為了提高蒙特卡洛法的計算效率，必須減小計算過程中可靠性指標的方差。因此，大量方差減小技術得到了廣泛的研究與應用［6］。其中，用于電力系統可靠性評估中的方差減小技術主要有控制變量法［7-8］，對偶抽樣法［9］，分層抽樣法［10-12］，重要性抽樣法［13-14］等。在這些方法中應用最多的是重要性抽樣方法，而在重要性抽樣方法中文獻［15］提出的基于交叉熵的重要性抽樣方法又因其良好的方差減小效果以及操作過程簡單等優點得到了廣泛的應用。該方法基于單一概率質量函數進行迭代抽樣（稱之為基于單一概率質量函數的交叉熵重要性抽樣，Cross-Entropy based Importance Sampling with Single PMF，CEIS-S），在處理高可靠性電力系統時如果預抽樣階段的樣本數較少，可能導致預抽樣過程結束時得到的“最優概率質量函數”不能達到良好的方差減小效果，直接影響正式的可靠性指標計算階段系統狀態的合理抽取，從而降低可靠性指標計算效率，甚至可能得不到正確的結果，嚴重影響該方法的效率以及正確性為了克服這一缺點，本文結合混合概率質量函數模型和交叉熵原理［15-16］提出了基于混合概率質量函數和交叉熵重要抽樣的發電系統可靠性評估方法（Cross-Entropy based Importance Sampling with mixture PMF，CEIS-M），可較大幅度提高發電系統可靠性評估的效率。

1 基于單一概率質量函數交叉熵的系統可靠性評估方法

交叉熵重要性抽樣的基本思想是利用重要抽樣法結合交叉熵操作，實現在保持原有樣本期望值不變的條件下，改變現有樣本空間的概率質量函數，使其方差減小，從而加快抽樣仿真的收斂速度［15］，而交叉熵過程正是實現樣本的概率質量函數修正的過程。

基于重要性抽樣法的系統可靠性指標為：

式中 Ω為 C維系統狀態空間，X=［x1，x2，…，xC］為由C個相互獨立的伯努利變量組成的系統狀態向量，對應系統中不同的元件。F（X）為系統狀態X的可靠性函數，E（F（X））為系統可靠性指標。f（X；u）和g（X；v）分別為系統狀態空間原有概率質量函數和修正概率質量函數且具有相同的形式，u=［u1，u2，…，uC］和 v=［v1，v2，…，vC］分別為 f（·）和g（·）的C維參數向量。以f（·）作為抽樣函數時，變量xj以概率uj取值為0，表示對應元件處于故障狀態；以概率1-uj取值為1，表示對應元件處于正常狀態。以g（·）作為抽樣函數時類似處理，衡量系統可靠性指標精度的方差系數為：

重要性抽樣的效率與修正概率質量函數密切相關，為了尋求最優的修正概率質量函數{g（X；vopt）}，簡記為 gopt（X），采用在函數族{g（X；v）}中通過確定最優參數向量vopt找到接近于gopt（X）的概率質量函數g′（X；v），當二者之間的距離足夠小時將其視為的gopt（X）近似值，該距離采用Kullback-Leibler距離（即交叉熵）來衡量［15］，即：

式（3）的最小化為如式（4）的優化問題：

對于解式中的最小化問題，其最優解為：

通過預抽樣迭代即可求解式（5）并將迭代收斂時的中間分布對應的參數向量作為系統最優概率質量函數的參數向量 vopt=［vopt-1，vopt-2，…，vopt-C］并相應得到最優概率質量函數gopt（X）；然后即可根據gopt（X）進行正式抽樣并由式（1）計算系統相應的可靠性指標，限于篇幅具體預抽樣迭代求解過程及可靠性指標計算過程可參考文獻［15］。

2 基于混合概率質量函數交叉熵的系統可靠性評估方法

2.1 混合概率質量函數模型

混合概率質量函數模型使用K個子概率質量函數的加權來描述系統的狀態，系統的概率質量函數如下式：

式中 gj（X；vj）（j=1，2，…，K）為與系統原始概率質量函數具有相同形式的子概率質量函數，πj為gj（X；vj）對應的權重。

X服從每次由向量Z中取值為1的元素對應的某一概率子概率質量函數，因此，在給定Z時X的條件概率質量函數為：

將式（8）乘上式（9）可得X和Z的聯合概率質量函數如下式（10）：

根據式（10）可求得X的邊緣概率質量函數即混合概率值函數表的達式，如式（7）。

2.2 基于最小交叉熵原理的混合模型概率質量函數的更新

混合模型將gmix（X）作為描述系統狀態的概率質量函數。在利用最小交叉熵原理對修正概率質量函數的參數進行更新時，基于單一概率質量函數交叉熵重要抽樣的可靠性計算方法只對修正概率質量函數的參數向量進行更新，基于混合概率質量函數交叉熵重要抽樣的可靠性計算方法同時對修正概率質量函數所包含的所有子概率質量函數的權值{π1，π2，…，πK}及其對應的參數向量{v1，v2，…，vK}進行更新。

將式（7）代入式（4），交叉熵最小化的問題轉化為下式（11）：

式（11）中，Xi（i=1，2，……，N）是某一輪更新中根據概率質量函數gmix（X）抽樣得到的樣本，gimx（X）的參數 v1，v2，…，vK由上一輪更新得到，式（11）中，

對于第j個子概率質量函數的參vj數的更新過程如下：

根據式（11）對 vj（j=1，2，…，K）求導可得：

將式（13）代入式（12）可以得到vj更新的表達式如下：

對于第 j（j=1，2，…，K）個子概率質量函數的權重πj的更新如下：

根據式（11）對πj求導可得πj的更新的表達式：

根據式（14）和式（15）即可完成對 vj和 πj迭代更新，直到式（11）中的最小化問題滿足收斂條件時迭代停止，此時可得到最優的參數{vopt-1，vopt-2，…，vopt-K}和{πopt-1，πopt-2，…，πopt-K}，進而寫出最后的最優概率質量函數gopt（X）如下：

3 基于混合模型和交叉熵重要抽樣的可靠性評估方法在發電系統中的應用

本文將CEIS-M方法應用于發電系統的可靠性計算中。設發電系統擁有C臺獨立運行的發電機，每臺發電機只存在停運和正常兩種狀態，則各臺發電機的狀態可用伯努利變量表示，發電系統的狀態可由向量X表示為 X=［x1，x2，…，xC］，其中 xj=1表示第j（1≤j≤C）臺發電機處于正常狀態，xj=0表示該發電機處于停運狀態。系統負荷Ld取為其峰值負荷，故障標志為系統發電量S（X）小于Ld導致系統出現停電。基于本文CEIS-M法的發電系統可靠性指標計算共分兩個階段，具體過程如下：

階段I：交叉熵預抽樣求得最優混合概率質量函數。

該階段包括8個步驟，步驟（1）和（2）為初始化過程，步驟（3）～（7）為基于交叉熵預抽樣的混合概率質量函數參數更新過程，步驟（8）輸出發電系統最優概率質量函數。

選用內置微處理器的低功耗網絡繼電器替換功耗較大的入侵報警主機。網絡繼電器具備開關量、干節點、繼電器信號的輸入/輸出能力，可接入IP網絡，具備自編程邏輯控制能力及遠程操控能力，能夠滿足閥室的控制需求。網絡繼電器功耗在2 W左右，而報警主機的功耗在25 W左右，既滿足了功能需求又降低了功耗。

（1）讀入系統拓撲結構以及各發電機必要的數據信息，設定預抽樣樣本數為N，分位點ρ（一般在0.01～0.1之間取值），迭代次數以k表示：

（4）記序列{S1，S2，…，SN}中的 S（1-ρ）N為 Lk，如果Lk≤Ld，令Lk=Ld。計算所有系統狀態樣本對應的失負荷概率指標（LOLP）的可靠性函數 FLOLP（X1），FLOLP（X2），…，FLOLP（XN）。對于 FLOLP（Xi），如果 S（Xi）＜Lk，令 FLOLP（X1）=1；反之，令 FLOLP（Xi）=0；

（5）計算所有系統狀態樣本的似然比函數，其中第i個系統狀態樣本的似然比函數 w（Xi；u，π，為，簡記為 w（Xi）：

（6）利用第k次迭代抽取的系統狀態樣本X1，X2，…，XN，分別根據式（14）和式（15）更新第 j（j=1，2，…，K）個子概率質量函數對應的停運率向量及權重

（7）如果 Lk=Ld，迭代過程結束，轉步驟（8）；否則 k=k+1，轉步驟（3）；

階段II：可靠性指標計算。該部分包括6個步驟，步驟（1）為初始化，步驟（2）～（5）為可靠性指標的計算，步驟（6）輸出發電系統可靠性指標。

（1）設定發電系統可靠性指標的收斂標準為其方差系數β小于精度標準COV，COV一般取一個很小的正數，例如2%或1%；抽取NS（NS取1 000）個發電系統狀態樣本后在進行可靠性指標計算（避免在可靠性指標計算初期由于樣本數量較少且樣本對應可靠性函數相同（或相近）導致的可靠性指標出現過早的非正常收斂的情況）。樣本數量初始值m=0；

（2）根據最優概率質量函數gopt（X）抽樣得到發電系統狀態，m++，Xm。若 m＜NS，轉步驟（2），否則轉步驟（3）；

（3）根據式（18）和式（19）更新計算可靠性指標及其對應的方差系數，并根據式（2）計算其對應的方差系數β。

（4）若β＜COV，表示系統可靠性指標收斂，轉步驟（6），否則，轉步驟（5）；

（5）根據 gopt（X）抽樣得到發電系統狀態，m++，計算 FLOLP（Xm），以及 w（Xm），轉步驟（3）；

（6）輸出發電系統可靠性指標LOLP及其方差系數β。

在求解其他系統可靠性指標時只需要將系統可靠性函數F（X）相應值即可。例如求解系統缺供功率指標EPNS時，將系統可靠性函數F（X）取EPNS對應的值 FEPNS（X），若發電系統出現缺供則FEPNS（X）取相應的缺供功率的值，否則 FEPNS（X）=0。

基于CEIS-M法的發電系統可靠性分析流程如圖1所示。

圖1 基于CEIS-M的發電系統可靠性分析流程圖Fig.1 Flow chart for generation system reliability evolution based on CEIS-M

3 算例分析

本文的算例對IEEE-RTS系統［17］的發電部分進行可靠性評估，該系統共32臺發電機，裝機容量3 405 MW，峰值負荷為2 850 MW，本算例的負荷水平按照峰值負荷考慮。分別利用基于CEIS-M法（本文方法）和文獻［15］中基于CEIS-S法（方法1）以及原始蒙特卡洛法（方法2）分別對系統的發電部分進行可靠性評估，計算系統失負荷概率LOLP和電力不足期望值EPNS。

3.1 三種方法的收斂速度的比較

按照COV=2%的標準分別對三種方法進行單次仿真，然后比較三種方法對應的可靠性指標以及所需樣本數和仿真時間。結果見表1。

表1 三種方法的結果對比Tab.1 Results comparison of three kinds of methods

由表1可以看出，由于采用了基于交叉熵的重要性抽樣方法，在相同的收斂標準下，本文方法和方法1的仿真速度和效率均遠遠高于基于原始蒙特卡洛法的方法2，并且三種方法得到的可靠性指標都滿足準確性的要求。本文方法和方法1在仿真所需樣本和耗費時間上并無明顯差別。

3.2 處理高可靠性系統時本文方法和方法1的比較

在本算例中，將系統的負荷水平降低至20.5 MW的水平，得到修正的新系統。此時由于負荷水平降低，系統的可靠性必定會大幅提升，其可靠性指標LOLP和EPNS下降。算例對比了本文方法和方法1在處理修正系統時的預抽樣階段（階段I）和最后的評估階段（階段II）中所需要的樣本數以及仿真時間。其中，兩種方法的收斂標準均為2%，本文方法中的子概率質量函數個數K取值20。表2和表3分別給出了兩種方法每一輪預抽樣中樣本數不同時的相關仿真情況。

由表2和表3可以看出，兩種方法在經過階段I求得發電系統最優概率質量函數后，均能對發電系統可靠性指標進行有效的計算，兩種方法的主要區別在于階段I所需的樣本數。方法1的階段I每輪至少需要抽樣130 000個樣本才能對可靠性指標進行有效的評估，而本文方法的階段I每輪只需要抽樣50 000個樣本即可對可靠性指標進行有效的評估。另外，對于兩種方法而言，相應提高階段I中每輪的樣本數可以提高階段2的可靠性指標評估效率，但是這也會大大增加階段I所需的時間，使得整個評估過程效率降低。相比而言，本文方法在整個評估過程中所需的總樣本數遠遠少于方法1在整個評估過程中的樣本數，大大提高了其可靠性指標計算的速度。另外，考慮到對于發輸電組合系統的可靠性進行評估時，每個系統狀態樣本都要利用最小切負荷策略進行負荷損失的計算，由于最小切負荷的優化問題非常耗時，本文中的評估方法由于所需樣本較少其優勢將會更加明顯。

表2 本文方法的仿真結果Tab.2 Simulation results of the proposed method

表3 方法1的仿真結果Tab.3 Simulation results of the method 1

4 結束語

提出了一種基于混合模型和交叉熵重要性抽樣相結合的發電系統可靠性評估新方法。該方法本利用多個子概率質量函數的加權來描述系統狀態，克服了現有的基于單一概率質量函數交叉熵重要性抽樣方法在處理高可靠性系統時其預抽樣階段需要抽樣大量的樣本從而導致可靠性指標總體計算效率降低的問題。算例結果表明本文方法在在處理高可靠性發電系統時，可在確保發電系統可靠性指標準確的同時使得預抽樣階段所需的樣本數大幅度地減少，從而有效的加快整個可靠性評估過程，提高發電系統可靠性指標的整體計算效率。